精品解析：重庆市求精中学校2025-2026学年度高二下学期期末数学模拟试卷

重庆求精中学2027届高二下期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，解分式不等式求得集合，进而求解结论. 【详解】根据题意，原式，移项得，即， 所以，解得，即， 所以. 故选：B. 2. 已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解A，根据对数的运算性质即可求解BC，举反例即可求解D. 【详解】对于A,由可得，故， 因此，即，A正确， 对于B，，故，B正确， 对于C，（由于，故等号取不到），C正确， 对于D，取，则，故D错误， 故选：D 3. 已知命题对恒成立， 命题函数在上单调递减， 则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对于恒成立,求出的取值范围，在上单调递减，,求出的取值范围，进而判断. 【详解】对于恒成立，则，故， 在上单调递减，则，解得，即 . 所以得不到，但是可以得到. 故是必要而不充分条件. 故选：B 4. 语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占 ，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.45 D. 0.75 【答案】D 【解析】 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 5. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得 ，即得 ， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 7. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出把5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数，再求出每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数即可求出概率. 【详解】依题意，5个奇数填入白色格子的试验的基本事件总数为， 中间行必有一格填奇数3，9之一，另一个填入不含6的那一行，有种方法， 再排奇数1，5，7，有种方法， 因此每一行的3个数字之积都能被3 整除的事件含有的基本事件数为， 所以每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率. 故选：B 8. 已知m，n，k均为正实数，，且若恒成立，则实数t的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式分离变量，再利用等式得出代入不等式进行化简，构造函数，再利用函数导数得出函数的最大值，从而得出结果； 【详解】由题意知m，n，k均为正实数， 恒成立，恒成立， 因为， 所以 令，则 令，则 （舍）或 ， 当时，在区间上单调递增； 当 时，在区间上单调递减； 所以函数有最大值，最大值为， 因此的最小值为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：最值求解方法： 1.从函数的最值出发，构造函数，求函数的最值． 2.利用函数单调性，求得最值 3.利用基本不等式求最值 4.利用三角函数有界性求最值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D. 变量 与 的回归方程为，若观测数据中 均值为1，则变量 均值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、方差的性质、百分位数的计算方法以及回归方程的性质来逐一分析选项. 【详解】对于选项A： 因为，根据正态分布的对称性可得，，所以A正确； 对于选项B： 根据方差公式可知，所以B错误； 对于选项C： 因为，所以第40百分位数为第3项数据，即17，所以C错误； 对于选项D： 因为回归方程过样本中心点，所以当时，，所以D正确. 故选：AD. 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式定理的定义、通项的运用和赋值法即可得到答案. 【详解】对于A，令 时，则展开式中各项系数之和为1，故A正确； 对于B，第二项二项式系数,第四项的二项式系数,第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误； 对于C，展开式的通项为， 令，∴，展开式中的常数项为，故C正确； 对于D，展开式的通项为，当时，，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则（ ） A. 当 时，既有极大值，又有极小值 B. 若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 时，在区间内取到最大值，则实数 的取值范围为 D. 不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求导，按 、 、 三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即 时，得或 ；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即 时，得 或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即 时，，则在上单调递增； A选项，当 时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则 ，故B正确； C选项，当 时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若 ，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若 ，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若 ，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 则不等式的解集为___ 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，分段列出不等式组求解即可. 【详解】或, 或, 或, 或 所以不等式解集为. 故答案为: 13. 如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为__________m3． 【答案】36 【解析】 【分析】设仓库长为m，高为m，由预算得关系式，利用基本不等式求出范围，由范围求仓库的储物量的最大值. 【详解】设仓库长为m，高为m， 则， 即，其中， 因为， 即, 所以，当且仅当m时取等号， 所以仓库的储物量， 即仓库的储物量的最大值为. 故答案为：36. 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先讨论的取值范围，结合二次函数的单调性，结合图象即可判定方程根的个数； （2）根据韦达定理可得，，以及，即可代入化简，利用不等式的性质求解. 【详解】由题意，可知， 当 时，在，上单调递减，在单调递增，故方程有3个不相等的实数根，则有1个根，有2个根，如图： 所以，解得； 当 时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； ③当 时，，不符合题意； 综上，取值范围是． ，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的根，即， ， 记， 由于，所以， 故 所以的取值范围． 故答案为：， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出集合 ，再根据集合并集求解即可. （2）根据得到，再根据集合之间的包含关系求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 所以， 当时，， ， 【小问2详解】 ，， ①若，则，解得； ②若 ，要使，则应满足． ，即，解得， 综上所述，所求实数a的取值范围是． 16. 某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）求不满意人数 与月份 之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 【答案】（1）；37 （2）不能 【解析】 【分析】（1）根据题给数据求解回归方程即可得出结论； （2）根据题给数据分析列联表求解得出结论 【小问1详解】 由表中的数据可知，， ， ，， 不满意人数 与月份 之间的回归直线方程为， 当时， 预测该小区10月份对这款不满意人数为37； 【小问2详解】 提出假设：是否使用这款与性别无关， 由表中的数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们不能推断不成立， 即不能认为使用这款与性别有关. 17. 高考结束后，甲、乙两位同学打算利用假期考取驾照，经过努力已经顺利通过了科目一和科目二两项考试，进入最难的科目三环节．根据《机动车驾骆证申领和使用规定》：科目三考试需要提前预约，每次预约的可以考试一轮，最多可以预约五轮考试．一轮考试分为正考和补考，考生首先参加正考，若合格，则科目三合格.若不合格，则可以于当日再参加一次补考．若补考通过，则科目三也合格，否则该轮考试不通过.若某轮考试不通过，则需于十日后再次预约申请考试，并参加下一轮考试，以此类推．若五轮考试均不通过，则科目三环节不通过，需要重新申请考取驾照．经过一段时间的模拟可知：甲同学每轮考试中，正考通过的概率为，补考通过的概率为，乙同学每轮考试中，正考通过的概率为，补考通过的概率为，假设每人每次考试均相互独立，甲乙考试是否通过也相互独立． （1）分别求出甲、乙同学一轮考试通过的概率； （2）该驾校为了鼓励学员们尽快考取驾照，拟定了一项奖励机制：若学员第一轮就通过科目三考试便可获得200元奖金，若第二轮通过科目三考试则可获得100元奖金，否则没有奖金，求甲、乙两位同学可获得的奖金之和的数学期望． 【答案】（1）甲一轮通过考试的概率为，乙一轮通过的概率为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算即可求出； （2）设甲获得的奖金为 ，乙获得的奖金为 ，则 ， 均可取0，100，200，分别求出取不同值的概率即可得出分布列，求出的期望，进而得出奖金之和的数学期望. 【小问1详解】 甲一轮通过考试的概率为， 乙一轮通过的概率为． 【小问2详解】 设甲获得的奖金为 ，乙获得的奖金为 ，则 ， 均可取0，100，200， ，，， 的分布列： 200 100 0 从而， 又，，， 所以 的分布列： 200 100 0 从而， 因为 与 相互独立，所以． 18. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当 时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【小问1详解】 由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； 【小问2详解】 当 时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时， ，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； 【小问3详解】 因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数 取值范围. 19. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意 ，都有； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对任意的 ，当时，要证，只需证明，变形为，构造函数，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立； （3）由（2）得出，令，可得出，证明出，令，可得出，结合不等式的性质得出，再利用累加法可证得结论成立. 【小问1详解】 当 时，， 则， 所以，而， 则在点处的切线方程为 . 【小问2详解】 任意的 ，当时，， 故只需证对任意的 恒成立，整理得， 构造函数，其中 ， 则 ， 所以函数在上为减函数，故当 时，，即， 故对任意的 ，， 故当时，对任意 ，都有. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，即， 令，则， 因为，所以， 构造函数，其中 ，则， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，即，当且仅当 时，等号成立， 令，得，即， 整理得， 则， 即， 所以，，，， 累加得 ， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆求精中学2027届高二下期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题对恒成立， 命题函数在上单调递减， 则 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占 ，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.45 D. 0.75 5. 设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中， 每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3 整除的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知m，n，k均为正实数，，且若恒成立，则实数t的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. 一组数据11，13，17，19，20，22的第40百分位数是13 D. 变量 与 的回归方程为，若观测数据中 均值为1，则变量 均值为1 10. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 第二项与第四项的二项式系数相等 C. 常数项为60 D. 有理项共有4项 11. 已知，则（ ） A. 当 时，既有极大值，又有极小值 B. 若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C. 时，在区间内取到最大值，则实数 的取值范围为 D. 不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数 则不等式的解集为___ 13. 如图所示，利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体仓库．由于空间限制，库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/m2，仓库底面的建造成本为600元/m2．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．则仓库的储物量（即容积）的最大值为__________m3． 14. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数a的取值范围． 16. 某手机公司对一小区居民开展5个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 （1）求不满意人数 与月份 之间的回归直线方程，并预测该小区10月份对这款不满意人数； （2）工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表： 使用 不使用 女性 48 12 男性 22 18 根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？ 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，，，， 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据： . 17. 高考结束后，甲、乙两位同学打算利用假期考取驾照，经过努力已经顺利通过了科目一和科目二两项考试，进入最难的科目三环节．根据《机动车驾骆证申领和使用规定》：科目三考试需要提前预约，每次预约的可以考试一轮，最多可以预约五轮考试．一轮考试分为正考和补考，考生首先参加正考，若合格，则科目三合格.若不合格，则可以于当日再参加一次补考．若补考通过，则科目三也合格，否则该轮考试不通过.若某轮考试不通过，则需于十日后再次预约申请考试，并参加下一轮考试，以此类推．若五轮考试均不通过，则科目三环节不通过，需要重新申请考取驾照．经过一段时间的模拟可知：甲同学每轮考试中，正考通过的概率为，补考通过的概率为，乙同学每轮考试中，正考通过的概率为，补考通过的概率为，假设每人每次考试均相互独立，甲乙考试是否通过也相互独立． （1）分别求出甲、乙同学一轮考试通过的概率； （2）该驾校为了鼓励学员们尽快考取驾照，拟定了一项奖励机制：若学员第一轮就通过科目三考试便可获得200元奖金，若第二轮通过科目三考试则可获得100元奖金，否则没有奖金，求甲、乙两位同学可获得的奖金之和的数学期望． 18. 已知函数， （1）若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； （2）当 时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； （3）若存在两个不同的极值点，，且，求实数 的取值范围． 19. 已知函数． （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）当时，证明：对任意 ，都有； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $