第六讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理-2026年初高中数学衔接专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第六讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（解析版） 【知识点透析】 1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： (1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根： (2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根． 【知识点精讲】 【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【解析】： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 【变式2】已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【详解】（1）解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2）解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 【例题2】．（24-25九年级上·全国·期中）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，设，把原方程转化为，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】设， 原方程变形为：， 或 解得或， ∵，∴．故选：D． 【变式1】．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了换元法解一元二次方程，设，原方程变形为，然后利用公式法解得，，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，∴，， ∵， ∴应舍去，∴， ∴．故答案为：． 【例3】已知实数、满足，试求、的值． 【解析】：可以把所给方程看作为关于的方程，整理得： 由于是实数，所以上述方程有实数根，因此： ， 代入原方程得：．综上知： 【变式1】（2024·甘肃兰州·八年级中学校考期末）已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】首先把，，，两边相加整理成，分解因式，利用非负数的性质得出、、的数值，代入求得答案即可． 【详解】解：，，， ， ， ，，， ． 故选：B． 2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 【知识点精讲】 【例1】．设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【例题2】．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 【变式1】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【解析】：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． 【答案】（1）不存在k；理由见解析；（2）． 【详解】 （1）假设存在实数k，使成立． ∵一元二次方程的两个实数根 ∴， 又，是一元二次方程的两个实数根 ∴∴ ，但 ． ∴不存在实数k，使成立． （2）∵ ∴要使其值是整数，只需能整除4， ∴，，， 注意到，要使的值为整数的实数k的整数值为－2，－3，－5． 所以的值为 【变式3】．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、． 则：，． 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 【例题3】．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，配方法的应用，利用根与系数的关系找出是解题的关键．由题意可知、关于的方程的两根，根据根与系数的关系可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：由已知得：、是关于的方程的两根， 由韦达定理得：，， ， 又， 当时，取得最小值，最小值为：， 故选：A． 【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值. 【解析】：是一元二次方程的不等实根 则有 原式= 【变式2】．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握相关知识．将化为，得到实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得，，即可求解． 【详解】解：化为， ，且， 实数，是方程的两个根， ，， ， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第六讲 一元二次方程根的判别式与韦达定理（原卷版） 【知识点透析】 1、一元二次根的判别式 一元二次方程，用配方法将其变形为：，把叫做一元二次方程的根的判别式，表示为： (1) 当Δ=时，方程有两个不相等的实数根： (2) 当Δ=时，因此，方程有两个相等的实数根： (3) 当Δ=时，因此，方程没有实数根． 【知识点精讲】 【例1】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 【变式1】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【变式2】已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． (1)判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； (2)若方程的两根为、，求的值． 【例题2】．（24-25九年级上·全国·期中）若则代数式的值为（    ） A．或3 B．1或 C． D．3 【变式1】．（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）已知，则的值为 ． 【例3】已知实数、满足，试求、的值． 【变式1】（2024·甘肃兰州·八年级中学校考期末）已知，，满足，，，则的值为（    ） A． B．5 C．6 D． 2、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： 所以：， 韦达定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： 【知识点精讲】 【例1】．设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 【例题2】．请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【变式1】若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【变式2】．已知是一元二次方程的两个实数根． （1）是否存在实数，使成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若是整数，求使的值为整数的所有的值． 【变式3】．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是、．那么，． 例如：已知方程的两根分别为、． 则：，． 请同学阅读后完成以下问题： (1)已知方程的两根分别为，，求和的值． (2)设，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． (3)关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且，求的值． 【例题3】．（24-25九年级上·四川眉山·期末）已知，，，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知两不等实数a，b满足，，求的值. 【变式2】．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知实数，满足，，且，求的值（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $