3.1 圆的相关概念 预暑假习讲义 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册8 《第3章圆第1节圆的相关概念》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握圆的动态、静态两种定义，区分圆周与圆面，明确圆心定位置、半径定大小。 2.熟练辨析弦、直径、弧（劣弧、半圆、优弧）、等圆、等弧核心概念，理清逻辑关系（直径是弦，弦不一定是直径；半圆是弧，弧不一定是半圆）。 3.掌握点与圆的三种位置关系判定方法：设半径r，点到圆心距离d，d<r圆内、d=r圆上、d>r圆外。 4.能根据概念辨析真假命题，解决圆内线段计数、点与圆位置判断、简单几何计算类基础题型。 5.规避江苏考试高频易错点：等弧必须同圆/等圆、直径是线段不是直线、优弧书写需三个字母、混淆圆周与圆面。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.圆的双重定义、弦、直径、各类弧、等圆、等弧基础概念； 2.点和圆的位置关系判定； 3.基础命题正误判断。 （二）难点 1.等弧概念理解（仅长度相等的弧 ≠ 等弧，必须能完全重合）； 2.优弧、劣弧书写规范； 3.结合线段、几何距离综合判断点与圆位置的综合大题。 ) 三．自主探究 （一）圆的两种定义 1.动态定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A形成的封闭曲线叫圆；固定点O为圆心，线段OA为半径；记作⊙O，读作圆O。 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　 　 2.静态定义（集合定义）：平面内到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的所有点的集合。 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 3.关键提醒： （1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； （2）圆仅指封闭曲线（圆周），不含内部区域，内部叫圆面； （3）必须限定平面内，空间中该图形为球面。 （二）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. （三）与圆相关线段概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段；如图中线段CD; 2.直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦；直径d=2r；如图中线段AB. 3.关系：直径一定是弦，弦不一定是直径。 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. （四）与圆相关弧的概念 1.圆弧（弧）：圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。 2.半圆：直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半； 3.劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧. 4.优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧. 5.关系：半圆是弧，弧不一定是半圆；同圆中优弧＞半圆＞劣弧。 6.补充说明： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. （五）等圆、等弧 1.等圆：半径相等、能完全重合的两个圆；圆心可不同；如图中的两个圆就是等圆。 2.等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧；仅长度相等不能判定为等弧。 3.补充说明：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； （六）高频易错总结 1.直径是线段，对称轴是直径所在直线； 2.过一点可画无数圆，过两点可画无数圆，不在同一直线三点确定唯一圆； 3.优弧必须三字母书写，避免歧义； 4.判断等弧前提：同圆/等圆。 四．经典例题 例1.（2025·南京鼓楼期末）下列说法正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆不是弧 例2.（2024·苏州吴中期末）以线段AB为直径画圆，圆心是（ ） A. 点A B. 点B C. AB中点 D. 线段上任意点 例3．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的是________． 例4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为r作⊙C. (1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ (2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 例5.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A=63°， 求∠B的度数. 例6.如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你写出线段OE与OF的数量关系，并给予证明. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·常州新北期末）圆的集合定义中，定长指（ ） A.圆心 B.半径 C.直径 D.弦 2.（2025·宿迁宿豫期末）下列线段是圆中最长弦的是（ ） A.半径 B.劣弧 C.直径 D.任意弦 3.（2026·盐城射阳一模）两个圆面积相等，则两圆一定是（ ） A.同心圆 B.等圆 C.等弧 D.同一个圆 4.（2025·扬州江都期末）⊙A半径6，点P满足AP=5，点P位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 5.（2024·南通通州期末）优弧和劣弧分界线是（ ） A.半径 B.直径 C.弦 D.圆心 6.（2026·盐城亭湖一模）⊙O半径为5，点P到圆心距离OP=6，则点P与⊙O位置关系（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法判断 （二）填空题 7.（2025·苏州姑苏期末）平面内到定点距离相等的点组成图形是________。 8.（2026·滨海二模）弦经过圆心时，这条弦叫做________。 9.（2025·无锡滨湖期末）⊙O半径7，点Q在圆外，则OQ________7（填＞、＝、＜）。 10.（2026·阜宁一模）以点M为圆心画圆，记作________。 （三）解答题 11.（2025·镇江京口期末）已知线段AB=10，以AB为直径作⊙O。 (1)求⊙O半径长度； (2)若点P满足OP=6，判断点P与圆位置。 12.（2026·东台一模）辨析概念填空： (1)圆上两点间曲线部分叫作________； (2)小于半圆的弧叫________； (3)判断：长度相等的两段弧是等弧（填对/错）。 13.如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°.求∠AOC的度数. 14.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长. 15.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州云龙期末）下列说法错误的是（ ） A.圆有无数条半径 B.所有半径长度相等（同圆） C.圆面就是圆周 D.圆心不在圆上 2.（2026·南京玄武一模）过平面内一点P作圆，可作（ ） A.1个 B.无数个 C.0个 D.2个 3.（2024·苏州相城期末）⊙O半径9，点M在圆上，则OM长度为（ ） A.小于9 B.等于9 C.大于9 D.无法确定 4.（2026·江都二模）同圆内，优弧、半圆、劣弧长度大小关系正确的是（ ） A.劣弧＞半圆＞优弧 B.优弧＞半圆＞劣弧 C.半圆＞优弧＞劣弧 D.三者相等 5.（2024·连云港赣榆期末）两个等圆，一定相同的是（ ） A.圆心位置 B.半径长度 C.位置 D.直径位置 6．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.如图，⊙O为矩形ABCD外接圆，AB＝6，BC＝8，点M在⊙O上运动，N为MB中点，当点M在⊙O上运动一周时，点N运动的路径长为（　C　） A．10π B．10 C．5π D．10π 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　B　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 9．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　B　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 10．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　） A．4+4 B．4 C．4+8 D．6 （二）填空题 11.（2025·南通海门期末）线段绕端点旋转一周形成封闭曲线是________。 12.（2024·泰州海陵期末）对称轴是直径的________（填线段/直线/射线）。 13.（2025·常州溧阳期末）⊙P半径12，点N在圆内，则PN取值范围________。 14.（2026·盐城大丰一模）同一圆中，直径长度是半径的________倍。 15.（2024·镇江丹徒期末）能够完全重合的两个圆叫做________。 16．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　． 17.如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 　 　度． 18．在直角坐标系中，M（2，0），⊙M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与⊙M的位置关系 　 　． 19．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　　 ． （三）解答题 21.（2025·宿迁沭阳期末）已知⊙O直径14，点D、E、F到圆心距离OD=7，OE=6，OF=8。 (1)求⊙O半径； (2)分别判断D、E、F三点位置。 22.（2024·扬州广陵期末）几何应用：矩形ABCD，AB=6，BC=8，以顶点A为圆心，6为半径作⊙A。 (1)判断点B与⊙A位置； (2)计算AC长度，判断点C位置； (3)判断点D与⊙A位置。 23.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值． 25.阅读下列材料: 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程. 例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题. (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为　　　　　　　;  (2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系. 26.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm. (1)甲运动4 s后经过的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 27．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG． （1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？ （2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK； （3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册8 《第3章圆第1节圆的相关概念》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握圆的动态、静态两种定义，区分圆周与圆面，明确圆心定位置、半径定大小。 2.熟练辨析弦、直径、弧（劣弧、半圆、优弧）、等圆、等弧核心概念，理清逻辑关系（直径是弦，弦不一定是直径；半圆是弧，弧不一定是半圆）。 3.掌握点与圆的三种位置关系判定方法：设半径r，点到圆心距离d，d<r圆内、d=r圆上、d>r圆外。 4.能根据概念辨析真假命题，解决圆内线段计数、点与圆位置判断、简单几何计算类基础题型。 5.规避江苏考试高频易错点：等弧必须同圆/等圆、直径是线段不是直线、优弧书写需三个字母、混淆圆周与圆面。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.圆的双重定义、弦、直径、各类弧、等圆、等弧基础概念； 2.点和圆的位置关系判定； 3.基础命题正误判断。 （二）难点 1.等弧概念理解（仅长度相等的弧 ≠ 等弧，必须能完全重合）； 2.优弧、劣弧书写规范； 3.结合线段、几何距离综合判断点与圆位置的综合大题。 ) 三．自主探究 （一）圆的两种定义 1.动态定义：平面内，线段OA绕固定端点O旋转一周，端点A形成的封闭曲线叫圆；固定点O为圆心，线段OA为半径；记作⊙O，读作圆O。 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　 　 2.静态定义（集合定义）：平面内到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的所有点的集合。 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 3.关键提醒： （1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； （2）圆仅指封闭曲线（圆周），不含内部区域，内部叫圆面； （3）必须限定平面内，空间中该图形为球面。 （二）点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： （1）点P在圆内 d ＜ r ； （2）点P在圆上 d = r ； （3）点P在圆外 d ＞r. （三）与圆相关线段概念 1.弦：连接圆上任意两点的线段；如图中线段CD; 2.直径：经过圆心的弦，是圆中最长的弦；直径d=2r；如图中线段AB. 3.关系：直径一定是弦，弦不一定是直径。 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.　　　　　　 证明：连结OC、OD 　　　　　　 ∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) ∴直径AB是⊙O中最长的弦. （四）与圆相关弧的概念 1.圆弧（弧）：圆上两点间的曲线部分；以C,D为端点的弧,记作，读作“弧CD”。 2.半圆：直径两端点分割圆得到的弧，等于圆周长一半； 3.劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示；如图中的，BC是劣弧. 4.优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示；如图中的是优弧. 5.关系：半圆是弧，弧不一定是半圆；同圆中优弧＞半圆＞劣弧。 6.补充说明： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. （五）等圆、等弧 1.等圆：半径相等、能完全重合的两个圆；圆心可不同；如图中的两个圆就是等圆。 2.等弧：同圆或等圆中，能够完全重合的弧；仅长度相等不能判定为等弧。 3.补充说明：等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； （六）高频易错总结 1.直径是线段，对称轴是直径所在直线； 2.过一点可画无数圆，过两点可画无数圆，不在同一直线三点确定唯一圆； 3.优弧必须三字母书写，避免歧义； 4.判断等弧前提：同圆/等圆。 四．经典例题 例1.（2025·南京鼓楼期末）下列说法正确的是（ ） A. 圆的对称轴是直径 B. 长度相等的弧是等弧 C. 直径是圆中最长的弦 D. 半圆不是弧 【答案】：C 【解析】：A对称轴是直径所在直线，直径是线段；B等弧必须同圆/等圆且能重合；D半圆属于弧；C正确。 例2.（2024·苏州吴中期末）以线段AB为直径画圆，圆心是（ ） A. 点A B. 点B C. AB中点 D. 线段上任意点 【答案】：C 【解析】：直径中点到两端距离相等，即为圆心。 例3．在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的是________． 【答案】E，F，G　 【解析】 ∵OA＝＝， ∴OE＝2＜OA，点E在⊙O内，OF＝2＜OA，点F在⊙O内，OG＝1＜OA，点G在⊙O内，OH＝＝2 ＞OA，点H在⊙O外，故答案是E，F，G. 例4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为r作⊙C. (1)当r取什么值时，点A，B在⊙C外？ (2)当r取什么值时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？ 解：(1)若点A，B在⊙C外，则AC＞r.∵AC＝3，∴0<r<3. (2)若点A在⊙C内，点B在⊙C外，则AC＜r＜BC.∵AC＝3，BC＝4，∴3＜r＜4. 例5.如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A=63°， 求∠B的度数. 解：连接EC，ED.∵AE=CE，∴∠ACE=∠A=63°.∴∠AEC=180°－63°×2=54°.∵DE=DB，∴∠DEB=∠B.∴∠CDE=∠DEB＋∠B=2∠B.∵CE=DE，∴∠ECD=∠CDE=2∠B.∴∠AEC=∠ECD＋∠B=3∠B.∴3∠B=54°.∴∠B=18°. 例6.如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE=BF，请你写出线段OE与OF的数量关系，并给予证明. 解：OE=OF.证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA=OB.∴∠OAB=∠OBA.又∵AE=BF， ∴△OAE≌△OBF(SAS).∴OE=OF. 五．夯实基础 （一）选择题 1.（2024·常州新北期末）圆的集合定义中，定长指（ ） A.圆心 B.半径 C.直径 D.弦 【答案】：B 【解析】：定点是圆心，定长是半径。 2.（2025·宿迁宿豫期末）下列线段是圆中最长弦的是（ ） A.半径 B.劣弧 C.直径 D.任意弦 【答案】：C 【解析】：直径是过圆心的弦，同圆内最长弦。 3.（2026·盐城射阳一模）两个圆面积相等，则两圆一定是（ ） A.同心圆 B.等圆 C.等弧 D.同一个圆 【答案】：B 【解析】：面积相等则半径相等，半径相等为等圆。 4.（2025·扬州江都期末）⊙A半径6，点P满足AP=5，点P位置（ ） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.圆心 【答案】：A 【解析】：d=5<6=r，点在圆内。 5.（2024·南通通州期末）优弧和劣弧分界线是（ ） A.半径 B.直径 C.弦 D.圆心 【答案】：B 【解析】：直径分割圆为两个半圆，半圆区分优弧劣弧 6.（2026·盐城亭湖一模）⊙O半径为5，点P到圆心距离OP=6，则点P与⊙O位置关系（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 无法判断 【答案】：C 【解析】：d=6>r=5，满足d>r，点在圆外。 （二）填空题 7.（2025·苏州姑苏期末）平面内到定点距离相等的点组成图形是________。 【答案】：圆 【解析】：圆的静态集合定义。 8.（2026·滨海二模）弦经过圆心时，这条弦叫做________。 【答案】：直径 【解析】：直径专属定义。 9.（2025·无锡滨湖期末）⊙O半径7，点Q在圆外，则OQ________7（填＞、＝、＜）。 【答案】：＞ 【解析】：点在圆外d>r。 10.（2026·阜宁一模）以点M为圆心画圆，记作________。 【答案】：⊙M 【解析】：圆标准书写格式，圆心字母写在符号后。 （三）解答题 11.（2025·镇江京口期末）已知线段AB=10，以AB为直径作⊙O。 (1)求⊙O半径长度； (2)若点P满足OP=6，判断点P与圆位置。 解：(1)直径是半径2倍，直接除法计算。直径AB=10，半径r=10÷2=5； (2)距离大于半径，对应圆外。OP=6>5=r，点P在圆外； 12.（2026·东台一模） 辨析概念填空： (1)圆上两点间曲线部分叫作________； (2)小于半圆的弧叫________； (3)判断：长度相等的两段弧是等弧（填对/错）。 【答案】(1)圆弧（弧）；(2)劣弧；(3)错； 【解析】(1)弧的基础定义；(2)劣弧＜半圆，优弧＞半圆；(3)缺少同圆/等圆前提，长度相等不一定重合，不是等弧。 13.如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠AEC=20°.求∠AOC的度数. 解：连接OD，如图，∵AB=2DE，而AB=2OD，∴OD=DE，∴∠DOE=∠E=20°，∴∠CDO=∠DOE+∠E=40°，而OC=OD，∴∠C=∠ODC=40°，∴∠AOC=∠C+∠E=60°. 14.如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D，AD＜BD，若CD=2cm，AB=5cm，求AD、AC的长. 解：连接OC，∵AB=5cm，∴OC=OA=AB=cm，Rt△CDO中，由勾股定理得：DO=1.5cm，∴AD=﹣=1cm，由勾股定理得：AC==，则AD的长为1cm，AC的长为cm 15.新定义题如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长． 解：依题意知OA′·OA＝16，且OA＝8，所以OA′＝2.同理可知，OB′＝4，即点B的“反演点”B′与点B重合．设OA交⊙O于点M，连结B′M，因为∠BOA＝60°，OM＝OB′，所以△OB′M为等边三角形．又因为OA′＝2＝OM，所以A′B′⊥OM.根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2，即16＝4＋A′B′2，解得A′B′＝2 (负值已舍去)． 六．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·徐州云龙期末）下列说法错误的是（ ） A.圆有无数条半径 B.所有半径长度相等（同圆） C.圆面就是圆周 D.圆心不在圆上 【答案】：C 【解析】：圆周是曲线，圆面是圆周内部全部区域，二者不同。 2.（2026·南京玄武一模）过平面内一点P作圆，可作（ ） A.1个 B.无数个 C.0个 D.2个 【答案】：B 【解析】：圆心可取平面内除P外任意点，半径为圆心到P距离，无数种组合。 3.（2024·苏州相城期末）⊙O半径9，点M在圆上，则OM长度为（ ） A.小于9 B.等于9 C.大于9 D.无法确定 【答案】：B 【解析】：圆上点到圆心距离等于半径。 4.（2026·江都二模）同圆内，优弧、半圆、劣弧长度大小关系正确的是（ ） A.劣弧＞半圆＞优弧 B.优弧＞半圆＞劣弧 C.半圆＞优弧＞劣弧 D.三者相等 【答案】：B 【解析】：优弧大于半圆，劣弧小于半圆。 5.（2024·连云港赣榆期末）两个等圆，一定相同的是（ ） A.圆心位置 B.半径长度 C.位置 D.直径位置 【答案】：B 【解析】：等圆判定核心：半径相等，圆心位置可不同。 6．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉，喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】：B 【解析】：如图，设点P是喷泉中心位置，OP＝14m，连接PT．由题意，OA＝6m，∴PA＝8m＜10m，∵PT＝＝m＜10m，PB＝11m＞10m，PC＞PB＞10m，∴为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是2个，故选：B． 7.如图，⊙O为矩形ABCD外接圆，AB＝6，BC＝8，点M在⊙O上运动，N为MB中点，当点M在⊙O上运动一周时，点N运动的路径长为（　C　） A．10π B．10 C．5π D．10π 【答案】：C 【解析】：如图，连接BD，ON．∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝﹣CD＝6， ∴BD＝＝＝10，∴OB＝OD＝5，∵NB＝NM，∴ON⊥BM， ∴点N的运动轨迹是以OB为直径的圆，∴点N运动的路径长为5π，故选：C． 8．如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（　B　） A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3 【答案】：B 【解析】：如图，连接BO′、BC．∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，O′E＝2，在Rt△BCO′中，BO′＝＝＝，∵O′E+BE≥O′B，∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，故选：B． 9．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（　B　） A．G点 B．H点 C．M点 D．N点 【答案】：B 【解析】：如图，观察图象可知，能被雷达监测到的最远点为点H．故选：B． 10．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则△BCD的面积的最大值为（　　） A．4+4 B．4 C．4+8 D．6 【答案】：A 【解析】：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB， ∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．故选：A． （二）填空题 11.（2025·南通海门期末）线段绕端点旋转一周形成封闭曲线是________。 【答案】：圆 【解析】：圆动态定义。 12.（2024·泰州海陵期末）对称轴是直径的________（填线段/直线/射线）。 【答案】：直线 【解析】：直径是线段，对称轴为无限延伸的直线。 13.（2025·常州溧阳期末）⊙P半径12，点N在圆内，则PN取值范围________。 【答案】：0<PN<12 【解析】：圆内点到圆心距离大于0小于半径。 14.（2026·盐城大丰一模）同一圆中，直径长度是半径的________倍。 【答案】：2 【解析】：直径定义d=2r。 15.（2024·镇江丹徒期末）能够完全重合的两个圆叫做________。 【答案】：等圆 【解析】：等圆判定标准：半径相等、可完全重合。 16．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是 　 　． 【答案】2或5 【解析】①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径为7﹣3＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径＝7+3＝10，∴圆的半径为5，故答案为2或5． 17.如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD＝OA，若∠AOC＝105°，则∠D＝ 　 　度． 【答案】25 【解析】连接OB，∵BD＝OA，OA＝OB所以△AOB和△BOD为等腰三角形，设∠D＝x度，则∠OBA＝2x°，因为OB＝OA，所以∠A＝2x°，在△AOB中，2x+2x+（105﹣x）＝180， 解得x＝25，即∠D＝25°． 18．在直角坐标系中，M（2，0），⊙M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与⊙M的位置关系 　 　． 【答案】点P在圆外 【解析】∵M（2，0），P（﹣2，3），∴MP＝＝5，∵圆M的半径为4，5＞4，∴点P在圆外，故答案为：点P在圆外． 19．如图，⊙O的半径为6，△OAB的面积为18，点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，P点有　 　个． 【答案】4 【解析】解法一：过O作OC⊥AB于C，则AC＝BC，设OC＝x，AC＝y，∵AB是⊙O的一条弦，⊙O的半径为6，∴AB≤12，∵△OAB的面积为18， ∴，则y＝，∴，解得x＝3或﹣3（舍），∴OC＝3＞4，∴4＜OP≤6，∵点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个． 解法二：设△AOB中OA边上的高为h，则，即，∴h＝6，∵OB＝6，∴OA⊥OB，即∠AOB＝90°，∴AB＝6，图中OC＝3，同理得：点P为弦AB上一动点，当OP长为整数时，OP＝5或6，P点有4个．故答案为：4． 20.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），点P在以D（3，3）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的最小值是　　 ． 【答案】-1 【解析】如图，连接AP，∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t，∴AB＝AC，∵∠BPC＝90°，∴AP＝BC＝AB＝t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点P在AD上，∵A（0，1），D（3，3）， ∴AD＝＝，∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝﹣1，故答案为﹣1． （三）解答题 21.（2025·宿迁沭阳期末）已知⊙O直径14，点D、E、F到圆心距离OD=7，OE=6，OF=8。 (1)求⊙O半径； (2)分别判断D、E、F三点位置。 解：(1)直径÷2得半径；r=14÷2=7； (2)对比距离与半径大小判定。OD=7=r，D在圆上；OE=6<7，E在圆内；OF=8>7，F在圆外。 22.（2024·扬州广陵期末）几何应用：矩形ABCD，AB=6，BC=8，以顶点A为圆心，6为半径作⊙A。 (1)判断点B与⊙A位置； (2)计算AC长度，判断点C位置； (3)判断点D与⊙A位置。 解：(1)距离等于半径；AB=6=r，点B在圆上； (2)勾股定理求对角线，对比半径；矩形对角线AC2=62+82=102，AC=10,10>6，点C在圆外； (3)AD=BC=8，距离大于半径。AD=8>6，点D在圆外。 23.如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁50米内会受到噪音影响，已知有两台相距30米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为5米/秒，问这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间是多少？ 解：如图， 过点A作AC⊥ON，∵∠MON=30°，OA=80米，∴AC=40米，当第一台拖拉机到B点时对学校产生噪音影响，此时AB=50，由勾股定理得：BC=30，第一台拖拉机到D点时噪音消失，所以CD=30．由于两台拖拉机相距30米，则第一台到D点时第二台在C点，还须前行30米后才对学校没有噪音影响．所以影响时间应是：90÷5=18秒． 答：这两台拖拉机沿ON方向行驶给小学带来噪音影响的时间是18秒 24.（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，求AP的最小值． 解：找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2 ， 在半圆上取P1 ， 连接AP1 ， EP1 ， 可见，AP1+EP1＞AE，即AP2是AP的最小值，∵AE==， P2E=1，∴AP2=​﹣1． 25.阅读下列材料: 平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离表示为|P1P2|=.如图,设P(x,y)是圆心坐标为C(a,b),半径为r的圆上任意一点,则点P适合的条件可表示为=r,变形可得(x-a)2+(y-b)2=r2,我们称其为圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程. 例如:由圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=25可得它的圆心为(1,2),半径为5. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列各题. (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为　　　　　　　;  (2)若已知圆的标准方程为(x-2)2+y2=22,圆心为C,请判断点A(3,-1)与☉C的位置关系. 解：(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4. (2)由题意知圆心为C(2,0),半径为2, ∵A(3,-1),∴AC=<2, ∴点A在☉C内部. 26.某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A，B同时出发，以顺时针、逆时针的方向沿圆周运动，甲运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系：l＝t2＋t(t≥0)，乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21 cm. (1)甲运动4 s后经过的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？ (3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？ 解:(1)当t＝4 s时，l＝t2＋t＝8＋6＝14(cm)．答：甲运动4 s后经过的路程是14 cm. (2)由图可知，甲、乙第一次相遇时走过的路程为半圆21 cm，甲走过的路程为t2＋t，乙走过的路程为4t，则t2＋t＋4t＝21，解得t1＝3，t2＝－14(不合题意，舍去)．答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3 s. (3)由图可知，甲、乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆：3×21＝63(cm)， 则t2＋t＋4t＝63，解得t1＝7，t2＝－18(不合题意，舍去)． 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7 s. 27．在平行四边形ABCD中，已知∠A＝45°，AD⊥BD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG． （1）如图1，若AB＝12，BE＝5，则DE的长为多少？ （2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG＝2HK； （3）如图3，在（2）的条件下，若BE＝2，BG＝2，以点G为圆心，AG为半径作⊙G，点M为⊙G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围． 解：（1）∵∠A＝45°，且AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴△ABD为等腰直角三角形， 又∵,∴BD＝12，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DBE＝∠ADB＝90°，在Rt△BED中，BD＝12，BE＝5，∠DBE＝90°，∴DE＝ ＝＝13；（2）如图2，连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，∵AD∥BC， ∴∠EBK＝∠DMK，∠KEB＝∠MDK，又DK＝KE，∴△BEK≌△MDK（AAS），∴DK＝KE，又∵BH＝GH，∴KH∥GM，∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，DE＝DF，∠DFE＝∠DEF＝45°，∴∠EDB+∠BDF＝∠FDA+∠BDF，∴∠EDB＝∠FDA， ∵∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝45°，∴∠ABD＝∠BAD，∴DB＝DA，∴△ADF≌△BDE（SAS），∴∠DAF＝∠DBE＝90°，AF＝BE∵∠DAG＝∠DFG＝45°， ∴A、F、G、D四点共圆，∴∠DGE＝∠DAF＝90°，在Rt△DGE中，K是DE的中点，∴GK＝DE，在Rt△DKE 中，同理可得：KB＝DE，∴GK＝KB，又∵BH＝GH，∴KH⊥BG， ∵KH∥MG，∴MG⊥AB，∴∠AGM＝90°，∵∠BAD＝45°，∴∠AMG＝∠BAD＝45°，∴AG＝GM，∴KH＝GM＝AG．（3）作EN⊥AB于N，在Rt△BEN中，∠EBN＝180°﹣∠ABC＝45°，BE＝2，∴EN＝BN＝，在Rt△GEN中，GN＝GB+BN＝3，EN＝，∴GE＝2，∴DE＝GE＝2，在Rt△DBE中，BE＝2，DE＝2，∴BD＝6，∴AB＝BD＝6，∴AG＝AB﹣BG＝4连接MG，取GK的中点I，作IQ⊥AB于Q，∵P是MK的中点，∴PI＝＝2，∴点P在以I为圆心，半径为2的⊙I上运动由（2）知：KH＝AG＝2，∵IQ是△KGH的中位线，∴IQ＝KH＝，在Rt△AIQ 中，AQ＝AG+GQ＝4+＝，IQ＝KH=，∴AI＝，∴AI﹣PI≤AP≤AI+PI，∴﹣2≤AP≤+2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $