第八讲 一元二次方程根的分布-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第八讲 一元二次方程根的分布（解析版） 【知识点透析】 1、一元二次方程根的0分布 方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。 2、一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 3、一元二次方程根在区间的分布 分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 【知识点精讲】 核心考点一 根在R上的分布 若在上没有实数根，则满足； 若在上有两个相等实数根，则满足； 若在上有两个不相等实数根，则满足； 【注意】形如的方程，不一定是一元二次方程，注意是否等于 【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___. 【答案】. 【解析】∵关于x的一元二次方程没有实数根 ∴ ∴ 解得：. 【例2】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 【变式1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为关于的方程有两个不等的实根 且，即：且， 解得且.故选：D. 【变式2】已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】A 【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状. 【详解】方程有两个相等的实数根，则， 又有， 或，又，故是等腰三角形. 故选：A 核心考点二 根的“0”分布 1若有两个实数根，，则，； 2 一元二次方程根的“0”分布，可以用韦达定理求解，也可以利用二次函数的图象处理，常考虑常数项与开口方向。 【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的方程有两个不同的正根， 所以，解得， 故实数的取值范围是.故选：C 【例3】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是 故答案为 【变式1】已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令（），原方程转化为，根据一元二次不等式有两个不等的实根求解即可. 【详解】令（），原方程转化为． 关于的方程有4个互不相同的实数根，即有2个不同的正根， 因此有。解得． 故选：D． 【变式2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】由题意知，二次方程有一正根和一负根， 得，解得. 核心考点三 根的“k”分布 【例4】已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与二次函数的关系，即可由二次函数的性质求解. 【详解】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【例5】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 由题可知： 则，即，故选：C 【变式1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】的两个根都大于 ，解得 可求得实数的取值范围为，故答案为： 【变式2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】设，结合题意，得到，即可求解. 【详解】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【详解】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 核心考点四 根在区间上的分布 【例6】若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，分，结合二次函数的图象和性质求解即可. 【详解】当时,不符合题意， 所以，记对称轴为，且 ①当时，，解得; ②当时，，所以， 综上或． 故选：D. 【例7】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意将问题转化为利用二次函数零点的分布，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，是关于x的方程的解，且满足， 所以在上有两个零点， 所以，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：D. 【变式1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数的图象与性质，以及零点存在性定理可得关于m的不等式组，从而可得结果． 【详解】∵方程的一根在区间(−1,0)内,另一根在区间(0,2)内， ∴函数的两个零点一个在区间(−1,0)内,另一个在区间(0,2)内， 则，解得， ∴m的取值范围是. 【变式2】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1， 由题意知，解得－<a<－2. 【变式3】．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设， 因为方程在上有两个不相等的实根， 所以， 解得． 故选：． 【变式4】．（2022·山东青岛高一课时检测）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据方程根的分布，可得不等式，求得答案; （2）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; （3）根据方程根的分布，可得不等式组，求得答案; （1）二次函数的图象是开口向上的抛物线， 故方程的一个根大于1，另一个根小于1， 则，解得，所以a的取值范围是． （2）方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3， 作满足题意的二次函数的大致图象， 由图知， ， 解得．所以a的取值范围是． （3）方程的两个根都大于0， 则 ，解得，所以a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第八讲 一元二次方程根的分布（原卷版） 【知识点透析】 1、一元二次方程根的0分布 方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 0分布结合判别式，韦达定理以及0处的函数值列不等式，即可求出参数的取值范围。 2、一元二次方程根的k分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一根小于，一大于即 大致图象（a>0） 得出的结论 大致图象（a<0） 得出的结论 综合结论 （不讨论a） 3、一元二次方程根在区间的分布 分布情况 两根都在内 两根仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 【知识点精讲】 核心考点一 根在R上的分布 若在上没有实数根，则满足； 若在上有两个相等实数根，则满足； 若在上有两个不相等实数根，则满足； 【注意】形如的方程，不一定是一元二次方程，注意是否等于 【例1】设k为实数，若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是___. 【例2】已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式2】已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定 核心考点二 根的“0”分布 1若有两个实数根，，则，； 2 一元二次方程根的“0”分布，可以用韦达定理求解，也可以利用二次函数的图象处理，常考虑常数项与开口方向。 【例2】若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例3】（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【变式1】已知关于的方程有4个互不相同的实数根，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】已知关于的二次方程有一正数根和一负数根，则实数的取值范围是_____． 核心考点三 根的“k”分布 【例4】已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5】已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1】方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【变式2】已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【变式3】关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心考点四 根在区间上的分布 【例6】若关于x的方程恰有一根在上，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【例7】若，是关于x的方程的解，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式1】方程的一根在区间内，另一根在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 【变式3】．关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式4】．（2022·山东青岛高一课时检测）已知关于x的方程． (1)当a为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (2)当a为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a为何值时，方程的两个根都大于0？ 学科网（北京）股份有限公司 $