山东泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考复习----一元函数的导数及其应用通关检测卷

**基本信息** 以导数定义为起点，通过“概念-性质-应用”逻辑链系统整合导数计算、几何意义、单调性、极值及综合证明，突出构造函数、参变分离等可迁移方法，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数定义与计算|单选1,3/填空12|定义法/公式法|从导数定义推导到基本求导法则，构建运算基础| |几何意义|单选2,4|导数几何意义/切线方程|连接导数与曲线切线，体现数形结合思想| |单调性与极值|单选5,7/多选9|导数符号分析/极值点判断|由导函数符号研究原函数单调性，建立性质应用逻辑| |恒成立与零点|单选6,8/多选10,11/填空13,14|构造函数/参变分离/数形结合|综合运用导数性质解决不等式与零点问题，强化数学语言表达| |综合应用|解答题15-19|分类讨论/转化与化归|整合前述方法，解决含参问题与证明，提升数学思维的系统性|

山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考----一元函数的导数及其应用通关检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设是函数的导函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（    ） A．16 B．12 C．10 D．9 5．（本题5分）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．是的极小值 B．的极值点有3个 C．在区间上单调递减 D．曲线在处的切线斜率小于零 8．（本题5分）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列命题正确的有（    ） A．已知函数，若，则 B．已知函数在上可导，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 10．（本题6分）已知函数，则（   ） A．当函数是单调函数时， B．若，则的最小值为 C．若恰有两个零点，则 D．当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 11．（本题6分）已知定义在上的函数，其导函数为，满足，为自然对数的底数，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）若曲线与直线相切，则______． 13．（本题5分）已知是定义域为的函数，且满足，，则不等式的解集是________． 14．（本题5分）若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 16．（本题15分）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 17．（本题15分）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与平行，求实数的值； (2)当时，记函数，求的零点个数及所有零点之和的值． 18．（本题17分）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围； (3)当时，证明：当时，恒成立． 19．（本题17分）已知函数：． (1)若当时，恒成立；求实数a的取值范围； (2)若关于x的方程有两个不同实数根；且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2025-2026学年高二下学期期末数学备考----一元函数的导数及其应用通过检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D D A D C BD BCD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】利用在某点处导数的定义可求答案. 【详解】由在某点处导数的定义可知， 所以. 故选：A 2．D 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 3．A 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【详解】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 4．D 【分析】由得，由切线方程可得切点横坐标为，进而可得，根据基本不等式可得的最小值为9. 【详解】由得， 由直线与曲线相切可得，得， 故，得，又，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D 5．D 【分析】根据函数的单调性与导函数的关系得到含参不等式，通过参变分离转化成不等式恒成立，求解函数的最值即得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 在上恒成立， 令，. (当且仅当时等号成立). 所以. 故选：D. 6．A 【分析】构造，根据导数的运算公式可求出及，再根据求出，最后解不等式即可. 【详解】由题易知不满足不等式，当时，令， 则，，，（为常数）， 故，又，，解得，. 不等式，即，得，解得或. 故选：A 7．D 【分析】根据导数的几何意义与极值、极值点的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：由导函数图象可知是函数的极小值点， 的极小值为，A选项错误； B选项： 的极值点有两个，极大值点-3，极小值点3，B选项错误； C选项：由导函数图象可知，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，C选项错误； D选项：由图象可知，即函数在处切线斜率小于零，D选项正确. 故选：D. 8．C 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断为奇函数，由导数判断为上的增函数，则所求不等式等价于，分离参数可得，构造函数，利用导数求的最大值即可求解. 【详解】因为，所以为上的奇函数． 又因为， 所以在上单调递增. 又恒成立， 所以，则， 因此恒成立． 设，则，令，解得． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减，因此． 故选：C． 9．BD 【分析】A选项，根据复合函数的导数运算，求出，再由，解方程即可判断A错； B选项，根据导数的概念，可判断B正确； C选项，由导数的除法运算法则，可判断C错； D选项，对函数求导，令，即可判断D正确； 【详解】A选项，由，得，则，解得，故A错； B选项，由题意，根据导数的概念可得，则，故B正确； C选项，根据导数的运算法则可得，，故C错； D选项，由得，则， 解得，故D正确； 故选：BD 10．BCD 【分析】求出函数的导数，举例说明判断A；求出最小值判断B；利用导数结合零点个数求出范围判断C；设出切点坐标，利用导数探讨方程解的集数判断D. 【详解】函数的定义域为， 求导得， 对于A，当时，，函数是单调函数，A错误； 对于B，当时，，可得在上单调递减， 在上单调递增，，B正确； 对于C，当时，在上递减，函数至多有1个零点，不合题意； 当时，当时，；当时，，函数在 上递减，在上递增，， 由恰有两个零点，得，函数在上单调递增，， 因此，此时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 即当时，， ，函数在与上各有1个零点，从而，C正确； 对于D，当时，函数，求导得， 令过点的直线与曲线相切的切点为， 则切线方程为，即有， 整理得，令，求导得， 当时，，令，求导得， 即函数在上单调递增，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即方程有唯一解，则曲线有且仅有1条过原点的切线，D正确. 故选：BCD 11．BCD 【分析】由题意构建函数，根据导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】令，由题可知在上可导，， 当时，，在上单调递增； 由，得，故A不正确； 由，得，故B正确； 由，得，故C正确； 由，得，故D正确， 故选：BCD. 12．1 【分析】由题意，然后求出斜率为时的，从而可求解. 【详解】因为，所以．直线的斜率为1， 令，解得，，所以，解得． 故答案为：. 13． 【分析】首先通过构造函数，结合已知条件求出所构造函数的导数，进而判断其单调性，再利用函数单调性求解不等式. 【详解】，则， 设，则，是常值函数， 又，，， ，， 设，则， 在上单调递增，， ，在上单调递增， 由， 故不等式可转化为， 故，可得， 不等式的解集是 故答案为：. 14． 【分析】令，根据题意，得到当时，，当时，，由函数和，利用导数求得两函数的单调性和极值，作出两函数的图象且图像交于点，结合图象，即可求解. 【详解】令，要使对恒成立， 当时，对恒成立，与需同号； 当时，对恒成立，与需异号， 由函数，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数在单调递增，在单调递减， 且，，， 又由函数，可得， 所以在单调递减，且， 在同一平面直角坐标系中，作出函数与函数在的图象， 且图象交于点，如图所示， 由图象知，当时，不符合题意； 当时，直线在两图象上方或经过两图象交点，所以. 故答案为：.      15．(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 16．(1) (2) 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式直线方程求解即可； （2）由题意，分离参数得，令，，利用导数求解的最大值，即可得解. 【详解】（1）若，则，， 所以又， 所以曲线在点处的切线方程为即. （2）因为在上单调递减，所以当时，， 即，亦即. 令，，则，故在上单调递增， 所以. 要使，只需，故的取值范围是. 17．(1) (2)2个零点，所有零点之和为1 【分析】（1）对函数求导，令其在处的导数值等于的斜率即可求出的值. （2）先求出的解析式，然后求出其零点和所有零点之和. 【详解】（1）对函数求导得， 因为曲线在处的切线与平行， 所以，所以. （2）. 令，则或. 所以函数有两个零点，所有零点之和为1. 18．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算函数在处的值，求导数，代入得切线斜率，再用点斜式写出切线方程； （2）找到a使得有解，构造函数，分析函数的最小值； （3）化简不等式，构造函数，求导，得出在时恒成立. 【详解】（1）当时，. 求导： 切线斜率为： 曲线在点处的切线方程为： ，得. （2）导数，要求存在使得，即. 令，则. 当时， ，单调递增. 最小值在处， 故当时，存在使，故a的取值范围为：. （3）证明： 代入，化简不等式：即，因为，两边除以x，即. 令，求其最小值. 求导：. 因为单调递增，且，所以恒成立；又，故的符号由决定. 当时，，单调递减; 当时，，，单调递增. 故在处取最小值： 所以，即，原不等式得证. 19．(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用不等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求最大值，即可得参数范围； （2）（i）利用等式分离参变量，再构造函数求导判断单调性来求作出函数图象，从而可得参数范围； （ii）利用（1）来证明，从而把二元不等式化为一元不等式，再利用函数求导证明单调性求最大值即可. 【详解】（1）若当时，恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 令，则 所以当时，单调递增， 当时单调递减， 所以，所以，即a的取值范围是． （2）（i）若关于x的方程有两个不同实数根， 即有两个不同实数根， 等价于与的图象有两个交点， 因为， 所以当和时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，，当时，， 所以，作出函数的图象：    所以直线与的图象有两个交点的a的取值范围是． （ii）方法（一）由（i）知，，由（1）知， 因为，所以， 设的根为，即，所以， 从而，所以， 令，则， 所以当时，单调递增， 从而，从而． （ii）方法（二）由（i）知，，构造函数 则令 则再令 ， 所以当时，，从而单调递增， 因为， 所以存在，满足， 此时当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 又因为 所以存在满足 当时，，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 即， 设的根为，即， 则，从而有， 又由得，，从而， 又由（1）知，，设的根为，即 所以，从而，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $