精品解析：黑龙江省哈尔滨市香坊区2025年中考三模数学试卷

黑龙江省哈尔滨市香坊区2025年中考三模数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3 B. C. D. 0 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. “巧手剪红纸，对称寓吉祥，窗花映福瑞，传统焕新光．”窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一．在以下窗花图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的立体图形由相同大小的正方体木块搭成．判断拿走图中的哪一个木块后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 自然界中大部分细菌很难用肉眼观察到，例如大肠杆菌的尺寸约为，即，其中0.000002用科学记数法可以表示为（ ） A B. C. D. 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A B. 且 C. D. 且 8. 某校体育节期间开展丰富多彩的比赛活动，现有“踢毽子、跳绳、乒乓球”三个比赛项目面向全体同学招集赛事服务志愿者（每名同学只能报名其中一项），在互不沟通的情况下，小明和小芳报名同一个比赛项目志愿服务的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 为提高学生身体素质，某校在假期期间布置给学生每日进行跑步训练的作业，甲乙两名同学相约某日一起去体育场训练，两人同时同地起跑，同一终点汇合，他们离开起点的路程（米）与甲跑步时间（分钟）对应关系如图所示，已知乙同学全程速度不变，甲同学3分钟以后的速度为260米/分钟．下列说法：①起跑后1分钟内甲同学的速度为360米/分钟；②前2分钟两名同学都跑了520米；③两人跑步训练的路程为1000米；④乙比甲提前30秒到达终点．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 把多项式因式分解的结果是___________． 13. 抛物线的对称轴为直线______． 14. 不等式组的整数解的个数是___________个． 15. 观察下面的等式：则按照式子的排列规律，第个式子应为___________． 16. 规定一种运算，，则的值为___________． 17. 如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为___________米．（结果保留） 18. 如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为___________． 19. 矩形中，，点是上一点，满足，则___________． 20. 如图，在等边中，点为边中点，交于点，点在线段上，连接平分交于点，则下列结论：①；②；③当点到直线AC距离最小时，；④．其中一定正确有___________．（填序号） 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． （1）将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长； （2）在（1）条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．） 23. 某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格，一般，良好，优秀，制作了如下统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为“良好”和“优秀”的学生共有多少人？ 24. 在数学综合实践课上，同学们分组进行了以“菱形纸片的剪拼”为主题的探究活动，如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和，进行如下实践探究． （1）活动一：将图1中的沿直线向左平移一段距离得到，如图2所示，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为交于点交AC于点，连接，请直接写出图2中的所有平行四边形； （2）活动二：将图1中的绕点逆时针旋转得到，如图3所示，点的对应点为，点的对应点为，连接．若，试判断四边形的形状，并写出证明过程． 25. 某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． （1）求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ （2）根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ 26. 已知是的内接三角形，直径于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点交于点，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）条件下，点是延长线上一点，，连接交于点，连接，，，若的面积为，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． （1）求的值； （2）如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市香坊区2025年中考三模数学试卷 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数，算术平方根，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数，分数即有限小数或无限循环小数．根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】下列实数中，是无理数的是． 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握单项式乘以多项式，完全平方公式，零指数幂以及多项式除以单项式运算法则是解答本题的关键． 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C正确，符合题意； D、，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 3. “巧手剪红纸，对称寓吉祥，窗花映福瑞，传统焕新光．”窗花是我国古老的汉族传统民间艺术之一．在以下窗花图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 4. 如图所示的立体图形由相同大小的正方体木块搭成．判断拿走图中的哪一个木块后，此图形主视图的形状会改变（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．根据主视图即可得到答案． 【详解】解：由图形可知，拿走甲后主视图的形状发生了变化，故A符合题意； 拿走乙后主视图的形状不发生变化，故B不符合题意； 拿走丙后主视图的形状不发生变化，故C不符合题意； 拿走丁后主视图的形状不发生变化，故D不符合题意； 故选A． 5. 自然界中大部分细菌很难用肉眼观察到，例如大肠杆菌的尺寸约为，即，其中0.000002用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】将0.000002用科学记数法表示为． 故选：D． 6. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，通过去分母将分式方程转化为整式方程，解出未知数后需检验是否为增根． 【详解】 去分母得， ， 解得： 检验：当时，分母，， 因此，方程的解为． 故选：B． 7. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程有实根，得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D． 8. 某校体育节期间开展丰富多彩的比赛活动，现有“踢毽子、跳绳、乒乓球”三个比赛项目面向全体同学招集赛事服务志愿者（每名同学只能报名其中一项），在互不沟通的情况下，小明和小芳报名同一个比赛项目志愿服务的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了树状图或列表法求概率， 画树状图展示所有9种等可能的结果，找出小明和小芳恰好在同一个比赛项目的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：设踢毽子、跳绳、乒乓球分别为甲，乙，丙， 根据题意，画出树状图，如下： 共有9种等可能的结果，其中小明和小芳恰好在同一个比赛项目的结果数为3， 所以小明和小芳恰好在同一个比赛项目的概率：． 故选： C． 9. 如图，内接于是的直径，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交AC、BC于点、点，再分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在圆的内部相交于点，射线CD交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，尺规作角平分线，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，由作图可得，平分，求出，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】∵内接于是的直径， ∴ 由作图可得，平分 ∴ ∵ ∴． 故选：C． 10. 为提高学生身体素质，某校在假期期间布置给学生每日进行跑步训练的作业，甲乙两名同学相约某日一起去体育场训练，两人同时同地起跑，同一终点汇合，他们离开起点的路程（米）与甲跑步时间（分钟）对应关系如图所示，已知乙同学全程速度不变，甲同学3分钟以后的速度为260米/分钟．下列说法：①起跑后1分钟内甲同学的速度为360米/分钟；②前2分钟两名同学都跑了520米；③两人跑步训练的路程为1000米；④乙比甲提前30秒到达终点．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从函数图象获取信息，解题的关键是正确理解函数图象中横纵坐标表示的意义． 根据速度、路程、时间的关系结合图象分析求解判断即可． 【详解】①米/分钟，故①错误； ②由图象可得，甲，乙交于点 ∴前2分钟两名同学都跑了520米，故②正确； ③米，故③错误； ④起跑后1分钟时甲同学的路程为米 ∴1分钟到3分钟时，甲同学的速度为米/分钟 ∴3分钟时，甲同学的路程为米 ∴3分钟到甲到达终点的时间为分钟 ∴分钟秒，故④正确． 综上所述，其中正确的个数有2个． 故选：B． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 把多项式因式分解的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 13. 抛物线的对称轴为直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，直接利用对称轴的公式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 14. 不等式组的整数解的个数是___________个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解不等式组的整数解，先解不等式组得到不等式组的解集，再确定整数解即可. 【详解】解：， 由①得：， 由②得： ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为2、3、4，共3个． 故答案为： 15. 观察下面的等式：则按照式子的排列规律，第个式子应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察发现规律：等式左边的被减数和减数的底数都是连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，第一个式子是8的1倍，第二个式子是8的2倍，第三个式子是8的3倍，…，进而求得第个式子，即可求解． 【详解】解：观察等式可得，等式左边的被减数和减数的底数都是连续的奇数的平方差，等式的右边是8的倍数，第一个式子是8的1倍，第二个式子是8的2倍，第三个式子是8的3倍，…， ∴第个式子应为： ∴第个式子应为： 故答案为：． 16. 规定一种运算，，则值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． 根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 17. 如图，某房屋建筑的棚顶为圆弧形，若该圆弧形棚顶在地面的跨度长为米，该圆弧的半径长为12米，则该屋顶弧的弧长为___________米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧长的计算等知识，过点O作于点C，解直角三角形求出，则，根据弧长公式求解即可． 详解】解：过点O作于点C，交于点D， ∵， ∴米， 在中，， ∴， ∴， ∴该屋顶弧的弧长为（米）， 故答案为：． 18. 如图，点轴于点轴于点，反比例函数的图象与线段分别交于点．若点的纵坐标为1，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：由条件可知点的坐标为，且在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 当时，， ． 故答案为：． 19. 矩形中，，点是上一点，满足，则___________． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，由矩形的性质推出，由余角的性质推出，判定，推出，令，得到，求出或8，得到或8，即可求出的值． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴， ∴或8， ∴或8， ∴，或． 故答案为：或2． 20. 如图，在等边中，点为边中点，交于点，点在线段上，连接平分交于点，则下列结论：①；②；③当点到直线AC距离最小时，；④．其中一定正确的有___________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质等知识，证明是三角形中位线，可判断①；运用相似三角形的性质可判断②；当点与点重合时，点到的距离最短，可判断③；延长到，使，连接，证明得，再证明即可判断④． 【详解】解：∵点为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； 当点与点重合时，点到的距离最短， ∵为中点，是等边三角形， ∴，即， ∵是的平分线， ∴，故③正确； 延长到，使，连接，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 又， ∴， ∴，； ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算得到答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段的端点均在格点上． （1）将线段向左移动一个单位长度，再向上移动一个单位长度，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，画出四边形，并直接写出四边形的周长； （2）在（1）的条件下，在线段上画点，连接，使．（仅用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．） 【答案】（1）如图，四边形即为所求，周长 （2）如（1）图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可；结合勾股定理计算即可． （2）取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，则点E即为所求． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，， ∴四边形的周长为； 【小问2详解】 解：如图，取格点,连接交于点，则点为的中点；作格点,使，连接,交于点，则垂直平分，连接， 则点E即为所求． 23. 某校开展了亚运知识的宣传教育活动，为了解这次活动的效果，从全校1200名学生中随机抽取部分学生进行知识测试（测试满分为100分，得分x均为不小于60的整数），并将测试成绩分为四个等第；合格，一般，良好，优秀，制作了如下统计图（部分信息未给出） 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求测试成绩为一般的学生人数，并补全频数直方图． （2）求扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数． （3）如果全校学生都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校测试成绩为“良好”和“优秀”的学生共有多少人？ 【答案】（1）测试成绩为一般的学生人数为60人，补全的统计图见解析 （2）扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为 （3）估计该校测试成绩为“良好”和“优秀”的学生共有660人 【解析】 【分析】本题综合考查了频数直方图与扇形统计图，用样本估计总体等知识． （1）根据等第为优秀的学生人数及其占比，可求得抽取的学生人数，进而求得等第为一般的学生人数，则可补充统计图； （2）根据“良好”所占的百分比与的乘积即可求得； （3）根据：全校人数与“良好”和“优秀”学生的占比乘积，即可求得． 【小问1详解】 解：抽取学生人数为：（人）， 则测试成绩为一般的学生人数为：（人） 补全统计图如下： 【小问2详解】 解：， 即扇形统计图中“良好”所对应的扇形圆心角的度数为． 【小问3详解】 解：（人） 即估计该校测试成绩为“良好”和“优秀”的学生共有660人． 24. 在数学综合实践课上，同学们分组进行了以“菱形纸片的剪拼”为主题的探究活动，如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和，进行如下实践探究． （1）活动一：将图1中的沿直线向左平移一段距离得到，如图2所示，点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为交于点交AC于点，连接，请直接写出图2中的所有平行四边形； （2）活动二：将图1中的绕点逆时针旋转得到，如图3所示，点的对应点为，点的对应点为，连接．若，试判断四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】（1）四边形、、为平行四边形； （2）四边形为矩形，证明如下： ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】题目主要考查特殊四边形的判定和性质，旋转和平移的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据菱形的性质及平移的性质得出，再由平行四边形的判定即可得出结果； （2）根据旋转得出，设，得出，确定，再由菱形的性质及矩形的判定证明即可． 【小问1详解】 解：∵菱形沿对角线剪开，得到和， ∴，， ∵沿直线向左平移一段距离得到， ∴， ∴四边形、、为平行四边形； 小问2详解】 略 25. 某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜元，定制个笔记本和个纪念册共需花费元． （1）求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？ （2）根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共个，但总支出不能超过元，求最多可以定制多少个纪念册？ 【答案】（1）定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； （2）最多可以定制个纪念册． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元，根据定制个笔记本和个纪念册共需花费元，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即定制一个笔记本所需费用，再将其代入中，即可求出定制一个纪念册所需费用； （2）设定制个纪念册，则定制个笔记本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设定制一个笔记本需要元，则定制一个纪念册需要元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：定制一个笔记本需要元，一个纪念册需要元； 【小问2详解】 设定制个纪念册，则定制个笔记本， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为． 答：最多可以定制个纪念册． 26. 已知是的内接三角形，直径于点，连接并延长交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，过点作于点交于点，交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点是延长线上一点，，连接交于点，连接，，，若的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （3） 【解析】 【分析】（1）证明，可得，证明，可得，再结合三角形的外角的性质证明即可； （2）如图，连接，证明，，可得，结合，可得，证明，进一步可得结论； （3）如图，连接，过作于，过作于，连接，设，证明，为的垂直平分线，证明，可得，设，则，而，可得，，，，，，，设，则，可得，可得（舍去），，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，过作于，过作于，连接， ∴， 设， ∴， ∵，而， ∴， ∴， ∴为垂直平分线， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则，而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，而， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理的应用，圆的内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点，且． （1）求的值； （2）如图1，点在第四象限的抛物线上，连接交于点．若点的横坐标为，设线段长为，求与的函数解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点在第三象限的抛物线上，连接，过作轴交于点，连接，，在线段上取点，连接使，过作于点交于点，若，求点的坐标，并直接写出点是否在直线上． 【答案】（1）； （2）； （3），点E不在直线上． 【解析】 【分析】（1）先求出点A坐标，进而得出C点坐标，进一步得出结果； （2）作轴于Q，可证得，从而，进而得出，从而； （3）作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，，可求得，从而得出，可证得，从而，进而证得四边形是平行四边形，从而，进而得出，作，交的延长线于R，作于T，作轴于X，可证得，从而，，，进而证得，从而，，进而证得矩形是正方形，从而设，代入抛物线的解析式，从而得出P点坐标；由（2）得出，从而，设，则，则，根据勾股定理列出关于n的方程，进而求得点E坐标，从而得出的解析式，根据和抛物线的解析式得出Q点坐标，根据直线和直线的关系得出直线的解析式，进而得出点E不在直线上． 【小问1详解】 解：由得， ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， 作轴于Q， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图2， 作，交的延长线于W，延长至V，使，连接，， ∴，，， ∴C、V、B在以O为圆心，为半径的圆上， 设交x轴于I， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 作，交的延长线于R，作于T，作轴于X， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， 则设， ∴， ∴，（舍去）， ∴ 由（2）得， ， ∴， 设，则，则， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴的解析式为：， 由得， ，（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理求得直线的解析式为， 设直线交轴于点，作轴于点，如图， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 同理得直线的解析式为：， 当时， ， ∴点E不在直线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形和正方形的判定和性质等知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $