第七讲 一元二次、高次不等式的解法-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第七讲 一元二次、高次不等式的解法（原卷版） 【知识点透析】 1、一元二次不等式的解法 （1）定义：只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 且系数 不等于零的不等式. （2）一般形式： （3）解法： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 全体实数 无解 无解 注：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零。[来源:学科网Z【知识点精讲】 【例1】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式1】．如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________． 【变式2】解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【例2】解关于x的不等式: . 【变式2】．解关于的不等式：（其中）． 【例3】 （2025·福建福州·高一福州三中校考）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【变式1】（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【变式2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【例4】 若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式1】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 2、简单分式不等式的解法 形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）. 通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数. （I） （II） 对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. 【知识点精讲】 【例5】 解下列不等式： (1)； (2)． （ 【变式1】解关于的不等式． 【变式2】解下列不等式 (1) (2) 3、简单的高次不等式的解法 【知识点精讲】 高次不等式用穿根法，解题步骤是： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间． 注意：奇穿偶不穿 【例6】求不等式的解集． 【例7】 解不等式： 【变式1】．不等式的解集是______. 【变式2】．（1）解不等式； （2）； （3）. 【变式3】．．解下列关于的不等式． (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第七讲 一元二次、高次不等式的解法（解析版） 【知识点透析】 1、一元二次不等式的解法 （1）定义：只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 且系数 不等于零的不等式. （2）一般形式： （3）解法： 二次函数 （）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 全体实数 无解 无解 注：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零。[来源:学科网Z【知识点精讲】 【例1】求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【分析】解一元二次不等式可求解（1）、（2）、（3）、（4）、（5），配方可求解（6）. 【详解】（1）由，可得或， 故不等式的解集为或. （2）由，得，解得， 故不等式的解集为. （3）由，可得，即，解得， 故不等式的解集为. （4）由，可得，解得， 故不等式的解集为. （5）由，可得，即，解得或， 故不等式的解集为或. （6）因为恒成立， 所以不等式的解集为. 【变式1】．如图，抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 解：∵不等式ax2﹣kx＋c＜b可变形为， ∴图象上抛物线在直线下方时对应x的范围即为不等式的解集， 观察函数图象可知：当时，抛物线在直线的下方， ∴不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集为， 故答案为：． 【变式2】解下列不等式： (1) (2) (3) (4) 【分析】根据一元二次不等式的求法直接求解即可. 【详解】（1）由得：，解得：或， 不等式的解集为或. （2），， 不等式的解集为. （3）由得：，解得：， 不等式的解集为. （4）由得：，解得：或， 不等式的解集为或. 【例2】解关于x的不等式: . 【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可. 【详解】①当时，不等式化为，解得， 此时不等式的解集为; ②当时，原不等式化为， 解得不等式的解集为:； ③当时，原不等式化为: ， 解得不等式的解集为:. 综上所述，当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为 【变式2】．解关于的不等式：（其中）． 【分析】因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】因为，不等式可化为，下面分类讨论： ①当，即时，不等式化为，此时不等式无解； ②当，即时，解得； ③当，即时，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为 【例3】 （2025·福建福州·高一福州三中校考）已知不等式的解集是，则（    ） A．-10 B．-6 C．0 D．2 【答案】A 【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果. 【详解】因为不等式的解集是, 所以的两根为，则，即， 所以. 故选：A 【变式1】（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集是或 【答案】ACD 【分析】由不等式与方程之间的关系及题设条件得到之间的关系，然后逐项分析即可得出正确选项. 【详解】由题意不等式的解集为或，则可知，即A正确； 易知，和是方程的两个实数根， 由韦达定理可得，则； 所以不等式即为，解得，所以B错误； 易知，所以C正确； 不等式即为， 也即，解得或，所以D正确. 故选：ACD 【变式2】已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以，可得， 所以可化为， 因为，所以可化为， 即，解得：或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【例4】 若关于的不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立，结合判别式列出关于m的不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得关于的不等式对任意的恒成立， 故恒成立，即， 故的最大值为， 故选：C 【变式1】若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】对一切实数都成立， ①时，恒成立， ②时，，解得， 综上可得，. 故选：A. 【变式2】若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 【变式3】（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案. （2）变换得到，计算函数的最小值得到答案. 【详解】（1）当时，有解， 即在上有解， 又，于是等价于， 故，又， 当且仅当即，即时等号成立，所以 所以实数的取值范围是 （2）当时，恒成立． 因为，且当时有最大值为， 所以等价于． 在区间上的最小值为，故只需即可， 所以实数的取值范围是． 2、简单分式不等式的解法 形如或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式（fractional inequality）. 通常，我们把分式不等式转化为整式不等式求解，注意接下来第一步把最高次项的系数化为正数. （I） （II） 对于不是标准形式的，要先移项通分化到形如或再按照上面的方法求解. 【知识点精讲】 【例5】 解下列不等式： (1)； (2)． 【分析】（1）由求解即可； （2）移项通分得到即可求解. 【详解】（1）原不等式可化为， 即． 故原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，， ，则， 故原不等式的解集为． 【变式1】解关于的不等式． 【答案】或 【详解】 ， 解得或， 所以不等式的解集为或， 【变式2】解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）可化为，解得：或， 所以原不等式的解集为：或. （2）可化为，解得：， 所以原不等式的解集为：. 3、简单的高次不等式的解法 【知识点精讲】 高次不等式用穿根法，解题步骤是： ①将不等式化为)形式，并将各因式的系数化“+”； ②求根，并在数轴上表示出来； ③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？）； ④若不等式（的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在轴下方的区间． 注意：奇穿偶不穿 【例6】求不等式的解集． 【分析】解法一：根据符号法则列出式子计算；解法二：将式子因式分解然后利用穿针引线计算即可. 【详解】解法一：原不等式同解于下列两个不等式组： ①或者② 解①得；解②得． 综上所述，原不等式的解集是或． 解法二：原不等式可化为． 借助数轴，讨论各个因式之积的符号，如图1所示（数轴标根法）．        【例7】 解不等式： 【解析】：：①检查各因式中x的符号均正； ②求得相应方程的根为：，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④∴原不等式的解集为：. 说明：∵3是三重根，∴在C处穿三次，2是二重根，∴在B处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式时，为奇数时，曲线在点处穿过数轴；为偶数时，曲线在点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿” ． 【变式1】．不等式的解集是______. 【答案】或， 【解析】 不等式等价为且， ∴或， ∴不等式的解集是或， 【变式2】．（1）解不等式； （2）； （3）. 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】（1）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （2）将分式不等式转化为整式高次不等式后计算即可得； （3）将分式不等式转化为整式高次不等式后，结合分母不为零计算即可得； 【详解】（1），即， 令，有或或， 则该不等式的解集为； （2） ，即， 令，有或或， 又恒成立， 故该不等式的解集为； （3） ，即， 由，故， 对： 令，有或或， 又恒成立，故有， 故该不等式的解集为. 【变式3】．．解下列关于的不等式． (1)； (2)． （2） 【答案】(1)或或 （3） (2) 或 或 （4） 【分析】（1）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. （5） （2）由题意不等式等价于，由零点标根法画图即可求解. （6） 【详解】（1）原不等式等价于， （7） 所以， （8） 如图所示： （9） （10） 解得或且， （11） 所以原不等式解集为或或. （12） （2） （13） 由得，， （14） 原不等式等价于，即， （15） 如图所示： （16） （17） 解得 或 或， （18） 所以原不等式的解集为 或 或． 学科网（北京）股份有限公司 $