专题1.1 二次函数的意义 讲义 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.1 二次函数的意义 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 根据条件求参数 题型3 实际问题中函数关系式 题型4 求函数解析式及相关计算 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围； 4. 求二次函数的解析式。 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【易错提醒】（1）a≠0 （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式 二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a，b是常数，a≠0) y=ax²+c(a，c是常数，a≠0) (a，h，k是常数，a≠0) (a，m，n是常数，a≠0) 3.求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常用待定系数法，关键是求各项的系数a、b、c。 题型归纳 题型1 二次函数的辨识 【例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例2】下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习】 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 4．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 5．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 6．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 7．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 题型2 根据二次函数定义求参数 【例1】若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【例2】若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【变式练习】 1．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 4．如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0 5．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 题型3 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【例2】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【变式练习】 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 2．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 4．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 6．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 7．如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 8．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 题型4 求函数解析式及相关计算 【例1】已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【例2】已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【例3】一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 【变式练习】 1．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 2．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 3．已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． 4．已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 5．已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 6．已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断点是否在该二次函数图象上． 一、单选题过关练习 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 2．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 5．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 二、填空题 7．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 8．将二次函数整理为一般式得___________ 9．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是_________． 10．已知二次函数，当______时，图象经过原点． 11．下列函数①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是______． 12．若是关于的二次函数，则的值为______． 13．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 14．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 15．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 16．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 三、解答题 17．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 18．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 19．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 20．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 21．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 22．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $浙教版 九上数学讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题1.1 二次函数的意义 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 二次函数的识别 题型2 根据条件求参数 题型3 实际问题中函数关系式 题型4 求函数解析式及相关计算 1. 理解二次函数的概念； 2. 掌握二次函数的一般形式，能与一次函数作本质区分； 3. 根据实际问题列函数解析式，并求自变量取值范围； 4. 求二次函数的解析式。 知识点讲解 1. 二次函数的概念 一我们把形如 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 【易错提醒】（1）a≠0 （2）ax²+bx+c必须是整式； 2. 二次函数的一般式 二次函数的一般式：y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 特殊形式： y=ax²(a≠0) y=ax²+bx(a，b是常数，a≠0) y=ax²+c(a，c是常数，a≠0) (a，h，k是常数，a≠0) (a，m，n是常数，a≠0) 3.求二次函数的解析式 求二次函数的解析式常用待定系数法，关键是求各项的系数a、b、c。 题型归纳 题型1 二次函数的辨识 【例1】下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，正确理解二次函数的定义是关键．形如（a，b，c是常数，）的函数为二次函数．根据二次函数的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：选项A、，属于二次函数，符合题意； 选项B、是正比例函数，不符合题意； 选项C、是一次函数，不符合题意； 选项D、是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 【例2】下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的一般形式为，其中a为二次项系数，直接比较各选项中的系数即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意 C. 二次项系数是，不符合题意；     D. 二次项系数是，符合题意； 故选：D． 【变式练习】 1．下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 3．在函数①，②，③，④中，y关于x的二次函数是_____．（填写序号） 【答案】④ 【分析】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．根据形如是二次函数，可得答案． 【详解】解：①时是一次函数， ②是一次函数； ③不是整式，不是二次函数； ④是二次函数， 故答案为：④． 4．指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） （4） 【答案】见解析 【分析】根据二次函数的定义，二次函数的解析式处理． 【详解】解： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） 2 （2） 0 （3） 1 0 （4） 1 0 0 【点睛】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 5．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 6．把二次函数化为的形式，并分别写出二次项、一次项和常数项． 【答案】；二次项为，一次项是，常数项是0 【分析】根据二次函数的一般式解答即可． 【详解】解：二次函数即为， ∴二次项为，一次项是，常数项是0． 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，叫做二次函数的一般形式，其中分别叫做二次项、一次项和常数项． 7．关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】乙的说法对．理由见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 题型2 根据二次函数定义求参数 【例1】若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题考了二次函数的定义，二次函数的一般形式：根据二次函数的定义，函数中必须存在二次项，且二次项系数不能为零。因此，需要满足指数条件 且系数条件 。 【详解】因为函数是关于 的二次函数，所以 的最高次项为二次，即 。 解方程 ，得 ，所以 或 。 又因为二次项系数 ，当 时，，不符合条件，故 舍去。 因此，。 当 时，函数为 ，满足二次函数定义。 【例2】若是关于x的二次函数． (1)求m的值及函数表达式． (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1)，函数的表达式是 (2)二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0 【分析】本题主要考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义，二次函数一般式是关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由①得，，由②得， ∴，函数的表达式是． （2）解：二次项系数是，一次项系数是5，常数项是0． 【变式练习】 1．若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 4．如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选：B． 5．已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【分析】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 6．已知函数，其中为常数． (1)当取什么值时，它为二次函数？ (2)当取什么值时，它为一次函数？ 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当，即时，原函数为，是一次函数； 当即时，原函数为，也是一次函数， 综上所述，当或时，是一次函数． 题型3 列二次函数解析式及自变量取值范围 【例1】如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 【例2】某旅游景区一宾馆重新装修后，有间房可供游客居住．经市场调查发现，每间房每天的定价为元，房间会全部住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会有一间房空闲．如果游客居住房间，每间房每天需支出元的各项费用．设每天每间房的定价在元的基础上增加元，宾馆获利为元． (1)求关于的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）； (2)物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，此时每间房定价为多少元时，宾馆每天可获利元？ 【答案】(1) (2)每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【分析】本题考查的是盈利问题的二次函数式及解一元二次方程，通常做法是先列出二次函数式，然后代入求解．用代数式表示每间房间的利润和房间数是关键． （1）根据题意表示出每间房间的利润和房间数，进而求得答案； （2）代入（1）求出的函数式，解方程即可，注意要符合条件的． 【详解】（1）解：由题意得 答∶关于的函数关系式为：． （2）解：由（1）可得：． 令，即 解得，． 物价部门规定节假日期间客房定价不能高于平时定价的2倍，平时定价为元， 定价不能高于（元）． 当时，定价为（元）， ， 符合规定； 当时，定价为（元）， ， 不符合规定，舍去． 答∶每间房定价为元时，宾馆每天可获利元． 【变式练习】 1．某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 2．若正方形的边长为6，边长增加，面积增加，则关于的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据正方形的面积公式正确列出函数解析式是解题的关键． 根据x和y表示的含义，利用正方形的面积公式列出函数关系式即可． 【详解】解：∵原正方形的边长是6，面积是， ∴增加后的边长是，面积是， ∴增加的面积， 故选：C． 3．将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 4．某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为元，每天利润为元，则与之间的函数关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二次函数关系式，根据题意可得单件商品的利润为元，销售量为件，据此列出对应的函数关系式即可． 【详解】解：由题意得， ， 故答案为：． 5．某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（个）与销售单价（元个）有如下关系：（，且为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为元．则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】此题考查求二次函数解析式，根据销售总利润等于单件利润乘销售量计算解答． 【详解】解：， 故答案为：． 6．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． (1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数； (2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数； (3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数． 【答案】(1)；一次 (2)；反比例 (3)；二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可得，化简即可得出答案； （2）根据题意可得，化简即可得出答案； （3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案； 【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数， 故答案为：，一次． （2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数， 故答案为：，反比例． （3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴是的二次函数， 故答案为：，二次． 7．如图, 在矩形中，．点从点 出发，沿射线方向运动，在运动过程中，以线段为斜边作等腰直角三角形．当经过点时，点停止运动：设点的运动距离为，与矩形重合部分的面积为 ． (1)当点落在边上时， ； (2)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)设的中点为 ，直接写出在整个运动过程中，点 移动的距离． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】当点在上时，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，从而可得，所以可得； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知，当时，重叠部分的面积为的面积；当时，重叠部分的面积为 等腰梯形的面积；当时，重叠部分的面积为 五边形的面积．分情况求出与之间的函数关系式即可； 根据矩形的性质和等腰直角三角形的性质可知：的中点运动的路径为线段，利用勾股定理求出矩形的对角线的长度即可． 【详解】（1）解：如下图所示，当点在上时， 是等腰直角三角形， ，， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形，且， ， ， ， 故答案为； （2）解：当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为的面积， 是等腰直角三角形， 点到边上的高为， ； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 等腰梯形的面积， 是等腰直角三角形，， ， 在中，， ， ， ， 整理得：； 当时， 如下图所示， 重叠部分的面积为 五边形的面积， 此时， ， ， 整理得：； 综上所述，与之间的函数关系式是； （3）解：如下图所示， 当点在上时，， ， ， ， 点是的中点， 的中点运动的路径为线段， ， 点 移动的距离． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，矩形的性质，求分段函数关系式，勾股定理等，解决本题的关键是要利用分类讨论的思想分情况求关系式． 8．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 题型4 求函数解析式及相关计算 【例1】已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 【例2】已知二次函数，当时，；当时，；当时，；a-b+c=________,a+b+c=________,c=_________. 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 【例3】一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下： 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行距离 0 2 6 12 20 (1)s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）； (2)求s关于t的函数表达式； (3)已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）． 【答案】(1)二次 (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，已知函数值求自变量的值， 对于（1），根据自变量增加1时，函数值依次增加的情况可得答案； 对于（2），用待定系数法求出函数关系式即可 对于（3），当时，分别求出t，再比较大小． 【详解】（1）解：自变量增加1时，函数值依次增加了2,4,6,8，可知是二次函数； 故答案为：二次； （2）解：设函数关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴函数关系式为； （3）解：根据题意，得， 当时，， ∴． 故答案为：． 【变式练习】 1．二次函数的函数值是，那么对应的值是（    ）． A． B． C．和 D． 和 【答案】C 【分析】把函数值代入函数解析式，解关于的一元二次方程即可． 【详解】把代入， 得 ， 整理得，， 解得，， ∴对应的自变量的值是或， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键． 2．已知二次函数． (1)当时，求函数的值； (2)当函数值为2时，求自变量x的值． 【答案】(1)2 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，解题的关键是代入后正确的计算， （1）将给定的自变量值代入函数表达式，通过计算即可得到对应的函数值； （2）把给定的函数值代入函数表达式，得到一个关于自变量的一元二次方程，然后通过因式分解等方法求解方程的根，即自变量的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，函数的值为2； （2）解：当时，即， 解得，或， ∴当函数值为2时，自变量x的值为或． 3．已知，二次函数（都是常数，且）的部分对应值为： x … －1 0 1 2 … y … 0 n … (1)求n的值和二次函数的解析式． (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1)， (2)3或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的关系式，二次函数图像的性质，求二次函数值或自变量的值，对于（1），根据表格确定对称轴，由抛物线的对称性得出n，再根据待定系数法求出关系式； 对于（2），令，求出一元二次方程的解即可. 【详解】（1）解：根据图表可知： 二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∵的对称点为， ∴ 设， 将和代入得 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）点Q能在该函数图象上， 把代入，得． 解得或. ∴m的值是3或． 4．已知二次函数的图象经过，两点．求二次函数解析式并试判断点是否在此函数图象上． 【答案】 ，点不在此函数图象上 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据待定系数法求出函数解析式，验证当时的纵坐标即可解题． 【详解】解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，， ∴不在函数图象上． 5．已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： …… 0 1 …… …… 0 3 0 …… (1)求该二次函数的表达式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设二次函数的表达式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）依题意，把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，设二次函数的表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：由（1）得， 观察表格，函数图象经过点， ∴， 则， ∴ 解得， ∵， ∴． 6．已知二次函数的图象经过点和． (1)求该二次函数的表达式． (2)判断点是否在该二次函数图象上． 【答案】(1) (2)不在 【分析】本题考查了的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）把两个已知点的坐标分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可； （2）根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：把和分别代入， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在该二次函数图象上． 一、单选题过关练习 1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 2．下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的判断， 根据定义逐项判断即可，形如是二次函数. 【详解】解：因为中含有分式，所以A不是二次函数； 因为中，时不是二次函数，所以B不符合题意； 因为是一次函数，所以C不符合题意； 因为是二次函数，所以D符合题意. 故选：D. 3．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中）进行判断． 【详解】解：二次函数需满足：整式函数，且最高次项为二次． A：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； B：，含有分式，不是整式，不符合二次函数的定义； C：，符合二次函数的定义； D：，最高次项为一次，不符合二次函数的定义； 故选：C． 4．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 5．某厂今年十月份新产品的研发资金为8万元，以后每月新产品的研发资金与上个月相比增长率都是，则该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据题意可得今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为，即可求解． 【详解】解：根据题意，今年十月份新产品的研发资金为8万元，则十一月份的新产品的研发资金为，十二月份新产品的研发资金的为， ∴该厂今年十一、十二月份新产品的研发资金w（万元）关于x的函数关系式为， 故选：C． 6．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 二、填空题 7．二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作 ___________．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是 ___________，b是 ___________，c是 ___________．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数 ___________这个关键条件． 【答案】 二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 不等于0 【分析】此题考查的是二次函数，掌握其定义是解决此题的关键．直接根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫作二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不等于0这个关键条件． 故答案为：二次函数，二次项系数，一次项系数，常数项，不等于0． 8．将二次函数整理为一般式得___________ 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 9．若关于x的函数 是二次函数，则a 的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义．二次函的基本表示形式为，二次函数最高次必须为二次，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 10．已知二次函数，当______时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 11．下列函数①；②；③；④；⑤，其中是二次函数的是______． 【答案】②④/④② 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断． 【详解】解：①，自变量的最高次数为1，不是二次函数； ②是二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数； ④是二次函数； ⑤函数式为分式，不是二次函数． 故答案为：②④． 12．若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 13．一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 14．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为． 即． 故答案为：． 15．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为． （1）若绳长为，则与的关系式为___________，是的___________函数； （2）若矩形的面积是，则与的关系式为___________，是的___________函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为___________，是的___________函数． 【答案】 一次 反比例 二次 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （2 ）根据题意可得，化简即可得出答案； （3 ）根据题意可得，即可得出，即可得出答案； 【详解】（1 ）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的一次函数． 故答案为：，一次 （2 ）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为， ∴， 即， ∴是的反比例函数． 故答案为：，反比例 （3 ）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴S是的二次函数． 故答案为：，二次 16．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次函数， (2)是二次函数， (3)不是二次函数 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，一般形式，是解题的关键．形如（a、b、c是常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （2）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （3）化成一般形式，是一次函数，不是二次函数． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次函数，． （2）解：∵， ∴是二次函数，． （3）解：∵， ∴不是二次函数． 18．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 19．2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万；2021年，我国新增水土流失治理面积比2020年增长约． (1)2021年，我国新增水土流失治理面积大约是多少万平方千米？（结果精确到万） (2)如果2022年、2023年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2023年我国新增水土流失治理面积为y万，那么y的表达式是什么？ 【答案】(1)万 (2) 【分析】（1）根据增长率的意义列式求近似数即可； （2）根据增长率的意义，列式求解即可； 【详解】（1）解：2021年，我国新增水土流失治理面积大约是 万平方千米； （2）解：2021年新增水土流失治理面积万平方千米，2022年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年新增水土流失治理面积万平方千米， 2023年我国新增水土流失治理面积为y万，得到； 20．某公司投入万元万元只计入第一年成本研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产产量销售量，第一年该产品正式投产后，生产成本为元件．此产品年销售量万件与售价元件之间满足函数关系式 ． (1)求这种产品第一年的利润万元与售价元件之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ 【答案】(1)； (2)元/件； 【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式． （1）根据利润单件利润销售量，即可解决问题； （2）当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价． 【详解】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． 21．如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． (1)写出与的函数关系式； (2)上述函数是什么函数？ (3)自变量的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2)二次函数 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟悉掌握矩形的面积公式列出函数是解题的关键． （1）根据矩形面积公式解答即可； （2）由函数式子判断即可； （3）结合题意解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 即：； （2）解：∵， ∴是的二次函数； （3）解：由题意得：自变量的取值范围是． 22．【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $