§1.1.2 空间向量的数量积运算导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 第一章 空间向量与立体几何 §1.1.2 空间向量的数量积运算【导学】 导学目标： 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.【重点】 3.用数量积证明垂直，求解角度和长度．【难点】 【知识要点】 空间向量的数量积 (1) 空间两个向量夹角 B O A 如图，已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b， 则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉． 0≤〈a，b〉≤π，并且〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，并记作a⊥b. (3)已知空间两个向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积， 记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (4)已知向量＝a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量(如图)． 作点A在l上的射影A′，作点B在l上的射影B′，则|a|cos〈a，e〉叫做向 量在轴l上或在e方向上的正射影，简称射影， 可以证明A′B′＝||cos〈a，e〉＝a·e. (5)性质 ①a·e＝|a|cos〈a，e〉． ②a⊥b⇔a·b＝0. ③|a|2＝a·a. ④cos〈a，b〉＝. (6)运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b) ②a·b＝b·a(交换律)． ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 【典型例题】 题型一　数量积的计算 【例1-1】(链接教材P7L2)如图，平行六面体中，AB=5，AD=3，AA1=7，，，，求： （1） ; （2） 线段的长 .     【例1-2】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点， 求：(1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 　 题型二　用数量积证明垂直问题 【例2-1】如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°. 求证：BD⊥平面ADC. 题型三 用数量积求角度 【例3-1】如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 题型四 用数量积求长度 【例4-1】如图，已知ABCD中，AD＝8，CD＝6，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝4， 求:(1)PC的长． 【例4-2】如图，在三棱柱中，分别是上的点，且. 设. (1)试用表示向量； (2)若，求的长. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $