山东青岛二中2025-2026学年下学期高二数学月考复习二

青岛二中高二数学月考阶段性复习（二） 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.若A=4C,则n=（) A.4 B.5 C.6 D.7 2.某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑 在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 3.已知函数(x)=x(x-a)在x=1处取得极大值，则a=（) A.3或1 B.2 C.3 D.1 4.下列说法正确的是（） A.在回归模型中，决定系数2越小，则回归拟合的效果越好 B.在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则x2变为原来的9倍 n(ad-be) (?a+bc+dagb+其中n=a+b+c+) C.若随机变量5~N1,o),则函数f(x)=P(x≤5≤x+2)为奇函数 D.数据(x,=1,2,3,,10)组成一个样本，其回归直线方程为=x-3,其中x=8.2,去除一 异常点(1,7)后，得到新的回归直线必过点(9,5) 5.从数字1,2,3,4中随机取一个数字，记为n,再从数字1,2，…，n中随机取一个数字，则第二次取到 数字为2的概率是（) 人 B13 D. 17 48 48 6.已知函数f(x)及其导数f'(x)的定义域均为R,对任意实数x,f(x)=f(-x)-2x,且当x≥0日 '()+x+1>0.不等式f(2x-2)-f内)<-3 -+3x的解集为() A.（-o,2) n.（or号U2,+o) 第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一 个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为() A.7或-5 B.5或-3 C.3或-3 D.1或-1 8.伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴塞尔级数”难题.当n∈N,n≥2时， 如-1儿茶引)（后)，又根器案动展开河以得到 11.1 sinx=x- +++包” 31 511 (2n-1)！ +…, 根据以上两式可求得 2子士+十z大“““—○ A 6 B.π2 元2 D. 3 2 8 二、多选题 9.已知随机变量X~N(-1,12),Y~N(3,12),则() A.E(X)=E(Y-3) B.D(3X)=3D(Y) c.P(X<1)=P(Y>) D.P(X≤-2)+P(Y22)=1 10.已知logb>0（a>0且a≠1)，若b<a,且aeb<be°(c为自然对数的底数)，则() A.Inb<a-1 B.(a+1)h(b+1)>(b+1)ln(a+1) C.ba-1a- D.logoa>logub 1,设，B是一个随机试验中的两个事件，P(4B+P(81)=1,P(U)-子，则() A.事件A,B相互独立 B.若P(-p4-P(- C.P(AB)sP(B) D.若P(A|)=P(A1B),则必有P(A)=P(B) 三、填空题 12.已知对于x>0,都有e+a≤ 1-Inx ,则a的最大值为 13如图，在下面的小三角形格子中填入1,2,3,4,5,6,7,8,9，要求 每个格子中只能填一个数，每个数只能填一次且阴影格子中所填数比它相邻 的白色格子中的数大，则共有种填法.。 第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 14.有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球记X为 这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)= 四、解答题 15.已知f(x)=(1+元x)”=a+ax+42x2+…+4nx”,其中∈R. (1)若=1，|xk1,证明：f(x)+f(-x)<2"(n≥2，n∈N). 2026 (2)若元=-2，n=2026,求∑(27-+)z的值. k=0 16.已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=ax2-2ax,a>0, (1)设曲线y=f(x)在(1，f(I)处的切线为l,若1与曲线y=g(x)相切，求4； (2)设函数h(x)=f(x)+g(x),讨论h(x)的单调性. 17.现将红色、黄色、蓝色的3个小球随机放入甲、乙、丙、丁四个盒子中（每个盒子容纳球数不限） (1)记甲盒中小球个数为X,求X的分布列和E(X: (2)对于两个不相互独立的事件M,N,0<P(M)<1,0<P(N)<1. ①若P(MW)>P(M),则称事件M与N正相关(N的发生会“促进”M的发生)：若 P(MW)<P(M),则称事件M与N负相关(N的发生会“抑制"M的发生)： ②定义p(M,N)= P(MN)-P(M)P(N) P(M)P(MP(N)P(N 为M与N的相关系数 (i)若p(M,N)>0,求证：M与N正相关： ()定义事件M=“甲盒中恰有一个小球”，事件N=“甲盒中含有红球”.求p(M,W),并判断事件M 与N的相关情况. 第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APF 18.大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有A,B,C三个餐厅， 小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，若他在A餐厅就餐， 233 则下一天在A,B,C三个餐厅就餐的概率分别为行，00：若他在B餐厅就餐，则下一天在A, C三个餐厅就餐的概率分别为，气，：若他在C餐厅就餐，则他下一天到A,8,C三个 厅就餐的概率分别为亏，10'10 331 (1)求小丁同学第2天在B餐厅就餐的概率： (2)求小丁同学第n(n∈N)天在B餐厅就餐的概率； (3)若小丁同学前n(n∈N)天到B餐厅就餐的天数为X,求数学期望E(X) (若小T第=12，网天到B餐厅截餐的天数为X,则B()=2-之5(X) 19.已知m∈R,设集合An={x|e-x=m,x∈R},Bm={x|x-l血x=m,x∈(0，+o)},Cm=4nUBn (1)求A: (2)证明：存在唯一的m,使得集合Cm恰有三个元素； (3)若集合Cm元素个数大于等于3，且Cm的所有元素按照一定顺序可以排成一个等差数列，则称m为一 个“好值”，判断所有“好值”的个数，并说明理由。 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 青岛二中高二数学月考 所以当xe(-o,)时，了(>0，f（)单调递增：当x∈(1,3)时， 由题意知4，么，4，人是两两互斥的单件，且 阶段性复习（二）参考答案 了(x)<0,f()单调递减 4U4U4U4=2(样本空间)， 12 3 45678910 所以∫(x)在x=1处取相极大值，符合题意 综上，a=3. P(B)=P(BAUBA UBA UBA) AA D D A CD ACD 11121314 4.【答案】D =P(BA)+P(BA)+P(BA)+P(BA) BCD 【详解】对于B,在2×2列联表中，若每一个数据均变为原来的3 61 8640 =P(4)P(4)+P(4)P(4)+P(4)P(4)+P(A)PA) e 25 倍，则 x”= 3n(ax3d-3bx3c)' L.【答案】A 3a+363c+3dX3a+3cX30+3 11.11.1113 2.【答案】A 3x9 n(ad-be) "3x3x3x*a+c+Xa+eK6+而=3， =x0+*+*+*448 6.【答案】B 【详解】同时爱好两项的概半为0.5+0.6-0.7=0.4， 所以变为原来的3倍，故B部误 记“谈同学爱好滑雪“为事件A,记“该同学爱好滑冰“为事件B, 对于C,因为随机变量5-N,c),所以其图象关于x=1对称， 【解折1令g=国++，则g(倒了+x1. 则P0=0.5PAB)=04,所以Pa0=P4圆_04 0.8 由愿意可得，当x≥0时，了(x)+x+1>0,即g(x)在(0，+∞)上 PA00.5 所以x关于对称轴x=1的对称点为2-，即+2-习山，x+2关 2 单调递增， 故选：A. 于对称轴x=1的对称点为-，即区+2国-玉 2 由f(x)=f八-x)-2x,则 3.【笄案】C 根据正态曲线的对称性可知P(xS5Sx+2)=P(-xS(S-x+2),因 【详解】因为函数∫(x)=x(x-a},定义城为R, 8个--=8(+x-2x,即g()=8(-动.故 为f(x)=Pxs5sx+),所以八-=P(-x55s-x+2),所以 g(x)为偶函致，故g(x)在(-∞，0)上单调递诚，则不等式 所以f(x)=(x-a'+2x(x-a)=(x-a(3x-a,又因为在 (-x)=x),所以雨数x)=P氏x≤（≤x+)为偶雨数： x=1处取得极大值，所以f(0)=(0-a)(3-a)=0.所以a=1或 对于D,因为回归真线方程为》=x-3过样木的中心点（玉习， 2-2小兰+3r可花为 a=3,若a=1,则T(x)=(x-13x-). 所以y=x-3=82-3=52所以去除一个异常点(0，刀后， 7.10x52-1-5,7.10x82-=9 82✉-2刘-22x-2-(2x-28++x<3+3r 2 所以省x传时，了e<0/内单琵流：当xe化+o时。 9 9 所以新的同归直线必过点仅，)，故D正确： 即g(2x-2)<g(x),则有2x-2<H.即(2x-2<2,即 (x)>0,（x)单调遂增. 5.【答案】B (2x-2+x)(2x-2-x)<0,即(3x-2)(x-2)<0,解得 所以f(x)在x=l处取得极小值.不符合器意，所以a≠1： 【解析】记事件A为扩第次取到数学，n=l2,3,4,事件8 若a=3,则f(x)=(x-3(3x-3)-3(x-10(x-3). 为第二次取到的数字为工】 传 1.【答案】D 答案第1页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 【详解】设质点向正方向移动的次数为k(k=01,2.,7),则向负 【详解】对于A,由题意，餐E(X)=-山，E(Y)=3,面 令p-eo刘.则p倒-是号 方向移动的次数为7一k, E(Y-3)=E(Y)3=3-3=0，故.A错误 当xe(山，+o)时，p()<0,P()在(L+m)上单调递减，又 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定： x=k×1+(7-k)×(-)=2k-7, 对于B,又D(X)=1,则D(3X)=9D(X)=9,而 每次移动向正、负方向的概率均为子，因此7次移动中拾好有k次 D(Y)=1, 所似n之<h上与hb<a-l,故A正确： e e 向正方向”的概率展从二项分布7匀 概米公式为： 所以D(3X)=9D(Y),数B错误： 令e-=竖则间=1，质道reQg0。 -c”c 对于C,因为两个正态分布对应的正态密度曲线关于直线x=1 g(x)在(0，©)上单调通增， 对称。 当x∈(e,o)时，g()<0,8(x)在(c,+o∞)上单调递减， 组合数C在k=3和女■4时取得最大值35， 所以P(X<)=P(Y>1)·枚C正确： 因为a+l>b+1>2,所以当2<b+1<a+1<e时， 当k=3时，代入x=2k-7得：x=2×3-7=-1, 对于D,由对称性，得P(X≤-2)=P(X≥0)=P(Y≤2)， g(a+1)>g(b+): 当k=4时，代入x=2k-7得：x=2x4-7=1, 所以P(Xs-2)+P(Y≥2=P(Ys2)+P(Y22)=1,故D 质点放可能移动到的位置坐标为1或-1. 卿a+,a6+,即b+ha+l)>(e+1)h(b+l, 正确。 a+1 b+1 8.【答案】A 故B错误： 【详解】由neN,n≥2， 10.【答案】ACD mx=x-名+2t+曰旷 a>l.∫0<a<1 【详解】由1og.b>0,可 2m-p+… b>1{0<bc1又ac'be.因 令-=品>.则-血 xinx 3151 记p()=xr-x+1(x>l),则p(x)=lnr+1-l=lnx>0. 两边同时除以将血引-之 + a,b同正，两边同除以b可符二<二。 b a 所以(x)>()=0,则()>0，所以h(x)在(L,+0)上单调 3151 (2n-1 要引}) 展开式中 ◆0./问-g-,所当xeo. 递增。 质4o>4o.即品>品(e-hb>b-ha. 为非安宁宁小 ()<0,(x)在(0，)上单测递减， 所以nb->na,卿b>a,故C正确： 当x∈(L+o)时，了'(x)>0,八x)在(L+)上单调通增，当 微非空空→+小 ◆-eo小则 所以 0<b1且a>b,此时<与愿意不行合 [0<a<1 a b 当/01 +马严+b+e )=x In2(1+x) x(x+1)n2(1+x) 9.【答案】CD 答案第2页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 令m()=xinx,xe(1,+oo),则m(x)=l+lnx>l,即m(x)在 2络案日 (（亿oo)上单调递增。 【详解】解：图为c”+as-血工，此时”+r+nx-150, 所拟(x+)血(x+1)>xr,t(x)>0,()在(L,+o)上单调递 4 3131_61 对于C,P(48)=y=r=+1+F41+1+f41++1 4 即caar+(ax+hx-l≤0， 色 令1=匹+nx,设g()=c+1-1,函数定义城为R, Ina 当且仅当1=1时取到等号，面P(网-P4心B)=故 所以na+可hb+可即lo>ogwb,故D正聘. 可得g()=心+1-1s0,因为函数g)在R上单调递增，又 P(AB)sP(B,C正确， IL、【答案】BCD g(0)=e°+0-1=0，所以g0sg(0) P(间P(aB) 【解析】由P(川B)+P(B引)=1可得 对汗D由P可P叭餐间可又 即1=x+血x50,整理符aSh.设问)=-x通数定 x P(AB)P()+P(B)]=P(4)-P(B). PA同=P(d)-P(4B).PB)=P(8)-P(4). 义域为(0，+∞). 又P氏U=P④+Pa-P= 所以PPL@_PO-P 1-PB) P(B) ,化简可得 可得N()=- x-hx-nx,当xeQ.e)时，(<0. P(4)=P(AB)+P(4B).P(B)=P(AB)+P(B). x 则P8P间+P)-是 P(A)P(B)-2P(B)P(AB)=P(B)-P(AB)-P(B). h(x)单调递减： 将其代入上式 当x∈(e,+o)时，(x)>0,h(x)单调递增，所以当x=e时， 不妨设P(4间=x,P(4B)=y,P(B=,则 由于P(4+PB1=l,则P()=0P P()+P(B) 得 A日取极小直色是最小值，最小值A(回=-吉 P(4=x+P(=y+z, P() 1 yx+2y+)=(x+y0+) 409 -P(8).化简得 即a5-,则a的最大值为- c e 所以 化简得y=x, 13、【答案】8640 P(d)+P(B)=P(8O, 设y=,则z=,所以+门-寻 【详解】如图： 结合 对于A,要使A,B相互独立，则需要P(4B)=P(A)P(B), P(AVB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)- awrun 分情况讨论： 即c=x(++),即x+=1,不恒成立，故A错误， 联立①②可得[2P(8-[8P(B)-16P()+9]-0,故 当A.B.C为9,8,7时，有AA8=4320种： 对于B,由P=京得P④+P)-P)= 2P(B-1=0, 当MB,C为9,8,6时，则7不能与6相邻，故有AAA=2160种 P4P-[r+Pa-号-a 解得代间=子则0-字故P代=P代到=宁放D正确 。1 当A,B,C为9.8,5时.则与5相邻的只能是4.3,2,1中的三 IP(A)-P(B)P(A)+P()-4P(4)P(B) 数，有AAA=864种： 答案第3页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 当A,B,C为9,8,4时，则与4相g的只能是3,2,1中的三个数 =1 5+2x2+3×2_61 125 25 2525 有AAA号=216种： 2+h-22会+2a小 法二：依恩意，假设随机变量X,其中1=1,23,4,5： 当4,8，C为9,7,6时，则8与9相邻且8只有一种位置，故有 1,这3次选取中，球至少被取出一次 AA=720种： 其中X,= 计第-所◆=2测2官登=2-2广=0 0,这3次选取中球一次都没被取出' 则x=2x 计算第二部分 当4，B,C为9,7,5时，则8与9相邻且8只有一种位置，6不与5 由于球的对称性，易知所有E[X]相等。 f(x)=2026×(-2×0-2)m5=a,+2a,x++2026aasx2 相邻有2种位置选择，故有AAA=288种： 则由期望的线性性质，得X门= 当4，B,C为9,7,4时，则8与9相邻且8只有一种位置，与4相 [2]--s 令x=1,则g+242+..+2026a2%=4052,即得 邻的只能是3,2,1中的三个数，放有AAA=72种： 由思意可知。球在单次抽取中未被取出的概率为亏， 所拟共有：4320+2160+864+216+720+288+72=8640种。 由于抽取独立，三次均末取出球的概率为 2%-2a1-02. 【指1会24 P(=0)- 64 ,因此球至少被取出一次的概率为： 综上， 【详解】法一：依思意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能 20+h-22a小2a)=0. 数为53=125， Px=)=1-4- ,故sX]=125 61 所以 12512 16.【答案】(1)a=1(2)答案见解析 瓦X0=5E[X]=5×2525 6161 其中X=1:三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故 【解桥1)f闭-1，f0=1-1=0,且/⑩=-1， P(X=1)=- 51 15.【解折】 所以曲线y=()在L,∫()处的切线为y=-1, 12525 X=2:恰好两种不同球被取出（印一球出现两次，另一球出现一 【小问1详解】 次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式， 由题意知f(x)=0+x)”=a。+ar+a2x2+.+a,x,其中 U=r2-2ar'得a2-2c+1=0,因为y=-1与 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况 a4=C,k=0,l,2,n, g(x)=a2-2mr相切， 有5×4x3=60种， 若|xk1,n22,neN 所以△=4d2-4a=0,得a=0(会)，或a=1: 故Pr心x=2)8号 (2) fx)+f八-)=0+x°+0-y=2(C+C2x2+Cgx+… X=3:三种不同球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情有 h(x)=f(r)+g(x)=Inx-x+ax-2ax=Inx+ax2-(2a+1' 况5×4×3=60种， <2(C+Cg+Cg+=22=2°： 散r==器- 的定义城为(0，+∞)： ,所以 【小问2详解】 E(X)=1xP(X=1)+2×P(X=2)+3xP(X=3) 若1=-2，n=2026, M)-+2m-(2a+l）-2ar-2a+1x+1 f(x)=(1-2x)2m5=do+ax+ax+...+amx2 答案第4页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp -2m-- 个小球共有4'=64种放法 (1)依恩意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为，设第二天在B x=0=头.x=0=S32. 餐厅就餐的概率为 因购a>0,令闪-0，相x=1暖=六当0<a兮时 6464 6464 13.11.1.34 六1 Px=2)-学2x=)-g= 是：B-*0+*兮*方05 6464 646 【小问2详解】 所以当xe(0,1)利 所以X的分布列如下， 设小丁第n天在日餐厅就餐的概率为PR= ,第n天在A餐厅就 3 餐的概米为2则： 当x岩时，州<0，则数纠单调流地 27 9 1 当n≥2时 6 64 64 所以E(X)=0x2刃+1x2+2 +3x13 64 64 64 644 3 则函数h(x)单调递增， 【小问2详解】 (i)由p(M,N>0,则PMN)-P(M)P(N)>0. P-11 当公，阳0，周要6本鞋流路 所微化引}是做古公月音兮品号幽 当a=之时，)20，当x=1时取等号，函数4()在(Q+回) 所以PM1IN)=P >P(M),故M与N正相关，得证： P(N) 等比数列： 上单调递增 ()由愿意P(M)=P氏X=)= 27 绿上所述.0<a<分时，A)的单调销区间方0。 烈2品(”，是+品 PaW)=x3'.9 464 neN': 所以 【小问3详解】 口时，的单河特区倒为Q,回。没有破区同 927.1 9 依愿意： P(M,N)=- 64644 256 >0 >时，句的单调区间为》么+)。单调减区间为 27 27371.3 37 V64 644 V646444 (制 1*10 结合()结论，故M与N正相关 17.【小问1详解】 n∈N 18.【小问1详解】 由题意，X的可能取值为0,1,2,3，且每个小球都市4种放法，故3 19.【详解】(1)依题意，4=rc-x=,设f=c-x-1,则 答案第5页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp '(x)=c'-1. 故方程c'-x=m的两个解为lna,lhb，从而Cn=(na,lhb,a, iN(8)=6(6+Inb)-8-31n6+2=6*-b+2+(6-3)Inb. 当x<0时，f(x)<0,当x>0时，(x)>0,则函数(x)在(m,0) 第一种情况。C.恰有三个元素 由B+lnp=2,几函数b+nb在(L,+o)上单调递增，又2+ln2>2, 上单调递减，在(0四)上单调递增， 由第(2)问可知此时nb=a,即b=c°，且c+lna-2a=0, 可知B<2 而(0)=1-0-1=0，即方程c'-x=1只有1个实根为0，故4=0) 于是na+c°=2a,所以lna,a,c可以排成等差数列.因此第(2) 所以当1<b<B时，1<b<2,从而b-3<0 (2)由(1)可知，方程e-x=m在m<1时尤解，在m=1时有一 问中唯一对应的m是一个“好值” 因为b<b-1,两边问乘负数b-3时，不等号方向改变，得 个解，在m>1时有两个解。 第二种情况，C,恰有四个元素.若b>a,则四个元煮技从小到 (b-3)b>(6-36-l). 令8(=x-n,x>0,则g()-1-1 大排列为na,a,lnb,b, 于是N(6)>6-b+2+(6-3)6-)=2b2-5b+5. 当0<x<1时，g'()<0:当x>1时，g(x>0.所以g()在(0，) 若它们能排成等差数列，则应有2hb=a+b, 但b>1时，2nb<b<a+b,矛所，所以此时不可能 又二次函数2b2-5动+5的判别式为A=(-5)-4×2×5=-15<0, 上单调递减，在(L∞)上单调递增，且g)-1. 若nb<a,则四个元素按从小到大排列为na,lnb.a,b 且二次项系数为正，所以2b-5b+5>0恒成立. 因此方程x-r■m在m<1时无解，在m=1时有一个解，在m>1 若它们能排成等差数列，则应满足na+a=2nb,lnb+b=2a,由 因此N(6)>0,从而中(6)>0. 时有两个解 第二个式子得a=b+hb 2 因此Φ(6)在（山）上单调递增，故中(6)=0有且贝有一个解.于是 当m=1时，G={0,引，不符合题意 因为ac1,所以b+nb<2,设B为方程b+lnb=2在(L,+o)上的 四个元素能排成等差致列时，对应唯一一个m, 当m>1时，两个方程各有两个解，若C。怡有三个元素，则两个方 根，则be(L) 综上，满足条件的好位共有2个. 程必须有一个公共解。 设公共解为t,则r>0,且c-1=t-nl,即d+-2=0, 将a-b+她代入na+a=2hb,令 2 令H回=e+hm-a,1>0,则Hr0=e+片2.因为e>1+t· Φ(6)=n+la她+b+hb-2ih6 2 2 所以H0>1+1+2=141>0. 则o0=片2<0： 所以H)在(0，+)上单调递增。当1→0时，H()→一o, 又B+nB=2,且函数b+nb在(l,+ao)上单调递增，所以Bc√e, H()=c-2>0,所以方程H(0=0.在(Q,+o)上有且只有一个 从面Φ()=1-2n0>0.. 解.设这个解为，则对应m=心一。唯一.故存在唯一的m,使得 集合C恰有三个元素。 对()求导.得(6)-b6+0)-b-3hb+2 26(6+Inb) (3)由前两问可知，若集合C.元素个数大于等于3，则m>1. 当1<b<B时，分母为正 设方程x-lnr=m的两个解为a,b,其中0<a<l<b. 下面证明分子为正 因为a-lna=m,b-lnb=m,所以c"-lna=m,c-hb=m 答案第6页，共6页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp