精品解析：山东省日照第一中学2025-2026学年高二下学期第三次单元质量检测数学试题

日照一中2025—2026学年高二下学期第三次单元质量检测 数学试题 2026.06 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、用0.5毫米的黑色墨水的签字笔填写在试卷和答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上相应的答题区域内.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请把本试卷和答题卡一并上交. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再由并集的定义求解即可. 【详解】由可得， 由可得 或，所以 或， 故，所以或. 故选：D. 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解. 【详解】设， 所以，解得， 所以， 又， 所以，故A，C，D错误. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性，得到，得出，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得， 令，显然函数为偶函数，且在上单调递增， 所以，即， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 4. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数的奇函数，再利用导数判断出函数在上的单调性，求出的值，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以， 所以函数为上的奇函数； 当时， ， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又因为， 故只有A选项才满足. 故选：A. 5. 芯片，又称微电路､微芯片､集成电路，是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分.“中国芯”是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片，为了打破欧美发达国家对“芯片”的垄断，我国政府大力鼓励和支持芯片企业和个人进行自主研发.某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为m万元，n年后总投入资金记为，且，当研发启动年（ ）后，总投入资金是研发启动时投入资金的4倍. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意到得，从而解方程求得，问题得解. 【详解】由题意，得，则，即，解得， 所以研发启动4年后，总投入资金是研发启动时投入资金的4倍. 故选:B. 6. 设是等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求出的通项公式，然后代入根据等比数列求和公式求解即可. 【详解】解：由题意得： 设的公差为 又 又， 故选：D 7. 函数，则函数的所有零点之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 10 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据，求得 或，再根据和，结合分段函数的解析式，即可求解. 【详解】令， 由得或，所以 或， 当时，或， 当时，则或，解得 ， 所以函数的所有零点之和为. 故选：D. 8. 已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数的单调性与奇偶性来解不等式的解集. 【详解】设，对求导得：， 已知当时，，则时，， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，即， 则 所以是奇函数，在也单调递增， 已知，则，由奇函数性质得， 分情况解不等式 当时，即， 因为在上递增，所以， 当时，即， 因为在上递增，所以， 综上，不等式得解集为 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式及性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意知，正实数满足， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的前 项和为，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为常数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据 ，得是常数列，可确定，计算得到，从而可判断选项. 【详解】，则， 整理得，即， 故是常数列， 所以，即，故D选项正确. 当时，， 经检验时满足，故. 对于A选项，由，知，故A选项正确. 对于B选项，由，知，所以为常数列，故B选项正确. 对于C选项，由，知，故C选项错误. 故选:ABD . 11. 定义在 上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 【答案】BCD 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，周期性，对A，利用周期可得；对B，求出表达式，然后求导计算；对C，作出两个函数图象判断即可；对D，作出图形，然后分情况讨论，利用导数计算判断. 【详解】由函数为 上的奇函数，所以， 由，所以函数关于对称，且，则，所以4为函数的一个周期. 对A，，则，，所以， 由当时，，所以，错误； 对B，由A可知：当时，，所以当时，， 所以当时，，则， ，， 所以函数的图象在处的切线方程为，即，正确； 对C，作出函数与图象， 函数图象关于对称，当时，图象共有5个交点，由为奇函数，所以当时，图象也有5个交点，所以图象所有交点的横坐标之和为10，正确； 对D，如图： 当时，；当时，， 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 当为图中情况，，，令，， 所以切点为，所以； 所以函数的图象与直线恰有一个公共点，则实数，正确。 故选：BCD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：__________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则，对各项进行化简，然后进行计算． 【详解】，， ， ． 故答案为：． 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用周期性及奇函数性质求，且可得，进而可求目标式的值. 【详解】由题意，且 ∴，，可得. 又， ∴. 故答案为： 14. 设 ，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，可令，则成立，由和互为反函数，可得图象关于直线 对称，可得有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到k的最大值． 【详解】不等式，所以， 即为，即有，可令，则成立， 由和互为反函数，可得图象关于直线 对称， 可得有解，则，即， 令，则， 当时，，则函数在上递减， 当时，，则函数在上递增， 所以当时，取得最大值， 所以有，所以，可得，即k的最大值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题有两个关键，其一，是得到有，想到令换元，则成立；其二，通过转化得到有解，再利用导数解答． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若过定点，求的单调递减区间； （2）若值域为 ，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，令，求得函数的定义域为，利用二次函数与对数函数的性质，结合复合函数的单调性的判定法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数过定点， 可得，可得，解得，所以， 令，解得或，即函数的定义域为， 设，则函数在上为单调递减函数， 又由函数在定义域上为单调递增函数， 结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在上单调递减， 所以函数的递减区间为. 【小问2详解】 解：由函数的值域为 ， 即为函数值域的子集，即， 当时，可得，此时函数的值域为 ，符合题意； 当时，则满足，解得，所以； 当时，此时的开口向下，显然不满足题意， 综上可得，实数 的取值范围为 . 16. 定义在 上的函数满足，，且时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求关于t的不等式的解集． 【答案】（1）奇函数，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法整理化简等式，根据奇偶函数的定义，可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明函数的单调性，根据单调性以及题意化简不等式，可得答案. 【小问1详解】 令，可得，所以． 令，可得，所以． 又的定义域为 ，图象关于原点对称，故为奇函数． 【小问2详解】 任取，，且，则， 于是， 因为，所以，由题意， 又为奇函数，所以， 所以，即，在上单调递减． 因为为奇函数，所以在单调递减，所以在 上单调递减． 由，可知． 所以不等式， 等价于， 所以，解得．所以，原不等式的解集为． 17. 已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列， ，，． （1）求与； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差、等比数列的通项公式和前n项求和公式建立方程组，解之即可求解； （2）由（1）可得，进而，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为d，数列的公比为， 则由 ，，，得，， 两式相除得，所以，， 所以，． 【小问2详解】 由（1）得 ，，所以， 所以， 所以． 18. 设函数的定义域为 ，若存在正实数 ，使得对于任意，有，且，则称是 上的“ 距增函数”. （1）已知函数，证明：对于任意正实数是 上的“ 距增函数”； （2）若是 上的“ 距增函数”，求 的取值范围； （3）已知是定义在 上的“2距增函数”，求 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数导数判断函数单调性，结合增函数得证明是 上的“ 距增函数”； （2）根据“ 距增函数”的定义，可得，解不等式求得 的取值范围； （3）根据是定义在 上的“2距增函数”，有，对 分类讨论结合函数的单调性求得 的取值范围； 【小问1详解】 证明：因为，所以，所以在 上单调递增. 对于任意正实数，所以， 所以是 上的“ 距增函数”. 【小问2详解】 因为是 上的“ 距增函数”，所以， 即，化简得， 所以无解，即， 解得（舍去）.所以 的取值范围为. 【小问3详解】 因为是定义在 上的“2距增函数”，所以. ①若，则. 因为在上单调递增，所以恒成立. ②若，则. 因为，所以. 令，则，即. 令函数，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. ③若，则. 由（2）可得，要使得是定义在 上的“2距增函数”，则必须满足. 当时，. 综上， 的取值范围为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由函数解析式求导，利用导数与函数单调性的关系，根据分类讨论思想，可得答案； （2）（i）利用导数求得函数的最值，整理方程并构造函数，利用导数求得新函数的单调性，根据方程与函数的关系，可得答案；（ii）由题意整理方程并构造函数，利用导数分别求得两个新函数的单调性与最值，再根据不等式性质，可得答案. 【小问1详解】 依题意， 当 时，，在 上单调递增． 当时，令得，，即． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上，当 时，在 上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，时取得最小值． ，当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以，当时取得极小值即最小值． 由题意可知，，即， 令，则， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以取得最小值， 所以在上恒成立，所以在上单增， 又，所以； （ii）因为，所以， 即． 令，则， 可知在时取得最大值0，所以，即， 所以，当且仅当 时，“＝”成立． 令，则，当时，，单调递减． 所以，当时，，， 由，得． 当时，显然， 综上，，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 日照一中2025—2026学年高二下学期第三次单元质量检测 数学试题 2026.06 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、用0.5毫米的黑色墨水的签字笔填写在试卷和答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上相应的答题区域内.写在试卷、演草纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请把本试卷和答题卡一并上交. 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 2. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数在上的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 芯片，又称微电路､微芯片､集成电路，是指内含集成电路的硅片，体积很小，常常是计算机或其他电子设备的一部分.“中国芯”是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片，为了打破欧美发达国家对“芯片”的垄断，我国政府大力鼓励和支持芯片企业和个人进行自主研发.某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为m万元，n年后总投入资金记为，且，当研发启动年（ ）后，总投入资金是研发启动时投入资金的4倍. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 设是等差数列，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，则函数的所有零点之和为（ ） A. 0 B. 3 C. 10 D. 13 8. 已知为定义在上的偶函数，且当时，，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知数列的前 项和为，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. 为常数列 C. D. 11. 定义在 上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. 当时， B. 的图象在处的切线方程为 C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 计算：__________． 13. 已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=____________． 14. 设 ，若存在正实数x，使得不等式成立，则k的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若过定点，求的单调递减区间； （2）若值域为 ，求a的取值范围． 16. 定义在 上的函数满足，，且时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求关于t的不等式的解集． 17. 已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列， ，，． （1）求与； （2）设，求数列的前n项和． 18. 设函数的定义域为，若存在正实数 ，使得对于任意，有，且，则称是上的“ 距增函数”. （1）已知函数，证明：对于任意正实数是 上的“ 距增函数”； （2）若是 上的“ 距增函数”，求 的取值范围； （3）已知是定义在 上的“2距增函数”，求 的取值范围. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设，且与有相同的最小值． （i）求a的值； （ii）已知，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $