山东泰安市2025-2026学年高二下学期数学期末备考复习----导数与函数检测卷

**基本信息** 高中数学期末专项训练，以导数与函数为核心，通过分层题型系统整合导数计算、单调性分析、极值最值、零点问题等方法，强化数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数基础|3题|定义法求导、导函数图象分析|从导数定义到导函数符号与单调性关系| |函数性质|4题|参变分离、构造函数|单调性→极值→最值的递进推导| |零点与方程|3题|数形结合、极值点分析|函数图象与方程根的转化逻辑| |恒成立问题|3题|指对同构、参数范围确定|不等式与函数最值的数学语言转化|

山东省泰安市2026年高二下学期期末备考复习---- 导数与函数检测卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）已知函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．在处取得极大值 C．在上单调递增 D．在处取得最小值 3．（本题5分）已知函数满足，且，则（   ） A．1 B．0 C． D． 4．（本题5分）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知函数，若关于x的方程有5个不等的实根，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数，如果在前消除了的污染物，那么要消除一半的污染物需要花的时间大约是（    ）（参考数据：） A．22 B．24 C．26 D．28 8．（本题5分）已知函数．若在上恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）已知函数，则下列结论中错误的是（    ） A．函数的定义域是 B．函数是偶函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 10．（本题6分）已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A． B． C． D． 11．（本题6分）关于函数，下列说法正确的是（   ） A．是的极小值点 B．函数有且只有1个零点 C．在上单调递减 D．设，则 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知函数有两个零点，则的取值范围是_________. 13．（本题5分）已知函数，则________. 14．（本题5分）已知函数，则下列结论中所有正确结论的序号是 ________ ． ①当时，恒成立； ②，使得函数有两个零点； ③，函数总有一个极值点； ④若函数在区间上单调递增，则． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知函数是偶函数. (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 16．（本题15分）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求，的极值． 17．（本题15分）已知函数. (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围. 18．（本题17分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若对任意的，都有，求实数m的取值范围． 19．（本题17分）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2026年高二下学期期末备考复习----导数与函数检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A A C D B AC BC 题号 11 答案 BD 1．B 【分析】先得到，再根据函数解析式及对数的运算法则即可求解． 【详解】由，则， 所以． 故选：B． 2．B 【分析】根据导函数图象的符号，确定函数的单调性，根据单调性可逐项判断. 【详解】由图可知，当时，，单调递减，故A错误； 当时，，单调递增， 时，，单调递减， 所以在处取得极大值，故B正确；C错误； 时，，单调递增， 所以和处取得极小值，最小值不能确定，故D错误； 故选：B. 3．A 【分析】由题可得一个周期为4，则，然后由已知条件可得答案. 【详解】， 则一个周期为4，从而，则. 故选：A 4．A 【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 5．A 【分析】利用导数知识及对数知识可判断单调性，据此可做出大致图象，由此可得答案. 【详解】因为当时，， 所以当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，的极大值为； 当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 据此可做出函数的大致图象，   有5个不等的实根，等价于图象与直线有5个不同交点. 由图可得． 故选：A． 6．C 【分析】由单调递增，可得，由可得，进而可得. 【详解】由单调递增，故得， 又，故得， 综上可得实数的取值范围为， 故选：C 7．D 【分析】利用前9小时污染物减少，建立方程求解k，通过取对数将指数方程转化为线性方程，结合参考数据化简计算，把求得的k代入模型，计算污染物减少一半所需时间. 【详解】由题意得， ∴. 故选：D. 8．B 【分析】指对同构后将不等式变形为，再设，利用导数分析单调性求出最小值，然后令，利用导数分析最大值可得. 【详解】因为，即，即在上恒成立， 设，则，易知时，， 在上单调递增，， 所以恒成立，即， 令，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 9．AC 【分析】由求出定义域判断A，代入根据定义判断出其奇偶性判断B，根据判断C，根据为偶函数判断关于对称判断D. 【详解】函数， 由，，可得，即函数定义域为，故A错误； 由， 定义域为，显然为偶函数，故B正确； 由，，，，故C错误； 由为偶函数，图象向左平移1个单位得到图象， 故函数的图象关于直线对称，故D正确. 故选：AC 10．BC 【分析】按照各选项的形式，反复利用赋值法，逐个验证即可. 【详解】对于A，令，得到，又，则，所以A错误. 对于B，令，得到，由选项A知， 所以，故B正确. 对于C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，故C正确， 对于D，由，则， 所以， ，由可知， ，即，故D错误. 故选：BC. 11．BD 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极小值点判断AC；利用导数确定单调性求出零点判断B；利用导数求出最小值判断D. 【详解】对于AC，函数的定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 函数的极小值点为，AC错误； 对于B，函数定义域为， ，函数在上单调递减， 又当时，其函数值为，因此函数有且只有1个零点，B正确； 对于D，函数定义域为，求导得， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，则函数在上单调递增， 则当时，函数取得最小值，因此，D正确. 故选：BD 12． 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 13．4 【分析】由对数运算性质结合分段函数解析式可得答案. 【详解】因，则. 从而. 故答案为：. 14．①③④ 【分析】 对于①：当时，，求导分析单调性，最值，即可判断①是否正确；对于②：令，得，分析根的个数，即可判断②是否正确；对于③：求导分析单调性，极值，即可判断③是否正确；对于④：根据题意可得，在上，，即在上，恒成立，进而可判断④是否正确． 【详解】 对于①：当时，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，取得极小值， 故对恒成立，故①正确； 对于②：令，得，即， 因，则得，解得， 又因在上单调递增，值域为， 故方程有唯一解，即函数只有一个零点， 不存在，使得函数有两个零点，故②错误； 对于③：，令，得， 则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 函数在处取得极小值，无极大值，即函数总有一个极值点，故③正确； 对于④：若函数在区间上单调递增，则在上，恒成立， 即在上恒成立，也即在上恒成立， 当时，函数为增函数，则有， ，即a的取值范围为，故④正确． 15．(1)1 (2)或 【分析】（1）根据偶函数的性质结合题意列方程可求参数的值； （2）利用对数的运算性质转化题设不等式，结合换元法可求不等式的解. 【详解】（1）因为，所以的定义域为R，关于原点对称， 又， 因为是偶函数， 所以对任意R恒成立， 所以对任意R恒成立， 则 恒成立，因此； 此时，， 所以是偶函数，满足题意，故； （2）若，则， 所以 ，所以， 令 ，则有， 即， 解得 或，所以，或， 所以或. 所以满足题意的的取值范围是或. 16．(1) (2)时无极值 时极小值为，无极大值 【分析】（1）利用导函数求得斜率，利用原函数求得切点坐标，代入点斜式即可得切线方程； （2）对的取值分类讨论，利用导函数研究函数的单调性，结合函数的单调性可得函数的极值点，再代入原函数即可得极值． 【详解】（1）（1），， 则 ，， 所以在点处的切线方程为：， 即： ． （2）（2）由题意知的定义域为， 则， ①当时， 在上恒成立，在上单调递减，所以在上无极值； ②当时，令 ，则，令 ，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以在时，取得极小值 ，无极大值； 综上所述：当时，在上无极值， 当时，在上有极小值 ，无极大值． 17．(1) (2) 【分析】（1）求导函数，令，解关于的方程求得，代入解析式即可； （2）利用导函数的单调性，结合端点函数值、极值的符号，建立不等式组求解范围. 【详解】（1）函数， 则，，解得， 所以的解析式为. （2），， 则， 由，得；由，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当， 即，解得， 所以实数m的取值范围为. 18．(1)单减区间为，的单增区间为 (2) 【分析】（1）先求出定义域，方法一：利用导数求解函数的单调性即可；方法二：利用复合函数的单调性法则：同增异减来进行求解； （2）将恒成立问题，转化为最值问题来求解即可． 【详解】（1）令，解得或． （法一）， 令，得，结合的定义域，得． 令，得，结合的定义域，得． 综上，单减区间为，的单增区间为． （法二）令，， 在其定义域内为增函数， 的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 所以，当时，单调递减，当时，单调递增． 由复合函数单调性性质，当时，单调递减，当时，单调递增， 综上，单减区间为，的单增区间为． （2）由题意． 由（1）知，当时，单增，所以． 于是，即，解得，故m的取值范围为． 19．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $