单元集训卷09 解三角形-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心知识，通过基础计算、形状判断、实际应用及综合最值问题，系统构建正弦定理、余弦定理与面积公式的应用逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择1-5、填空12-13|已知边边角/角角边求边或角|从正弦定理、余弦定理直接应用到面积公式的简单计算| |形状判断|选择6、9|结合边角关系判断三角形类型|通过定理推导边角关系，建立代数与几何属性的联系| |实际应用|选择7、10|测量高度、距离等实际问题|将现实情境抽象为三角形模型，运用定理解决实际问题| |综合应用|解答15-19|含角平分线、中线、周长/面积最值|从单一定理应用过渡到多定理综合，结合函数思想解决动态问题|

单元集训卷09　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得，解得， 因为，所以，所以， 所以，故选项A正确. 2．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】根据正弦定理及二倍角公式对化简，求得，再利用三角形内角和为，求得，最后利用正弦定理得到的值. 【详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 3．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求解. 【详解】由题意及三角形的面积公式，得，即，解得， 根据余弦定理得，即， 所以的周长为． 4．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ， 两边平方得， 即， 整理得， 因为C为三角形内角，即，故，解得. 5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用正弦定理将已知边的关系转化为角的正弦平方的关系，再用余弦定理将已知边的关系转化为边的乘积，进而得到正弦乘积的方程，解出结果. 【详解】依题意，，由正弦定理得，， 所以，由余弦定理可得，， 即，所以， 即，又因为，所以. 6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7．为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】先在水平面三角形中利用正弦定理求出的长度，再在直角三角形中利用正切函数求出塔高. 【详解】由题意可知， 平面，所以为直角三角形，且， 在中，已知，， 所以， 由正弦定理 ， 得 （米）. 在中，， 所以 （米）. 8．在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可. 【详解】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，，则三角形有一解 C．若，，，则是锐角三角形 D．若，且，则为等边三角形 【答案】ABD 【分析】由正弦定理及三角形大边对大角判断AB选项，由三角形大边对大角及余弦定理判断C选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断D选项. 【详解】对于A，由正弦定理得，，所以，A正确. 对于B，由正弦定理，得， 因为，所以，所以只有一个锐角解，故三角形有一解，B正确. 对于C，因为，所以为最大角， 由余弦定理， 因为，所以为钝角，即是钝角三角形，C错误. 对于D，和分别表示与和同方向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，D正确. 10．某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 【答案】BCD 【分析】作出示意图，利用正弦定理、余弦定理解三角形，结合方向角的概念逐项判断即可. 【详解】作出示意图如下图所示： 对于A选项，由题意可知，故处在灯塔的西偏北，A错； 对于B选项，在中，，，，故， 由正弦定理得，故， 即处与处之间的距离是海里，B对； 对于C选项，在中，，，， 由余弦定理可得， 故，即灯塔与处之间的距离是海里，C对； 对于D选项，因为，则，故灯塔在处的西偏南，D对. 11．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 【答案】AC 【详解】A选项，，由正弦定理得：， 即， 所以， 即， 因为，所以，所以，则， 因为，则， 令外接圆的半径为， 所以，即，所以A选项正确； B选项，，即：，则， 因为，，所以， 当且仅当时等号成立，此时的最大值为，所以B选项错误； C选项，，，当且仅当时等号成立， 因为，所以的最大值为，所以C选项正确； D选项，因为为边上的中线， 所以，， 得，因为，所以的最小值为，所以D选项错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，，则的面积为________． 【答案】 【详解】已知，则， 由余弦定理可得：， 代入，得：，解得， . 13．的面积为.若，，则角等于____. 【答案】 【分析】先根据正弦定理，可求角，再结合余弦定理和三角形的面积公式可求角，最后利用三角形内角和定理求角. 【详解】由正弦定理，可得， 所以. 因为为三角形内角，所以，所以，可得. 由余弦定理，， 由可得， 又，所以， 又为三角形内角，所以. 所以. 14．在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】 【分析】在和中由余弦定理表示出，可得，再求出凸四边形ABCD面积，由此求出的面积的最大值，进而求出的最大值. 【详解】连接，在和中，， ，所以， 设凸四边形ABCD面积为，所以， 所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，，点在边上，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换及正弦定理求解即可； （2）利用求解即可. 【详解】（1）将展开， 得, 即, 因为，则， 又因为， 所以； （2）设， 因为，平分， 所以， 又因为， 解得， 故. 16．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再根据三角诱导公式以及两角和的正弦公式即可求解； （2）根据面积公式结合面积关系即可求解； （3）根据余弦定理和基本不等式即可求解. 【详解】（1）根据正弦定理，边化角得： ， 又，故， 代入上式整理得： ， 因为，，所以， 又，得. （2）由三角形面积公式： ，得， 是角平分线，故，由面积关系， 设， 则 ， 代入得：，解得. （3）由余弦定理： ， 即，得， 由基本不等式，代入得： 当且仅当时等号成立， 所以的周长， 故的周长最大值为. 17．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理把边化角求解； （2）由余弦定理和三角形面积公式求解； （3）把三角形的面积转化为角A表示的函数，再三角函数的值域. 【详解】（1）由正弦定理得， 由及，得， 即， 因为， 所以， 所以，因为,， 所以，所以， 因为，所以； （2）由余弦定理得，即，所以. 又的面积为，所以. 所以，所以； （3）由（1）知，，则， 所以，，所以 由，得， 所以，所以，所以， 所以面积的取值范围是. 19．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元集训卷09　解三角形 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，，则的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 2．的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 3．在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 5．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 7．为了测量河对岸一座塔的高度，测量员在河岸这边选取了两个观测点和，已知，两点的距离为米，且点，，在同一水平面上，在点处测得塔顶的仰角为，，，则塔的高度为（   ）    A．米 B．米 C．米 D．米 8．在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，，，则三角形有一解 C．若，，，则是锐角三角形 D．若，且，则为等边三角形 10．某货轮在处时，灯塔位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自处向正北方向航行到处时，灯塔位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（ ） A．处在灯塔的西偏北 B．处与处之间的距离是海里 C．灯塔与处之间的距离是海里 D．灯塔在处的西偏南 11．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B．的周长的最小值为 C．的面积的最大值为 D．边的中线的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，，则的面积为________． 13．的面积为.若，，则角等于____. 14．在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角的对边分别为，． (1)求角的大小； (2)若，，点在边上，且平分，求的长． 16．在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求； (2)若的平分线交于点，，的面积为，求的长度； (3)若，求周长的最大值. 17．如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 18．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，. (1)求角B； (2)若的面积为，求的值； (3)若为锐角三角形，求面积的取值范围. 19．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $