2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册期末测试卷

高一下学期期末测试卷（人教A版必修第二册） 一、单选题 1．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 2．已知向量，不共线，且则实数（   ） A． B．1 C． D．2 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，，若该组数据的第百分位数、中位数、平均数分别是a，b，c，则（   ） A． B． C． D． 5．有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（   ） A．甲与乙互斥 B．丙与丁对立 C．甲与丙相互独立 D．乙与丁相互独立 6．“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质量为（   ）    A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg 7．已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 8．如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 二、多选题 9．某县各小学为庆祝“六一”儿童节，县文艺团组织一次表演活动， 名裁判对某一节目进行评分，统计结果是平均分为，标准差为，为体现公平性，去掉一个最高分和一个最低分（最高分和最低分只有一个），则（ ） A．中位数不变，且极差变大 B．中位数不变，且极差变小 C．平均分变小，且标准差变大 D．平均分变大，且标准差变小 10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（    ） A．A与B独立 B．B与C对立 C． D． 11．如图，在棱长为2的正方体中，点 在线段（不包含端点）上运动，则下列结论正确的是（   ）    A．正方体的外接球表面积为 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．直线 平面 D．三棱锥 的体积随着点 的运动而变化 三、填空题 12．设，为单位向量，在上的投影向量为，则_____ 13．已知在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为______. 14．某学校有男生400人，女生600人.为了调查该校全体学生每天体育锻炼时间，采用分层抽样的方法抽取样本，计算得男生每天体育锻炼时间均值为2.5小时，方差为1，女生每天体育锻炼时间均值为1小时，方差为2.若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为__________. 四、解答题 15．已知向量，． (1)若，且，求向量与向量的夹角； (2)若，且，求向量的坐标． 16．某景区为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值； (2)求满意度评分的中位数和平均数． (3)若采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17．如图，在三棱柱中，，分别是棱，上一点，且，. (1)证明：直线，，交于同一点； (2)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值. 18．在中，角，，的对边分别为 ， ，且. (1)求； (2)若的面积为且为锐角三角形，求周长的取值范围. 19．如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D C A A BD ACD 题号 11 答案 BC 1．C 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 2．A 【详解】因为向量，不共线，且， 那么存在实数，使得， 则有，解得. 3．D 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 4．C 【详解】数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，，， 第百分位数位置，为第2和第3项的平均值， 故； 中位数的位置，为第4和第5项的平均值， 故； 平均数， ． 5．D 【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，共种情况； 令事件表示：第一次取出的球的数字是1，则， 令事件表示：第二次取出的球的数字是3，则， 显然，所以甲与乙不互斥，故A错误； 令事件表示：两次取出的球的数字之和是4，则， 令事件表示：两次取出的球的数字之和是5，则， 显然，所以丙与丁不对立，故B错误； 由，，，所以， 所以甲与丙不独立，故C错误； 又，， 所以乙与丁相互独立，故D正确. 6．C 【详解】从“方斗”中取出18.2kg米后，米的高度下降一半至平面处，    由题意可知正四棱台和的高相等，设为． 因为，，则， 可得，． 设剩余的米的质量为， 则，解得． 7．A 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 8．A 【详解】设中点为，连接， 因为， 所以， 所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧， 连接， 则, 所以， 所以 因为, 所以. 9．BD 【详解】记8个评分从小到大依次为，，，，，， 则该组数据的中位数为，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数不变，极差变小，故A错B对． 由于，所以去掉一个最高分和一个最低分后， 平均分变大，数据更集中，所以标准差变小，故C错D对． 10．ACD 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11．BC 【详解】正方体对角线长为，即为外接球直径，因此球半径为，球表面积为，A错； 正方体中与平行且相等，是平行四边形，， 是正三角形，与的夹角（锐角或直角）的范围是，因此B正确； 由上述知，而平面，平面，所以平面， 同理平面，又，平面， 所以平面平面，而平面，所以平面，C正确； 由平面，因此到平面的距离不变，面积确定， 所以不变，D错． 12． 【详解】因为在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以， 所以. 13． 【详解】设底面三角形外接圆圆心，则，即， 设该三棱柱外接球球心为，则且， 由底面，且底面，故， 即， 则该三棱柱外接球的体积为. 14．2.14 【详解】由题意，总体的均值为， 根据分层抽样的性质，则总体的方差为 . 15．(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以，因为，所以； （2）因为，，所以， 因为，设， 则，解得， 故或． 16．(1) (2)（或）， (3) 【详解】（1）； （2）；所以中位数在内，设中位数为， （或）． ． （3）与的频率之比， 所以5人中有2人来自组，设为，3人来自组，设为， ，或者列举法：共10种情况， 符合条件的6种情况；． 17．(1)因为，，所以，所以，. 因为，，所以，，则直线与相交. 设直线与的交点为，如图. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为点在直线上，且平面，所以平面. 因为平面平面，所以点在直线上， 即直线，，交于点. (2) 【详解】（1）略 （2）设的面积为，三棱柱的高为， 则三棱柱的体积. 因为，所以，且， 所以的面积， 则三棱台的体积. 故. 18．(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以，因为，所以， 所以，. （2）因为，所以， 由正弦定理有， ， ， 所以，因为，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以，所以， 因为在上为单调递减，所以， 所以，则， 所以周长的取值范围为. 19．(1)证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． (3) （3）因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $