福建厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试数学试题

**基本信息** 以人造地球卫星轨道、光学装置等真实情境为载体，通过梯度化题型设计，考查高二数学核心知识与逻辑推理、数学建模等素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|抛物线准线、向量运算、椭圆短轴|结合卫星轨道（科技情境）考查椭圆性质| |多选|3/18|曲线方程、空间向量、圆的性质|辨析空间向量共线与基底关系（逻辑推理）| |填空|3/15|方向向量与法向量、直线斜率、光学性质|利用椭圆/双曲线光学性质设计创新题（数学眼光）| |解答|5/77|轨迹方程、立体几何、双曲线综合|立体几何证明与角计算（空间观念），双曲线综合题含定点证明与面积最值（运算能力）|

厦门市同安实验中学2025-2026学年度第一学期高二年级期中考试 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1．抛物线的准线方程为（   ）A． B． C. D． 2.已知点关于轴的对称点为，则（ ） A．2 B． C． D．6 3.已知向量，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在三棱锥中，、分别是、的中点，是的重心，用基向量、、表示，则下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5.我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 A． B． C．2 D． 6.已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程（ ） A. B. C. D. 7．若直线与圆交于两点，且直线不过圆心，则当的周长最小时，的面积为（    ） A． B．2 C．4 D． 8.设分别是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线：，：，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数 10.下列命题中真命题的是（    ） A.直线的倾斜角不存在； B.若直线的方向向量，平面的法向量，则； C.已知为空间直角坐标的原点，且，则点到直线的距离是； D.如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 11．已知圆，则（    ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数m的值为 D．若点P在直线上，点在圆上，，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面 所成角的余弦值为 . 13. 设点、，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 . 14.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的 一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆C与双曲线S构成，现一光线从左焦点发出，依次经S与C反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点发出，经C两次反射后又回到了点，历时秒．若C与S的离心率之比为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知，． （1）求与夹角的余弦值； （2）当时，求实数k的值． 16.在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线PM与直线PN的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求弦长. 17． 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD，E，F 分别为AB，SC的中点． （1）证明：EF∥平面SAD； （2）若SD＝8，求平面DEF与平面EFS所成角的余弦值． 18． 在平面直角坐标系中，已知直线过点，且与， 分别交于点A，B．（1）若点A在直线上，且的平分线为射线， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求点B的坐标． （2）若直线与轴负半轴及轴正半轴分别交于点M，N，求的最小值及取最小值时直线的方程． 19.已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. (1)求的方程； (2)过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $1.抛物线x=y2的准线方程为() A.x=-月 B.y=-3Cy=-日D.x=-8 A【解题思路】化为标准方程：y2=2x,根据准线方程的定义求解. 【解答过程】抛物线的方程为：y2=2x, 则其焦点坐标为：（侣，0）准线方程为：x=一子 2.已知点A(-1,1,2)关于y轴的对称点为M,则OM=(D) A.2 B.5 C.√6 D.6 3.已知向量=(1，-3，-2)，b=(3,2,-),则下列结论正确的是() A.a/6B.a⊥ic.a-b=(-2,-5,-3)D.la=14 【答案】D 【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得。 【详解】因a=(1,-3,-2),b=(3,2,-), 对于A选项，由a=乃可得：(1，-3，-2)=(3,2，-5)，易知2的值不存在： 对于B选项，由a.b=3+(-6)+10=7≠0可知ā1五不成立： 对于C选项，a-b=(1-3,-2)-(3,2,-5)上=（←2，-5,3）≠(2，-5，-3)： 对于D选项，a√1+(-3)2+(-2)2=14 故选：D. 4.在三棱锥0-ABC中，M、N分别是0A、BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量OA、OB、 0C表示0G,则下列表示正确的是() A.0A+0B+0C B.30A+0B+0C C.0A+0+0C D.-0A+0B+0C 【答案】C 【解析】连接ON,因为G为△ABC的重心，则AG=A,如下图所示： 因为N为BC的中点，则AN=AB+BN=AB+BC=AB+(AC-AB=AB+AC, 所以，AG-AN-（GAB+AC）=AB+AC 所以，0G=0A+AC=0A+AB+号AC=0A+OB-0A+OC-0A -0A+0B+oC.故选C. 5,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆. 已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面m千米，远地点（离地面最远的点）B距离 地面n千米，并且F2、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，则卫星运行的轨道的 短轴长为()千米 地球 B A.2(m+R)(n+R) B.√m+R)(n+R)C.2√mn D.Vmn 【答案】A 【解析】记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c, 由题意可得仍十尽=8+ 所以(m+R)(n+R)=(a-c)(a+c)=a2-c2=b2, 因此，卫星运行的轨道的短轴长为2b=2√(m+R)(n+R)千米.故选A. 6.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切，则C1与C3的公切线 方程为() A.3x-4y+5=0 B.4x-3y+5=0 C.3x-4y-5=0 D.4x-3y-5=0 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆C1:x2+y2=1的圆心O(0,0),1=1,圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0可化 为 (x-4)2+(y+3)2=25-m,（<25),则其圆心为O(4,-3),半径为5=√25-m, 因为圆G与圆C,相内切，所以5-1=O0,即5=√42+32+1=6，故m=-11. x2+y2=1 x+y2-8x+6y-11=0可得4r-3y+5=0, 由 即C1与C,的公切线方程为4x-3y+5=0.故选：B 7.若直线1：x-y+2-k=0与圆C:x2+y2-4x-2y+1=0交于A,B两点，且直线1不过圆 心C,则当△ABC的周长最小时，△ABC的面积为() A.√2 B.2 C.4 D.3W2 【答案】B 【详解】由C:x2+y2-4x-2y+1=0可得(x-2)+(y-1=4, 故圆心C(2,1),半径r=2, 直线：x-y+2-k=0的方程可化为y-2=k(x-1), 所以直线1恒过定点D1,2), 因为12+22-4x1-2×2+1=-2<0 所以点D在圆内， 由圆的性质可得当CD⊥I时，AB最小，△ABC周长最小， 又C(2,1),D1,2) 所以kco=-1,此时k=1,即直线1：x-y+1=0, 所以同心c2到直线1的距窝d=2-1+15, V+(-1 所以AB=2P2-dP=2√4-2=2√2， 所以346日-支2x5-2. 8设，乃分别是双曲线℃。Xa>0,b>0的左、有焦点，O是坐标原点，过R作们 条渐近线的垂线，垂足为P.若∠RPO=工，则C的离心率为() 6 A.6 B.V②1 C.21 D.√万 2 2 3 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式可得P=b,设P(x,y),则可借助面积公式与等面积法得 到P收2b,再利用离心率公式计算即可得解 【详解】不妨设垂足P在第一象限，由题意可知P耳与渐近线bx-ay=0垂直， 如图所示，则∠RPR=2r, 3 由点到直线的距离公式可行P:04仁-b,又O=c,所以-a. √2+b2c 设Px,则3%山，得-，从而- -1 2 由S%P明m5号2，解得P行 32 由Sor,=Sm,得a PRsin-d ab,解得P=2b. 62 。，所以离心率e=+33 从而可得二= 故选：C 9.己知曲线C:4x+3y2=48,C,:x2-上=1，则（) 3 A.C的长轴长为8 B.C,的渐近线方程为y=±√3x C.C1与C,的焦点坐标相同 D.C1与C,的离心率互为倒数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可. 【详解】曲线G:4x2+3y2=48整理得+少 =1,则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆， 1216 其中g=16众=12，所以G=G-6=4,离心率为9，=9=2=} 4142 故曲线C的长轴长2=8，故A正确； 曲线C:x-上=1是焦点在x轴上的双曲线，其中G=L,b=3,所以cg=4G+b=4, 3 离心率为e c= =2,故与曲线C的焦点位置不同，故C不正确： a,1 C2:x2-上=1的渐近线方程为y=士√5x,故B正确： 3 又9~6=2×2=1，所以G与C,的离心率互为倒数，故D正确， 故选：BD 10.下列命题中真命题的是() A.直线x=1的倾斜角不存在： B.若直线1的方向向量d=(0,1,-1),平面a的法向量i=(1,-1,-1),则l1a: C.己知O为空间直角坐标的原点，且A(1,1,1),则点P(1,2,3)到直线OA的距离是√2： D.如果向量ā，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么ā，b一定共线， 【答案】CD 【分析】对于①④，可举出反例：对于②，计算向量数量积得到a⊥i,从而得到l11a或lca； 对于③，变形后得到直线所过定点. 【详解】对于①，直线x=1的倾斜角为90°，①错误： 对于②，因为di=(0,1,-1)(1,-1,-1)=-1+1=0,故a1i, 则直线l与i垂直，则111a或lco,②错误： 对于③，由题意可知u=(1,1,1)是直线OA的方向向量，OP在直线OA上的投影向量的模长 6 OP.u X 2W3,所以点P(1,2,3)到直线OA的距离是d √2，③正 /3 确： 对于④，如果向量ā，b与任何向量不能构成空间向量的一个基底，则向量立，五与与任何向量 均共面，那么a,b一定共线，④正确。 故选：B 11.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,则() A.点(0,2)在圆C内 B.若点P(x,y)在圆C上，则x-y的最大值为22+1 C.若圆C上恰有三个点到直线x+y+m=0的距离为1，则实数m的值为士√2-3 D.若点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C上，A(O,2),则|PA+IPQI的最小值为 3V5-2 【答案】BCD 【解析】对于A,因为02+22-4×0-2×2+1=1>0，所以点(0,2)在圆C外，故 A错误； 对于B,因为圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,可化为(x-2)2+0y-1)2=4, 所以圆心C(2,1),半径为2，设b=x-y,则x-y-b=0,又点P(x,y)在圆C上， 所以直线x-y-b=0与圆C有交点， 即≤2，解得1-2V2≤b≤2V2+1,所以x-y的最大值为2N2+1,故B正 确 因为圆C上恰有三个点到直线x+y+m=0的距离为1，而圆C的半径为2， 所以圆心C(2,1)到直线x+y+m=0的距离为1， 即l2+1+m测=1，解得m=士V2-3,故C正确： √1+1 对于D,设A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B(a,b), +牛+2=0 则2 =1，解得62期8(-4-2少. a x+叶2=0 Be 则PA+IPQI=IPBI+IPQI≥IBQL, 而BQI的最小值为BC1-r=√(2+4)2+(1+2)2-2=3V5-2, 所以IPA+IPQI≥IBQI≥3V5-2, 当且仅当B,P,Q,C四点共线，且Q在线段BC时，等号成立， 所以PA+IPQI的最小值为3V5-2.故选BCD. 12.已若向量a=(0,2,0)是直线1的方向向量，向量i=(1,1,1)是平面x的法向量，则直线1与 平面a所成角的余弦值为 入 【详解】设向量ā与向量的夹角为日，根据两向量夹角余弦值的公式可得： a.n (0,2,0(1,1,1)2√5 sin 网 2×3 2W33 m0-1--9 3 13.设点A(2,-3)、B(-3,-2),若直线1过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线1的斜率 k的取值范围是 A≥3或k≤-4 4 B.本≥或k≤- 41 4 C.-4sks3 D.-3sk≤4 4 4 【答案】A【分析】画出图形，由题意得所求直线I的斜率k满足k≥kB或k≤k4,用直 线的斜率公式求出kPB和kP4的值，求出直线I的斜率k的取值范围， 【详解】解：如图所示：由题意得，所求直线1的斜率k满足k≥kB或k≤k4, 咪P,1) 52 A(②，-3) :KpA 1-(3-4,k1--34’ 1-（-2)3 1-2 3 ∴，直线1的斜率k的取值范围是k≥二或k≤-4， 故选：A 14.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从 双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另 一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点耳，耳的椭圆C与双曲线S构成，现一光 线从左焦点耳发出，依次经5与C反射，又回到了点耳，历时秒；若将装置中的S去掉， 如图②，此光线从点耳发出，经C两次反射后又回到了点耳，历时t秒.若C与S的离心 率之比为2：3，则三= 图① 图② 【答案】6 【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得△ABF和△CDE的周长，再 根据光速相同，时间比等于路程比，再结合C与S的离心率之比为2：3，即可求解. 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：B+B引=24，由双曲线的定义得A-A=2血， 两式相减得B+B引-AF+A=2a-2a, 所以△AB耳的周长为2a-2a, 在图②中，△CDr的周长为44， 52-44= 4 因为光速相同，424-242-2马 41 c 因为C与S的离心率之比为2：3，即9=4=凸- e2 cc 3 2 =6 所以i2-2× 3 15.己知a=(3,2,-1),b=(2,1,2). (1)求a与b夹角的余弦值；(2)当(ka+b)1(a-kb)时，求实数k的值. 【路案12k-数=景 【解】：(1)a与b夹角的余弦值为cos<a,b>=ab 6+2-2 √14 lallbl V9+4+1×√4+1+41 (2)因为(ka+b)1(a-kb),所以(ka+)(a-kb)=0,即ka2+(1-k)a.b kb2=0, 所以14+6(1-)·k=0,整理得6-5k-6=0,解得k=或k=-号 16.在平面直角坐标系xoy中，已知点M(-4,0),点N(4,0),动点P(x,y)满足：直线PM与直 线Pv的斜率之积是-是 (1)求动点P的轨迹C的方程： (2)直线与(1)中轨迹C相交于A,B两点，若Q(2,-1)为线段AB的中点，求直线的方程： (3)在(2)的条件下，求弦长AB. 【答案】呢+后=1c*土到 (23x-2y-8=0 【分析】(1)根据斜率乘积得到方程，化简即可： (2)利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可： (3)联立直线与椭圆，再利用弦长公式即可得到答案 【详解】1)由题意站4六=-是化简后+若=1 又因为直线PA、PB的斜率存在，则x≠士4. 故动点P的轨迹c的方程为号+号=1（杜到， (2)设A(xy),B(x2,2),由题意，显然x1≠x2, 则有是+盖-1，是+盘=-1，两式作差可得。+=0， 16 12 即有+2)01=2++y201-2=0, 16 12 又Q(2,-1)为线段AB的中点， 则有+0=41+力=一2，代A即得直线的斜率为k=器司 直线的方程为y-(-1)=化-2)，经检验此时该直线与椭圆有两交点， 整理可得直线的方程为3x-2y-8=0. 3x-2y-8=0 (3) 兰+号=1→3x2-12x+4=0, 1612 设A(x1y),B(x2,y2),则x+x为=4，x1x2=青 故81=1+2+-4-+9(6-9-、层要=2 17.如图，在四棱锥S-ABCD中，ABCD是边长为4的正方形，SD⊥平面ABCD,E,F 分别为AB,SC的中点. （1)证明：EF∥平面SAD: (2)若SD=8,求平面DEF与平面EFS所成角的余弦值. D A E B 1 【答案】(1)证明见解答；(2)与 【解】(1)证明：取SD中点M,连接AM,MF, :M,F分别为SD,SC的中点， MF/CD..且MF-CD, 又底面ABCD为正方形，且E为AB中点， .MF∥AE,且MF=AE, .四边形AEF为平行四边形， .EF∥AM, ,'EFt平面AD,AMc平面AD, ∴EF∥平面SAD: (2)解：以点D为坐标原点，DA,DC,DS所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间坐标系D-z, 则D(0,0,0),E(4,2,0),F(0,2,4),S(0,0,8), 故EF=(-4,0,4),DE=(4,2,0),FS=(0,-2,4, 设平面DEF的一个法向量为m=(x,y,z), 则位乎=-4x+红=0，可取1=4，-2，D 元.DE=4x+2y=0 设平面EFS的一个法向量为n=(a,b,c), 则F=-4a+4c=0,可取元=4,2,1)， n·FS=-2b+4c=0 则cos<元，i>=mn 1-4+1 1 m+4+11+4+7=-3 由图可知，平面DEF与平面EFS所成角的平面角6为锐角， 则cos0=lcOs<,元1=子∴平面DBF与平面E所成角的余弦值有 1 1脚双自线C芳-o~Q6>0的宾心*为，点O为华热原点，过C的仁在有 的直线1交C的右支于P,0两点，当11x轴时，|P9=22, (1)求C的方程： (2)过点P作直线x=1的垂线，垂足为N. ①证明：直线QN过定点： ②求△OON面积的最小值. 【答案】”-12@证明见解析：②3y3 22 2 【详解】(1)由题可知S=V2,a2+b2=c2,则a=b,c=√2a, 由l⊥x轴时，Pg=2W2,可令P(V2aV2, 代入双曲线 2d_2=1, 解得a2=b2=2, 则所求方程为 22 (2)①证明：设P(:,),2(,),则N(1,), 由1斜率不为0，可设1：x=y+2, 联立双曲线并整理得(m2-1)y2+4y+2=0, 则2-1≠0，△=8m2+8>0, 所以y+为=-4 2 mym与 由51，直线N0:y=4-当K-1)+y1, x3-1 根据双曲线的对称性，直线NQ所过定点必在x轴上， 令y=0,则片出(-1)+y=0,解得x=, x3-1 y2- 因为为=+2，所以x=当-m5-2少 y3-乃 一面》+2m,所以+2三心：则为+，2% 2 为 2 y2- 所以0过定点a30: 24 o-Mv-yo+户，=20m m2-1≠0 由①得8(m2+1)>0,解得0≤2<1， 2∠0 m2-1 令t=m2-1e[-1,0), 则Soaw 32 +2_3221_32,112_1 2V=2+22+48 因为10，所以e(←m.则5e之 ,当t=-1时取等号， 2 所以S.2x的最小值为3V2 2 19.在平面直角坐标系xOy中，已知直线1过点P(-2,1),且1与{：2x+y=0, 13:x-y=0(m>0)分别交于点A,B. (1)若点A在直线x=-1上，且∠AOB的平分线为射线OP, (i)求m的值； (i)求点B的坐标 (2)若直线AB与x轴负半轴及y轴正半轴分别交于点M,N,求|PM|·PN|的最小值及 取最小值时直线AB的方程. 【答案】(1)(iDm= 11 7112 (i) B 3’3 (2)4,x-y+3=0. 【解析】 【分析】(1)()根据题意求得点A的坐标，根据轴对称的两点的坐标关系，求得点A关于 直线x+2y=O的对称点A的坐标，即可求点m的值；(ii)根据A,B,P三点共线可得点B 的坐标： (2)用直线AB的倾斜角&分别表示PM,PN,进而得到PM:PWI.根据三角函数的 最值求法，求得PM|PW|的最小值及取最小值时的倾斜角，从而得到直线AB的方程 【小问1详解】 (i)由题意知，直线1,1，均过坐标原点O,直线OP的方程为x+2y=0, 因为点A为直线x=-1与直线2x+y=0的交点，所以A(-1,2). 因为∠AOB的平分线为射线OP,所以点A关于直线x+2y=0的对称点A在直线OB上， a-2 ma+12 -1, 设A(ma,a),则 -1+a +a+2=0, 2 2 11 解得a=一 5 2 11 ①)设B2b,6 因为点A(←1,2)，P(-2,),B 6,6共线，且直线AB斜率存在， 11, b-2 1-2 所以11b+1 -2-(1). 解得b=- 所以B (11 【小问2详解】 设直线AB的倾斜角为，则0<< 2 1 2 由P(←-2,1)，得sio= cOSa= PMI' PNI 所以PMI PNE1 2 424, sin a cosa sin 2a 当x=7时取等号，此时直线4B的斜率为1，方程为y-1=x+2,即x-y+3=0. 4