精品解析：黑龙江哈尔滨市第一五六中学校2025-2026学年度九年级下学期学情调研数学试卷

哈156中学校2025-2026学年度（下）九年级学情调研 数学学科 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷会记录你的自信、沉着、智慧和收获!请认真审题，看清要求，仔细答卷，规范书写．祝进步! 一、选择题 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某同学研学中，收集了一些漂亮的落叶．下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为 ，该距离用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 8. 如图为某建筑结构施工图，其中，，，， 为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、 于点， ，，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 于点M、于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点D，射线 交于点E，F为的中点，连接．，的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 10. 如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A. B. C. D. 二、解答题 11. 在函数中，自变量 的取值范围是_________. 12. 分解因式____________ ． 13. 不等式组的解集是______． 14. 已知电磁波的频率 、波长满足关系：（为常数）．某种电磁波的频率 为时，波长为 ．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为___________． 15. 某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为______ 16. 如图，在矩形中， ，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为_______． 17. 如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为______°． 18. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 19. 如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 20. 如图，已知菱形的边长为2，对角线、 相交于点O，点M，N分别是边 、 上的动点，，连接 、：①是等边三角形；②；③当 最小时，；④当时，．以上四个结论正确的有________（填序号）． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2cos30o+3tan45 o. 22. 如图是由的小正方形组成的网格，、 、都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图． （1）在图1中，画线段，使得，且 ； （2）在 上画点 ，使得； （3）直接写出的值：_______． 23. 蛇年春晚舞台上扭秧歌的机器人吸引了无数关注，使人形机器人的“智能”被给予了更高的期待，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了调查谐波减速器运行时产生的噪音情况，利用声光测试仪对一批谐波减速器进行了声光测试，根据分贝数分为 四个等级，并绘制了如下尚不完整的统计图表． a.分贝等级频数分布表 等级 分贝数 频数 A 45 B 38 C D 2 b.分贝数在B等级的是 c.分贝等级扇形统计图 根据以上信息，回答以下问题： （1）这批调查的谐波减速器共有_________台，表中的值为_________． （2）这批减速器的分贝数的中位数是_________ ，B等级分贝数的众数是_________ ． （3）已知产生噪音不大于60 的为合格产品，若该企业一季度共生产了1200台谐波减速器，估计一季度分贝合格的谐波减速器有多少台？ 24. 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：如图1，矩形的边 上存在一点O， 且 ，则矩形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． （1）如图2，四边形是可等垂四边形，且 ， ，点P是它的等垂点． ①四边形的边 ， 和 之间的数量关系是_________________________； ②在图2中取边的中点Q，并连接 ， ，求证：点Q是四边形的等垂点（若需使用图①中的结论，可直接使用，不必另行证明） （2）如图3，在 中， ， ， ，点B，C为 中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离___________． 25. 某商场计划销售， 两种型号的商品，经调查，用1800元采购型商品的件数是用500元采购 型商品的件数的3倍，一件型商品的进价比一件 型商品的进价多20元． （1）求一件， 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进， 型商品共100件进行试销，其中型商品的件数不大于 型的件数，已知型商品的售价为170元/件， 型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 26. 已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E， ． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F是弧 的中点，过点F作 于H，交 于点G，连接 ，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，弦，连接交 于N，若 ，的面积为，求 的值． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ． （1）求直线 的解析式； （2）如图1，点D在 的延长线上，点C在x轴的正半轴上，连接 交直线 于点F，点F为线段 的中点，设点F的横坐标为t，线段 的长为d，求d与t的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点G是点F关于x轴的对称点，连接交 于E．点N为 的中点，连接 ．过点N作 ，点M落在 的延长线上，连接 ．过点D作 于H，交 于K，过N作 ，过G作 ， 、 交于点P．作射线 交于点R，连接 ，，求 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈156中学校2025-2026学年度（下）九年级学情调研 数学学科 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷会记录你的自信、沉着、智慧和收获!请认真审题，看清要求，仔细答卷，规范书写．祝进步! 一、选择题 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为 ， 的相反数是 ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、完全平方公式等知识点．需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，与不是同类项，无法合并，故A错误； 选项B：，根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，即，故B正确； 选项C：，根据幂的乘方法则，，而选项结果为，故C错误； 选项D：，根据完全平方公式，，选项缺少项，故D错误． 故选：B． 3. 某同学研学中，收集了一些漂亮的落叶．下面的落叶中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 4. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为 ，该距离用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 5. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，根据主视图是指从物体的正面看到的图形求解即可． 【详解】解：它的主视图是： 故选：C． 6. 分式方程的解为（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 经检验是原方程的解， 故选：B． 7. 下列关于抛物线的说法，正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性． 【详解】解：∵ 中，， ∴ 抛物线开口向上，A错误，不符合题意； 对称轴为 ，B错误，不符合题意； 顶点坐标为 ， C错误，不符合题意； ∵ ，开口向上， ∴ 当 时， 随 的增大而减小， ∴ D正确，符合题意． 故选：D． 8. 如图为某建筑结构施工图，其中，，，， 为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段分别交、、 于点 ， ， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． 作交 于点，交于点 ，由图可知，，根据平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：作交 于点，交于点 ， 由图可知，， ∵，，，， 为一组平行线， ∴． 故选：C． 9. 中， ，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交 于点M、 于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点D，射线 交于点E，F为 的中点，连接 ．，的周长是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由题意得，为 的平分线，结合等腰三角形的性质得出，，利用勾股定理求出 的场，最后根据直角三角形斜边中线的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意得，为 的平分线， ∵ ， ∴，， ∴ ， 由勾股定理得，， ∵点F为 的中点， ∴， ∴的周长为． 故选：D． 10. 如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交 或于点M，交 或 于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交于点 ，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点 ， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴ ， ∵直线 从点 出发，以每秒1个单位的速度由点 向点 匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时， ， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时， ，则：， ∵直线， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项． 二、解答题 11. 在函数中，自变量 的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定；掌握分母不为0是解题的关键． 12. 分解因式____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，因式分解的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法等，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：, ， ， 故答案为：． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 14. 已知电磁波的频率 、波长满足关系：（ 为常数）．某种电磁波的频率 为时，波长为 ．若将该电磁波的波长调谐为，则其频率为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据已知求出常数 ，再求出时， 的值即可． 【详解】解：∵某种电磁波的频率 为时，波长为 ， ∴， ∴当时，， 故答案为：15． 15. 某商场的打折活动规定：凡在本商场购物，结账时可转动一次如图所示的转盘（转到公共线位置时重转），并根据所转结果打折或不打折，某顾客在结账时转动一次该转盘，其结果是不打折的概率为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的计算方法，用不打折的区域除以总区域即可得答案． 【详解】解：其中不打折的概率为=； 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16. 如图，在矩形中， ，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边 上时，的度数为_______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】设，则，在矩形中，，，，由旋转的性质得，，在中，得出，即可得，根据，得出，根据，得出 ，根据，得出． 【详解】解：设， ∵ ， ∴， 在矩形中，，，， 由旋转的性质得，， 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∵， ∴． 17. 如图，在扇形OAB中，C为上的点，连接AC、BC，若∠ACB＝2∠O，则∠O的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，由四边形内角和为360°可得出∠AOB＝72°． 【详解】连接OC， ∵AO＝OC，OC＝OB， ∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC， ∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝∠OAC+∠OBC， ∵∠AOB+∠OAC+∠OBC+∠ACB＝360°， ∴∠AOB+2∠ACB＝360°， 又∵∠ACB＝2∠AOB， ∴5∠AOB＝360°， ∴∠AOB＝72°， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了求扇形的圆心解，等腰三角形的性质，四边形内角和等知识，掌握这些知识是关键． 18. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了 ，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了_______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长为 ，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设滑轮上某一点P旋转了 ， 根据题意，得 ， 解得 ． 19. 如图，中，，，点是 上一动点，将沿 折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 20. 如图，已知菱形的边长为2，对角线、 相交于点O，点M，N分别是边 、 上的动点，，连接 、：①是等边三角形；②；③当 最小时，；④当时，．以上四个结论正确的有________（填序号）． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】先证明，可得，结合，可判断是等边三角形，故①正确；在上取点，使，推出 是等边三角形，证明，得到，可判断②正确；可证明此时 为 的中位线，再得，相似比为，，即，结合，可证明，故③正确；证明，由相似的性质得，即，结合，，，即可证明，故④正确． 【详解】解：∵在菱形 中， ∴ ，， ∴， ∵ ， ， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故①正确； 在上取点，使， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵ 是等边三角形，， ∴ 为 的中点，此时 为 的中点， ∴ 为 的中位线， ∴， ∴，， ∴，相似比为， ∴，即， ∵， ∴，故③正确； 当时，如图： ∵在菱形 中， ∴ ，，， 又∵， ∴， 又∵ ∴， ∴，即， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴，故④正确， 综上，①②③④都是正确的． 三、解答题 21. 先化简，再求代数式的值，其中x=2cos30o+3tan45 o. 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： = = = 当 = = 原式= 22. 如图是由的小正方形组成的网格， 、 、 都是格点，仅用无刻度的直尺在下列给定的网格中完成画图． （1）在图1中，画线段 ，使得，且 ； （2）在 上画点 ，使得； （3）直接写出的值：_______． 【答案】（1）如图， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）找到的格点，连接 ，根据网格的特点分别为边长为的两个全等的直角三角形斜边，则 ，且这两个全等三角形不同的两个锐角构成直角，即； （2）找到 所在的竖直网格线与 的交点记为，连接 交于点 ，则点 即为所求； （3）取格点，连接，根据相似三角形的性质求得的长，进而得出的长，再根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，找到 所在的竖直网格线与 的交点记为，连接 交于点 ，取格点 ， ∵ ∴四点共圆， ∴ 又∵ ∴ 【小问3详解】 解：如图，取格点，连接， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 23. 蛇年春晚舞台上扭秧歌的机器人吸引了无数关注，使人形机器人的“智能”被给予了更高的期待，而谐波减速器作为人形机器人的核心部件，其重要性不言而喻．某企业为了调查谐波减速器运行时产生的噪音情况，利用声光测试仪对一批谐波减速器进行了声光测试，根据分贝数分为 四个等级，并绘制了如下尚不完整的统计图表． a.分贝等级频数分布表 等级 分贝数 频数 A 45 B 38 C D 2 b.分贝数在B等级的是 c.分贝等级扇形统计图 根据以上信息，回答以下问题： （1）这批调查的谐波减速器共有_________台，表中的值为_________． （2）这批减速器的分贝数的中位数是_________ ，B等级分贝数的众数是_________ ． （3）已知产生噪音不大于60 的为合格产品，若该企业一季度共生产了1200台谐波减速器，估计一季度分贝合格的谐波减速器有多少台？ 【答案】（1）100；15 （2）32.3；36.5 （3）996台 【解析】 【分析】本题考查统计表，扇形统计图，求中位数、众数，利用样本估计总体，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用B等级频数除以其所占百分比，即可得到这批调查的谐波减速器总台数，进而即可求出表中的值； （2）根据中位数，众数定义求解，即可解题； （3）用1200乘以噪音不大于60 的所占比，即可解题． 【小问1详解】 解：这批调查的谐波减速器共有（台）， 则， 故答案为：100；15； 【小问2详解】 解：这批调查的谐波减速器共有台， 按从小到大的顺序排列后，第台分贝数分别为， 这批减速器的分贝数的中位数是 ， B等级分贝数出现的次数最多， B等级分贝数的众数是 ． 故答案为：32.3；36.5； 【小问3详解】 解：（台）， 答：一季度分贝合格的谐波减速器有996台． 24. 定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：如图1，矩形的边 上存在一点O， 且 ，则矩形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． （1）如图2，四边形是可等垂四边形，且 ， ，点P是它的等垂点． ①四边形的边 ， 和 之间的数量关系是_________________________； ②在图2中取 边的中点Q，并连接 ， ，求证：点Q是四边形的等垂点（若需使用图①中的结论，可直接使用，不必另行证明） （2）如图3，在 中， ， ， ，点B，C为 中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离___________． 【答案】（1）① ； ②证明：延长 ，，两线交于点 ． ∵ 是边 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴点Q是四边形的等垂点． （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质，证明即可； ②延长 ，，两线交于点 ．证明， ，再利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质证明即可; （2）运用分类思想，借助三角形全等，三角形相似，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 ①边 ， 和 之间的数量关系是 ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是可等垂四边形，点P是它的等垂点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ②略 【小问2详解】 解：当点B为 的中点时，点A，B，D三点共线，故以A，B，C，D为顶点的四边形不存在，此时不成立； 当点B为的中点时，此时点C位于 上，如图所示， 以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形， 故 上存在点，使得 ， 过点C作 于点E， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 解得， ∴， 根据勾股定理，得； 当点B为 的中点时，此时点C位于上，如图所示， 以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形， 故 上存在点，使得 ， 过点B作 于点F， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∵点B为 的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 根据勾股定理，得； 25. 某商场计划销售 ， 两种型号的商品，经调查，用1800元采购 型商品的件数是用500元采购 型商品的件数的3倍，一件 型商品的进价比一件 型商品的进价多20元． （1）求一件 ， 型商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进 ， 型商品共100件进行试销，其中 型商品的件数不大于 型的件数，已知 型商品的售价为170元/件， 型商品的售价为160元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？ 【答案】（1）一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元 （2）该商品获得的最小利润为5500元 【解析】 【分析】（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件 型商品的进价元，根据题意，得，解方程即可． （2）设购进 型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元，根据题意，得，解答即可． 【小问1详解】 解：设一件B型商品的进价为x元，则一件 型商品的进价元， 根据题意，得， 解得 ， 经检验， 是原方程的根．且符合题意， 此时， 答：一件A型商品的进价为120元，一件B型商品的进价为100元． 【小问2详解】 解：设购进 型商品个，则购进B型商品个，且，获利w元， 根据题意，得， 由，得w随a的增大而减小， 由得， 故当 时，w取得最小值，且最小值为， 故该商品获得的最小利润为5500元． 26. 已知：如图， 是 的直径，弦 交 于E， ． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点F是弧 的中点，过点F作 于H，交 于点G，连接 ，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，弦，连接交 于N，若 ， 的面积为，求 的值． 【答案】（1）证明：设 ，则 ， 连接， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）证明：连接， ， ， ， 设 ，则 ， ， 由（1）知： ， ∵点F是弧 的中点， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）设 ，则 ，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出∴ ，根据圆周角定理求出 ，根据三角形外角的性质求出 ，根据三角形内角和定理求出 ，得出 ，最后根据等角对等边即可得证； （2）连接， ， ，，设 ，则 ， ，由（1）知： ，根据弧、圆心角的关系求出 ，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系求出 ，进而求出 ，然后根据圆周角定理即可得证； （3）连接 ，， ，过作 于W，证明，得出 ，设 ，则 ，根据直径所对的圆周角是直角和三角形的内角和定理求出 ，结合（2）中结论得出 ，根据等角对等边得出，根据三线合一的性质得出，设 ，则 ， ，在 中，根据勾股定理得出，求出，则 ， ， ， ，过C作于P，证明 ，根据相似三角形的性质求出 ，结合已知可得出，求出，则， ， ，根据勾股定理求出，过O作 交 于K，则 根据垂径定理得出，，得出，连接， ，，则可求 ，得出，则 ，根据等角对等边得出 ，证明，得出 ，则 ，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接 ，， ，过作 于W， 由（2）知： ， ， ∴ ， 又 ，， ∴， ∴ ， 设 ，则 ， ∵ 是直径， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， 又 ， ∴， 设 ， 则 ， ， 在 中，， ∴， 化简得 ， 解得或 （舍去） ∴ ， ， ， ∴ ， 过C作于P， ∵ ， ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∵ 的面积为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ， ， ∴， 过O作 交 于K， 则， 又 ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 连接， ，， ∴ ， ∴ ， 由（2）知： ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， 又 ， ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵，，， ∴，即 的值为． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ． （1）求直线 的解析式； （2）如图1，点D在 的延长线上，点C在x轴的正半轴上，连接 交直线 于点F，点F为线段 的中点，设点F的横坐标为t，线段 的长为d，求d与t的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点G是点F关于x轴的对称点，连接交 于E．点N为 的中点，连接 ．过点N作 ，点M落在 的延长线上，连接 ．过点D作 于H，交 于K，过N作 ，过G作 ， 、 交于点P．作射线 交于点R，连接 ，，求 的值． 【答案】（1）； （2） ； （3）． 【解析】 【分析】（1）求得，，利用待定系数法求解即可； （2）作 轴于点 ，证明 ，求得，求得点，再代入求解即可； （3）连接 ，作 轴于点 ，设 ，导角求得 ，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴设直线 的解析式为 ， 将代入得 ， 解得， ∴直线 的解析式为； 【小问2详解】 解：作 轴于点 ， ∵ 轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵点F为线段 的中点， ∴， ∵点F的横坐标为t，直线 的解析式， ∴点， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ， ∴，即 ； 【小问3详解】 解：连接 ，作 轴于点 ， ∵， ， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∵点G是点F关于x轴的对称点， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵点N为 的中点， ∴和 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 设 ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵点N为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 在 和 中， ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 在 中，， ∴设 ，， ∵ ， ∴，解得， ∴，， 在 中，， ∴设 ， ， ∴， 解得， ∴，， 在 中， ， ∵， ∴， 解得或 （舍去）， ∴ ， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $