江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟3

**基本信息** 以端午节粽子、红外体温计等现实情境为载体，融合概率统计、空间向量等知识，注重数学眼光观察与思维应用的高二期末模拟卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|古典概型、正态分布、独立性检验|第1题以粽子馅料考条件概率，体现文化传承| |多选题|3/18|二项式定理、排列组合|第11题正方体动态问题，考查空间观念| |填空题|3/15|正方体顶点组合、独立性检验|第14题疫苗试验考统计推断，培养数据意识| |解答题|5/77|回归分析、空间几何|第17题传统文化课程安排，融合应用意识与创新思维|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒.现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则 （ ） A. B. C. D. 2．已知随机变量为 （ ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是 （ ） A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2 B．若随机变量 C．通过样本数据得到的回归方程一定经过点 D．在独立性检验中， 的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 4．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为 （ ） （参考数据：若，则）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5．在空间向量中，我们给出了对于向量的“外积”运算规则：对于空间向量 ，已知，平面的法向量为，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是 （ ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D． 相交但不垂直 6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则 （ ） A. B. C. D. 7．若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8．某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置单次抽奖环节，在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品，定义随机变量：参与者获得环保袋时，未获得时，则 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列描述正确的是 （ ） A．保留三位小数的近似值为 B． C． D． 除以5所得的余数是 10．某班组织由甲、乙、丙等6名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． （ ） 11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是 （ ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为 . 14．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有 只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 14．如图，粒子在四个容器中移动，当在时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中，当在容器时，粒子停止移动，当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，中 ； . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 16．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 17．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑假开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、 “京剧”、 “刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑假的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 18．M某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 接待游客人数（万人） （1）根据表中数据，求关于的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； （2）该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式，调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为.假设游客之间选择上山、下山的分式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客游客了解其下山方式，记为这4人中步行下山的游客人数，求的分布列和期望. 附：参考数据： 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 19．如图，在多面体中，，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点. （1）证明：； （2）求直线所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值. 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高二数学期末模拟3 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒.现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件为“取到的两个为同一种馅”，事件为“取到的两个均为豆沙馅”，则 （ C ） A. B. C. D. 2．已知随机变量为 （ C ） A． B． C． D． 3．下列说法错误的是 （ D ） A．数据1，2，3，5，7，8的分位数为2 B．若随机变量 C．通过样本数据得到的回归方程一定经过点 D．在独立性检验中， 的观测值越小，“认为两个变量有关”这种判断犯错误的概率越小 4．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（ D ） （参考数据：若，则）. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【详解】因为体温X服从正态分布，所以，因为的值在内的概率约为，且，则， 所以，则，解得， 所以，解得，故选：D. 5．在空间向量中，我们给出了对于向量的“外积”运算规则：对于空间向量 ，已知，平面的法向量为，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是 （ D ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D． 相交但不垂直 6．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有个红球和个篮球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则 （ A ） A. B. C. D. 【详解】， ，，故，，，由上面比较可知，故选A考点：独立事件的概率,数学期望 7．若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则 （ A ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【详解】由已知可得，.根据二项式定理，知展开式通项为 ，显然当是偶数时，该项为有理项， 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，；时，. 经比较可得，，即时系数最大，即展开式的有理项中第5项的系数最大．故选：A. 8．某社区开展“绿色低碳”主题公益活动，活动设置单次抽奖环节，在不透明的抽奖箱中装有4个小球，其中3个标有“环保达人”，1个标有“继续努力”；参与者从箱中随机抽取1个小球，抽到“环保达人”即可获得环保袋，抽到“继续努力”则无奖品，定义随机变量：参与者获得环保袋时，未获得时，则 （ A ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知，则下列描述正确的是 （ AD ） A．保留三位小数的近似值为 B． C． D． 除以5所得的余数是 10．某班组织由甲、乙、丙等6名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件为“学生丙第一个出场”，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． （ ABD ） 11. 正方体的棱长为1，点为底面正方形上一动点（包括边界），则下列选项正确的是 （ BCD ） A. 直线与平面所成的角的正弦值为 B. 若点为中点，点为中点，则直线和夹角的余弦值为 C. 若，则的最小值为 D. 若点在上，点在上，则的长度最小值为 【详解】对于A，对于正方体，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 所以，令，则， 所以直线与平面所成的角的正弦值为，故A错误； 对于B，如图所示， 则，则， 所以直线和夹角余弦值为，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 所以在以为圆心，为半径的圆上（正方形内的部分），取的中点，则， 由于，所以， 则的最小值为，故C正确；对于D，若点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 设为直线和的法向量， 又因为， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为，即的长度最小值为，故D正确.故选：BCD 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定理法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．从正方体的八个顶点中任意取四个点，则值的不同种数为 . 14．为了考查一种新疫苗预防某X疾病的效果，研究人员对一地区某种动物进行试验，从该试验群中随机进行了抽查，已知抽查的接种疫苗的动物数量是没接种疫苗的2倍，接种且发病占接种的，没接种且发病的占没接种的，若本次抽查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为接种该疫苗与预防某X疾病有关”的结论，则被抽查的没接种动物至少有 36 只 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828 发病 没发病 合计 接种 2k 没接种 k 合计 3k 【详解】设没接种只数为k，依题意，得2×2列联表如下： 则的观测值为：，因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱足球与性别有关的结论，于是，即，即 ∴，∴． 14．如图，粒子在四个容器中移动，当在时，每隔一小时等可能地移动到相邻容器中，当在容器时，粒子停止移动，当前时刻，在容器中，设小时后，停止移动，中 ； . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某校学生文艺部有男生4人，女生2人 （1）若安排这6名同学站成一排照相，要求2名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若从中挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动， ①求男生甲被选中的概率； ②在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率． 15．解：（1）先让4名男生排好有排法，再让2名女生取穿插有插法， 所以共有种排法； （2）①设事件表示“男生甲被选中”，则. ②设事件表示“被选中的两人中必须一男一女”，事件表示“女生乙被选中”， 则，， 所以. 所以在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，女生乙被选中的概率为. 16．给出下列条件:①若展开式前三项的二项式系数的和等于16；②若展开式中倒数第三项与倒数第二项的系数比为4:1.从中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答(注:若选择多个条件，按第一个解答计分) 已知，___________. （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中所有的有理项. 16．解：（1）二项展开式的通项公式为： . 若选①，则由题得， ∴，即， 解得或(舍去)，∴. 若选②，则由题得，∴， 展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为， ，. （2）由（1）可得二项展开式的通项公式为： . 当即时得展开式中的有理项， 所以展开式中所有的有理项为: ，，. 17．中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑假开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、 “京剧”、 “刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数； （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑假的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； （3）计划安排五名教师教六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师不任教“围棋”课程，教师只能任教一门课程，求所有课程安排的种数. 17．解：（1）由题意得，共有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步将甲和乙的相同课程选好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选法有种情况； 因此，所有选课种数为种； （3）①当只任教1科时：先让任选一科，有种； 再从剩下5科中让选，有种； 接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种； 所以当只任教1科时，共有种； ②当任教2科时：先选任教的2科有种； 这样6科分为4组共有种； 综上课程安排方案共有种. 18．M某景区统计了连续5天该景区接待游客的人数（单位：万人），数据如下表： 第天 1 2 3 4 5 接待游客人数（万人） （1）根据表中数据，求关于的经验回归方程，并预测第7天该景区接待游客的人数； （2）该景区上山、下山各有步行和乘观览车两种方式，调查显示，游客选择步行和乘观览车上山的概率分别为，步行上山的游客下山时继续选择步行的概率为，乘观览车上山的游客下山时继续选择乘观览车的概率为.假设游客之间选择上山、下山的分式互不影响，现从该景区出口随机选取4位下山的游客游客了解其下山方式，记为这4人中步行下山的游客人数，求的分布列和期望. 附：参考数据： 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 18．解：（1）由题意知，， 所以， ， 故关于的经验回归方程为， 当时，， 因此可预测第7天接待游客人数为万人； （2）设事件为“游客步行下山”，事件为“游客步行上山”，事件为“游客乘观览车上山”， 由题意知：， ； 所以由题意知，为这4人中步行下山的游客人数， 则的可能取值为，于是 ，，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 4 的期望. 19．如图，在多面体中，，四边形为正方形，且，若分别是的中点，点是线段上的一个动点. （1）证明：； （2）求直线所成角的正弦值； （3）求二面角的余弦值的最大值. 19．（1）证明：，四边形为正方形， 所以两两垂直， 所以分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， ，，所以， 则， ， 设， 则， 所以平面的法向量为 ， ； （2）， 设平面的法向量 则得， 令， 设直线所成角为， 所以， 所以直线直线所成角的正弦值为； （3）易知平面的法向量， 设平面的法向量为， 则得， 令，， 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， 所以， 令， ， 令， 所以取得最大值，且最大值为， 且此时， 所以当的中点时，二面角的余弦值取得最大值，且最大值为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $