第4天 三角形的高、中线及内角的平分线（爪形模型）每日专项练习 - 2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角形高、中线、角平分线及爪形模型，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的知识逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高与距离计算|单选1、填空10|结合三角函数、面积公式求点到边距离|以正弦定理、面积公式为工具，建立边角关系与距离的关联| |中线问题|单选2、7，填空11，多选9|中线长计算及最值问题|通过向量或余弦定理推导中线公式，渗透函数思想求最值| |角平分线问题|单选4、5、6，多选8，填空12，解答14|角平分线长度、比例关系及最值|应用角平分线定理、面积法构建方程，结合基本不等式求范围| |综合拓展|单选3，解答13|费马点、跨知识点综合应用|融合特殊点性质与解三角形工具，提升复杂情境下的数学思维|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第4天 三角形的高、中线及内角的平分线（爪形模型） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.在△ABC中,tan A=,AB=3,AC=4,则点A到边BC的距离为(　　) A. B. C. D. 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=,BC边上的中线AD长为1,则bc的最大值为(　　) A. B. C. D.2 3.在三角形内到其三个顶点的距离之和最小的点称为“费马点”.意大利数学家托里拆利发现:当△ABC的三个内角均小于120°时,使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点;当△ABC有一个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点即为费马点.在△ABC中,若BC=4,且sin A∶sin B∶sin C=2∶2∶1,则该三角形的费马点到各顶点的距离之和为(　　) A.4 B.3 C.4+ D.4+2 4.在△ABC中,点D在BC边上,AD平分∠BAC,∠BAC=120°,AB=2,AD=,则AC=(　　) A.2 B. C.3 D.2 5.(2025·南京二模)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccos B=2acos A-bcos C,BC边上一点D满足=2,且AD平分∠BAC.若△ABC的面积为2,则b=(　　) A. B.2 C. D.4 6.(2025·枣庄模拟)已知△ABC中,BC=1,AB=2,sin=sin,若∠B的平分线交AC于点D,则BD的长为(　　) A.或 B.或 C. D. 7.(2025·重庆名校联盟一联)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(c-a)sin A=csin C-bsin B,b=3,则AC边上中线长度的最大值为(　　) A. B. C. D. 二、多选题(每小题6分,共12分) 　　　　　　　　　　　　　　　　 8.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=ccos∠BAC,∠BAC的角平分线交BC于点D,AD=1,cos∠BAC=,则以下结论正确的是(　　) A.AC= B.AB=8 C.= D.△ABD的面积为 9.(2025·秦皇岛一模)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中b=3,且b(sin A-cos C)=(c-a)cos B,若AC边上的中点为M,则(　　) A.B= B.S△ABC的最大值为 C.a+b+c的最小值为3+2 D.BM的最小值为 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·山西质检)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知cos C=,边AB上的高为c,则sin A+sin B=　　　　.  11.(2025·上海中学检测)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足bcos C+ccos B=2acos A,若△ABC的中线AD=,且b+c=4,则△ABC的面积为　　　　.  12.在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·北京卷)在△ABC中,cos A=-,asin C=4. (1)求c; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC的高. 条件①a=6;条件②bsin C=;条件③△ABC面积为10. 14.(2025·沈阳一监)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC的平分线交AC于点D,BE为△ABC的中线.若sin-sin=0,a=1,c=2. (1)求BE的长; (2)求BD的长. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项练习 第4天 三角形的高、中线及内角的平分线 1.答案　A 解析　在△ABC中,因为tan A=, 所以 解得sin A=,cos A=. 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=9,故BC=3. 设点A到边BC的距离为d,由三角形面积公式得,sin A·AB·AC=·BC·d, 故d=. 2.答案　A 解析　由题意得∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, 又a=,且D是BC的中点, 所以DB=DC=, 在△ABD中, cos∠ADB==, 在△ADC中, cos∠ADC==, 所以cos∠ADC+cos∠ADB=+=0,即b2+c2=,得2bc≤b2+c2=,则bc≤,当且仅当b=c=时取等号,故bc的最大值为. 3.答案　B 解析　设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为sin A∶sin B∶sin C=2∶2∶1, 所以由正弦定理得a∶b∶c=2∶2∶1, 又a=4,所以b=2,c=, 由余弦定理得 cos A= = =-<-, 所以A>120°,所以顶点A为费马点, 故点A到各顶点的距离之和为b+c=3,故选B. 4.答案　B 解析　因为S△ABC=S△ABD+S△ADC, 所以×AB×AC×sin 120°=×AB×AD×sin 60°+×AD×AC×sin 60°, 即AB×AC=AB×AD+AD×AC,代入AB=2,AD=, 可得2×AC=2×+×AC, 则×AC=4,解得AC=. 5.答案　B 解析　依题意,ccos B=2acos A-bcos C, 由正弦定理得 sin Ccos B=2sin Acos A-sin Bcos C. 移项可得 sin Ccos B+sin Bcos C=2sin Acos A. 所以sin(B+C)=2sin Acos A. 所以sin A=2sin Acos A, 因为0<A<π,所以sin A≠0, 两边同时除以sin A,可得2cos A=1, 即cos A=,所以A=. 由三角形面积公式可得bcsin =2, 即bc×=2,化简可得bc=8. ① 因为=2,所以=2. 又因为AD平分∠BAC,根据角平分线定理得==2, 即=2,所以c=2b. ② 由①②解得b=2.故选B. 6.答案　C 解析　因为sin=sin, 所以 =sin B-cos B, 即sin B=-cos B,又B∈(0,π), 所以cos B≠0, 则tan B=-,又B∈(0,π),所以B=, 又因为BD为∠B的平分线, 所以∠ABD=∠CBD=, 又因为AB=2,BC=1,在△ABC中, 由余弦定理知: AC2=AB2+BC2-2×AB·BCcos∠ABC=22+12-2×2×1×=7. 所以AC=,由角平分线定理知: ==2, 所以AD=,CD=. 由S△ABD+S△BCD=S△ABC, 得BD= ==. 7.答案　C 解析　(c-a)sin A=csin C-bsin B, 由正弦定理可得(c-a)a=c2-b2, 即a2+c2-b2=ac,则cos B=, ∵B∈(0,π),∴B=, 又b=3,所以a2+c2-9=ac, 因为ac≤, 当且仅当a=c=3时等号成立, 所以a2+c2-9≤,则a2+c2≤18. 设AC边上中线的长度为h,则 2h= =≤=3, 所以AC边上中线长度的最大值为. 故选C. 8.答案　ACD 解析　因为b=ccos∠BAC, 由正弦定理可得sin B=sin Ccos∠BAC=sin(∠BAC+C), 所以sin∠BACcos C=0, 因为sin∠BAC≠0,所以cos C=0,即C=. 因为=cos∠BAC=, 由角平分线定理可得==, 设AC=x,则AB=8x, 则BC=3x,CD=x. 在Rt△ACD中,由勾股定理可得 x2+=1, 解得x=,即AC=,AB=6. 因为S△ABC=AC·BC =××3×=, 所以S△ABD=S△ABC=.故选ACD. 9.答案　ABD 解析　对于A:b(sin A-cos C) =(c-a)cos B, 由正弦定理得sin B(sin A-cos C) =(sin C-sin A)cos B, 即sin Bsin A-sin Bcos C =sin Ccos B-sin Acos B, sin Bsin A+sin Acos B=sin A, 因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以sin B+cos B=1,2sin=1, B=,故A正确; 对于B:由余弦定理知b2=a2+c2-2accos B,9=a2+c2+ac,因为a>0,c>0,所以9=a2+c2+ac≥3ac,ac≤3,当且仅当a=c时等号成立,因为S△ABC=acsin B=ac,所以S△ABC的最大值为,故B正确; 对于C:由B知9=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,则(a+c)2=9+ac,所以(a+c)2=9+ac≤12⇒a+c≤2,当且仅当a=c时等号成立,所以a+b+c的最大值为3+2,故C错; 对于D:因为BM为AC边上的中线,所以 =+, ||= =, 得||=,因为ac≤3, 所以||的最小值为,故D正确. 故选ABD. 10.答案　 解析　由cos C=,C∈(0,π), 得sin C==, 由S△ABC=absin C=ab· =c·c,得c2=2ab, 所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-ab, 则(a+b)2=ab+c2=c2, 所以a+b=c, 所以由正弦定理知,sin A+sin B=sin C=×=. 11.答案　 解析　由bcos C+ccos B=2acos A, 得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A, 即sin(B+C)=sin A=2sin Acos A, 因为sin A≠0,所以cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=, 由2=+,两边平方得,12=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=16-bc, 所以bc=4,则S△ABC=bcsin A=. 12.答案　9 解析　法一　(由等面积法探究a,c间关系) 因为S△ABC=S△ABD+S△BCD, 即acsin 120°=×a×1×sin 60°+×c×1×sin 60°, 所以ac=a+c,即+=1, 所以4a+c=(4a+c)=5++≥5+2=9,当且仅当c=2a时,“=”成立,所以4a+c的最小值为9. 法二　(由三角形内角平分线定理,向量法探究a,c间关系) 由三角形内角平分线定理得:==, 所以=+, 两边平方得,1=c2+a2+2××ac×cos 120°, 化简得,ac=a+c,即+=1, 所以4a+c=(4a+c)=5++≥5+2=9(当且仅当c=2a时,“=”成立), 所以4a+c的最小值为9. 13.解　(1)因为cos A=-,A∈(0,π), 所以sin A==, 由正弦定理,得c==6. (2)如图所示,若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD, 若选①,a=6,因为c=6,所以C=A, 因为cos A=-<0,这表明此时△ABC有两个钝角,而这是不可能的,所以此时△ABC不存在. 若选②,bsin C=, 由正弦定理,得sin B==, 因为cos A=-,所以A∈,所以B一定为锐角,即cos B=. 因为A+B+C=π, 所以cos C=-cos(A+B) =-cos Acos B+sin Asin B =-×+× =<1, 所以△ABC存在且唯一, 在Rt△ABD中, AD=csin B=6×=, 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 若选③,△ABC的面积是10, 则S△ABC=bcsin A=b×6×=10, 解得b=5, 由余弦定理可得a= ==9, 因为b=5,c=6,所以b+c>a,a+c>b,a+b>c, 所以△ABC存在且唯一. 因为S△ABC=aAD=10, 所以AD=. 所以△ABC存在且唯一,且BC的高为. 14.答案　解　(1)由sin-sin=0, 得sin=sin =-sin =-cos =-cos, 所以tan=-, 又<B+<, 所以B+=⇒B=, 因为E为AC中点, 所以=, 所以||2= = ==. 所以||=,即BE=. (2)因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠CBD=, 设BD=x, 由S△ABD+S△CBD=S△ABC,得cxsin +axsin =acsin . 所以2x+x=2⇒x=. 故BD=. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $