重庆市2025-2026学年高二下学期期末自编模拟数学卷（十）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，题型全面，解答题注重综合应用与分层设计，如概率统计结合两次实验考查数据意识，立体几何动态问题培养空间观念，体现数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、函数零点、向量夹角等|基础概念与技能，如中位数确定考查统计观念| |多选|3/18|导数应用、立体几何动态问题等|选项分层，如结合面面垂直考查空间想象| |填空|3/15|复数、等比数列、统计方差|实际应用，如AI公司成绩方差计算体现数据意识| |解答题|5/77|解三角形、概率统计、立体几何等|综合探究，如椭圆存在性与面积最值考查逻辑推理|

2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 5．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 7．已知一组数据1，2，6，8，10，12，的中位数为，则可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 10．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 13．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 14．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 16．一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数. (1)若，，求所有的； (2)若，，求的分布列和数学期望； (3)若，且，求. 17．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 18．在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年重庆市高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， 所以. 2．设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合正弦型函数的性质求其零点，结合条件列不等式求的最小值. 【详解】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得， 所以. 3．已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，化简可得， ，代入可得， 因为向量与向量都是非零向量， 所以向量与向量垂直，即夹角为. 4．已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 5．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高， 由，得，， 作于，所以，， ， 故所求棱台的侧面积为． 6．已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 7．已知一组数据1，2，6，8，10，12，的中位数为，则可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据中位数的定义确定的位置，进而得到其范围，即可得. 【详解】由题设，数据共有7个数，则， 所以中位数是数据从小到大排列后的第4个数，且为， 所以数据从小到大为，即， 结合各选项知可能为7. 8．已知函数的定义域均为，，的图象关于直线对称，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由及可得，进而可得的一个对称中心，再由是轴对称可知函数是周期函数，从而根据周期及对称可得所求值. 【详解】因为．所以， 又因为，所以， 即，所以的图象关于点对称，且． 又因为的图象关于直线对称，所以，且 所以，则， 所以，所以是函数的一个周期． 所以． 又因为，所以． 所以，所以. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知的导函数为，且，，则（    ） A． B． C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】由题可得(为常数)，构造，可得，结合导数依次判断选项即可. 【详解】由，可得， 即(为常数)， 设，则， 由于，所以，则， 解得：，所以， 所以， 则，所以，故A正确； 对于B，， 即，故B错误； 对于C，令，所以，即在上单调递增，故C正确； 对于D，令， 所以， 令，解得：，所以在上单调递增， 令，解得：，所以在上单调递减， 则，即， 所以成立，故D正确. 10．如图，在长方体中，，，点为四边形内部（不含边界）的一个动点，平面平面，则下列说法正确的是（    ） A．异面直线与所成角的余弦值为 B．当时，二面角的正切值为 C．四面体的外接球体积为 D．若，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量法可判断选项A，结合面面垂直性质定理，动点轨迹方程，以及二面角的求解方法分析可判断选项B；找出外接球的球心，利用已知条件求出半径，利用球体体积公式计算可判断选项C；根据动点的轨迹方程以及向量的坐标关系式和圆的参数方程、三角函数性质求解可判断选项D. 【详解】以为原点，分别为轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 对于A，由，所以， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确； 对于B，过作垂足为点，因为平面平面， 且平面平面，平面，所以平面， 又平面，故，又，， 平面，所以平面， 平面，故，， 根据二面角定义可知是二面角的平面角， 则，故B正确； 对于C，设的中点为，连接，因为都是直角三角形， 所以，即四面体外接球的球心为点， 所以，可得外接球半径为，所以体积，故C错误； 对于D，因为， ，， 所以，故， ， 因为，所以的轨迹是以为直径，中点为圆心的圆在正方形内的部分， 所以在平面上的轨迹方程为， 设， 得，由 得，故， 所以，故D正确. 11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，且上一点满足，则（ ） A．离心率为 B． C． D．过点可以作四条直线与双曲线有唯一公共点 【答案】ABD 【分析】先设中心在原点焦点在坐标轴上的双曲线一般方程为，代入已知两点坐标求出双曲线的标准方程与基本量，再结合双曲线定义、余弦定理、三角形面积公式逐一验证前三个选项，最后通过判断过点的切线和与渐近线平行的直线的数量，验证选项D. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为， 将坐标两点代入， 得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 对于A，由题意知的焦点在轴上，且， 所以，离心率为，故A正确； 对于B，不妨设点在双曲线的右支上，所以， 因为，解得， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误． 对于D，易知渐近线方程为，画图可得， 过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点， 其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若（是虚数单位），则复数的虚部是______． 【答案】2 【详解】因为复数，则.所以复数的虚部是. 13．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______． 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为， 所以，， 由得，即， 解得或（舍）， 所以． 14．某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩为__________分，方差为__________． 【答案】 115 140 【分析】根据分组数据平均数，方差计算公式可得答案. 【详解】因为公司有男性30人，女性10人， 男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为：； 该公司成绩的方差为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，角，，的对边分别为，，，其内切圆半径为，半周长为．已知，，． (1)求； (2)求和的面积． 【答案】(1) (2)，的面积为 【分析】（1）利用面积公式建立与的关系，再结合余弦定理得到关于的方程，求解得和的值. （2）根据和的值求出半周长，结合已知，用面积公式算出面积. 【详解】（1）已知，半周长， 由面积公式可得： ， 又因为，由面积公式可得： ，因为两式相等，所以约去得： ①，由余弦定理可得：， 又因为，， 所以 ② 将①代入②得：，整理得， 解得正根（负根舍去），因此. （2）由（1）已得，面积，代入可得：，， 所以. 16．一个袋子中装有个大小相同的小球，编号分别为，且，.进行两次实验：第一次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为；第一次实验完成后，将球放回袋中，再进行第二次实验；第二次：从中不放回地随机取出个球，记所取球的编号组成的集合为.设随机变量表示的元素个数. (1)若，，求所有的； (2)若，，求的分布列和数学期望； (3)若，且，求. 【答案】(1) (2) X 0 1 2 P (3) 【分析】（1）直接列举即可； （2）根据古典概型概率公式，结合组合数公式求出概率，然后可得分布列和期望； （3）根据已知概率列方程计算可得. 【详解】（1）依题意，从编号为1，2，3，4的四个球中，随机取出2个球，所取球的编号组成的集合有以下可能： . （2）X的所有可能取值为0，1，2 ，， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； （3）当时，， 整理得，∴， 即，∵，∴. 17．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，为中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，求到平面的距离； (3)若三棱锥外接球半径为2，求直线和平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设，先证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明平面； （2）方法一，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及点D到平面的距离，利用平面，将到平面的距离转化为点D到平面的距离，即可得解； 方法二，利用平面，将到平面的距离转化为点到平面的距离，进而转化为点B到平面的距离，再利用等体积法计算即可； （3）设，利用正得到其外接圆圆心的坐标及半径，进而设出球心的坐标，根据球的性质求出点坐标，进而求出平面的法向量，即可根据向量法求出直线和平面所成角的正弦值，即可得解. 【详解】（1） 设，连接． 因为四边形为菱形，所以 为的中点． 在中，因为 为的中点，所以 OM为的中位线，故， 又因为平面，平面， 所以 平面； （2）方法一：向量法 以A为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 在平面内过作，交的延长线于，连接. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以. 因为，所以， 因为，，所以， 所以，，即，所以. 在中，，所以，， 则，因为为中点，所以， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，则. 设点D到平面的距离为， 则． 由（1）知平面， 所以到平面的距离即为点D到平面的距离， 所以到平面的距离为； 方法二：等体积法 由（1）知平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离，设为． 因为为中点，所以点到平面的距离等于点B到平面的距离， 即， 在平面内作交直线的延长线于，取中点， 连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，所以，， 所以到平面的距离为. 因为，所以． 在中，， 由余弦定理可得， 在中，． 在中，，为中点，则， 由余弦定理可得， 所以，所以． 在中，，底边上的高为， 所以. 又因为. 由可得，解得， 所以到平面的距离为； （3） 在（2）所建的坐标系中，设，则， 因为，所以． 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径． 设三棱锥外接球的半径为，球心为． 由球的性质可得，解得，则， 所以，因为点在外接球上，则， 所以， 即，即． 解得，所以， 所以，. 设平面的法向量为． 则，即. 令，则，即． 设直线和平面所成角为， 则 因为，所以． 所以直线和平面所成角的余弦值为． 18．在平面直角坐标系 中，以椭圆 （ ）与坐标轴的交点为顶点的四边形的周长为 ，离心率为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设 ， ，点 在第三象限且在椭圆 上.直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 . ①是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； ②求四边形 面积的最大值. 【答案】(1). (2)①存在， ② 【分析】（1）由已知得，解方程即可求解； （2）①设，利用直线的方程即可求出点的坐标，由得到两直线斜率关系，与椭圆方程联立即可求得点坐标； ②由图写出四边形面积表达式，借助于椭圆参数方程和换元，利用二次函数的性质即可求得其最大值. 【详解】（1）由已知得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）①设，其中，则. 又因为，所以直线， 令，所以，同理， 若，则， 所以， 化简可得： 与联立， 化简得：， 因为点在第三象限，所以，， 所以，故， 解得：， 所以存在点 ，使得 ，即点坐标为 ②所以四边形的面积 ， 令， 所以， 令，则，，故， 故当时，，即时， 也即时，四边形的面积取最大值为.    19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． (1)设，求集合； (2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； (3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意且，都有，可得：对任意且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【详解】（1）由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． （2）必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. （3）由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $