期末自编模拟试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以校史知识竞赛统计分析、圆锥体石膏应用等真实情境命题，融合复数、统计、立体几何等核心知识，考查数学抽象、空间观念与数据意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数、充要条件、方差、空间几何|基础概念辨析，如共轭复数虚部（数学眼光）| |多选题|3|概率、向量、正方体中点线面|多选项逻辑推理，如独立事件判断（数学思维）| |填空题|3|向量运算、概率、球体积|简洁计算，如产品拒绝概率（数学语言）| |解答题|5|统计、向量、立体几何、解三角形|综合应用，如校史竞赛成绩分析（文化传承）、圆锥最短距离（空间观念）|

高一下学期期末测试卷（人教A版必修二） 一、单选题 1．设复数，则z的共轭复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．是 或的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设一组样本数据的极差为，方差为，若数据的极差为，则数据的方差为（    ） A．0.02 B． C．0.2 D．0.4 4．已知，是两条不相同的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中真命题为（     ） A．若，，，则 B．若，且，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．某工厂抽检了51个零件，并统计了这51个零件的直径（单位：）数据，得到如下的表格：由表可知这51个零件的直径的第40百分位数为（     ） 直径/ 49 50 51 52 53 54 频数 8 9 8 13 12 1 A． B． C． D． 6．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 8．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知在一次随机试验中，定义两个随机事件和，若，，则（ ） A． B．若 、相互独立，则和至少有一个发生的概率为 C． D． 10．下列说法正确的是（ ） A．已知向量 ，则“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件 B．已知向量 ，若与共线，则 C．若向量 ，则在方向上的投影向量坐标为 D．在中，向量与满足 ，则为等腰三角形 11．如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则（   ）    A．存在点Q，使平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面 C．三棱锥的体积是定值，为 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积 三、填空题 12．已知，，且，则________． 13．一批产品共有件，其中件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第件产品合格，则再抽件，如果抽检的第件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．则这批产品被拒绝的概率为____． 14．已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题 15．为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 16．已知向量，满足：，，. (1)求与的夹角的余弦值； (2)若，求实数的值. 17．一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形． (1)求该圆锥体石膏的体积； (2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离； (3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值． 18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，O为中点，平面，，M为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B D D B B B C ABD ABCD 题号 11 答案 AC 1．D 【详解】由复数得，则其虚部为4. 2．B 【详解】因为只说明向量的长度相等，并不知方向的关系，推不出或； 而由或知两向量为相等向量或负向量，故必有， 所以是 或的必要不充分条件. 3．D 【详解】设原样本数据的最大值为，最小值为，则， 所以数据的极差为， 所以， 根据方差的线性变换性质可知数据的方差. 4．D 【详解】对于A，如图所示：    此时，，，但与相交，所以A错误； 对于B，如图所示：      此时，且，，但与相交，所以B错误； 对于C，如图所示：    此时，，，但，所以C错误； 对于D，由线面垂直的性质定理可知当，时，可得，当时，可得，所以D正确； 5．B 【详解】首先计算， 根据百分位数的定义，第40百分位数应为这组数据从小到大排列后的第21项数据， 直径为的频数为8，直径为的频数为9，累加频数为17， 直径为的频数为8，累加频数为25，即占据第18个至第25的位置， 因此，这51个零件的直径的第40百分位数为. 6．B 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 7．B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 8．C 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到， 所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得，， 已知，由正弦定理可得，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 9．ABD 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，， ，故B正确， 对于C，， 即，故C错误， 对于D，， 由C知，则，即，故D正确. 10．ABCD 【详解】对于A，若的夹角为钝角，则 且两向量不共线，等价于 ，即“的夹角为钝角”是“ ”的充要条件，故A正确； 对于B，若与共线，则 .易得 ，则 ，故B正确； 对于C，在方向上的投影向量坐标为，故C正确； 对于D，都表示单位向量，表示 角平分线方向上的向量， 表示 角平分线方向上的向量与边BC垂直，所以AB=AC，为等腰三角形，故D正确. 11．AC 【详解】对于选项A，若点是的中点，则， 又因为,所以. 因为面,面 所以面.故选项A正确. 对于选项B，当点与重合，此时，, 又因为，所以 故四点共面，所以选项B不正确. 对于选项C，因为到面的距离即为正方体的棱长，且. 所以.故选项C正确. 对于选项D，设分别为和的中点，则经过四点的球即为 长方体的外接球. 因为该长方体的长宽高分别为.所以. 所以.故选项D不正确.    12． 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 13． 【详解】抽检第件产品不合格的概率为， 抽检的第件产品合格，第件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为． 14． 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 15．(1) (2)70.5分 (3)平均数和方差分别为71.5和232.65 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：， 则，解得． （2）估计竞赛成绩的平均数为分． （3）设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，总体成绩的平均数为，方差为， 则， 可得 ， 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65． 16．(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以①， 又因为，得，且， 代入①上式得，即， 所以，因此与的夹角的余弦值. （2）因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得， 即，解得或. 因此实数的值为或. 17．(1) (2) (3) 【详解】（1）设为底面圆的半径，为圆锥的高， 因为是边长为8的等边三角形， 所以，， 因此圆锥体石膏的体积. （2）圆锥底面圆的周长，圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 设扇形圆心角为，扇形的半径就是圆锥的母线长为8， 所以，解得，即侧面展开图为半圆，如下图所示， ，，，， 所以到的最短距离， 即昆虫爬行的最短距离为. （3）圆锥内可打磨出的最大球体就是圆锥的内切球，此时球的半径最大，表面积也最大， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以等边三角形的内切圆半径就是圆锥内切球的半径， 设圆锥内切球的半径为，， 此时球的表面积. 18．(1) (2) 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 整理得，所以， 而是三角形内角，所以； （2）由（1）得， 为锐角三角形，则，所以， 由正弦定理得， 由面积公式得 ， 而，则，可得， 所以，故. 19．(1) 证明见解析 (2) 证明见解析 (3) 【详解】（1） 连接，设． 因为底面为平行四边形，所以为的中点． 又因为为的中点， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2）在中，因为， 所以为等腰三角形，故． 所以，即． 因为平面，平面， 所以． 又因为，平面， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （3）取的中点，连接． 因为为的中点，为的中点， 所以，且． 因为平面，， 所以平面，且． 所以为在平面内的射影， 则为直线与平面所成的角． 在中，，，， 由勾股定理得． 因为为斜边的中点， 所以． 在中，． 所以． 即直线与平面所成角的正弦值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $