第三讲 绝对值类问题-2026年初高中衔接数学专题讲义

2026年初高中衔接专题讲义 第三讲 绝对值类问题（解析版） 【知识点透析】 初中部分回顾 知识点1 绝对值的概念 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 知识点2 绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【答案】A 【例2】：已知是非零整数，且，求的值 【解析】：由于，且是非零整数，则一正二负或一负二正， （1）当一正二负时，不妨设，原式； （2）当一负二正时，不妨设，原式． 原式． 【变式1】已知，则___________. 【分析】利用绝对值为非负数求出，再求出目标值. 【详解】由，得且，因此， 所以. 故答案为：2 【变式2】已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． 【答案】．(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）解：∵， ，且， ， 为等边三角形． （2）解：∵，，是的三边长， ∴，，， ∴： ＊衔接高中内容＊ 知识点一 绝对值的化简—零点分段法 对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例3】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下种情况： ⑴当时，原式 ⑵当时，原式 ⑶当时，原式 综上讨论，原式 通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： （1）别求出和的零点值 【解析】：令，解得，所以是的零点；令，解得，所以是的零点． （2）化简代数式 【解析】：⑴当时，原式； ⑵当时，原式； ⑶当时，原式． 综上讨论，原式． （3）化简代数式 【解析】：当时，； 当时，；当时，． 综上讨论，原式． 【变式1】．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】．(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 3、绝对值函数 常见的绝对值函数是：，其图象是 【例4】 画出的图像 【解析】：（1）关键点是，此点又称为界点； （2）接着是要去绝对值 当时，；当时，． （3）图像如右图 说明：此题还可以考虑该图像可由y=|x|的图象向右平移一个单位后得到 【例5】画的函数图象. 【分析】根据绝对值的定义，可得分段函数的解析式，进而作出函数的图象. 【详解】由 ，可得函数图象如下图， 【变式】画出的图象 【解析】：（1）关键点是和 （2）去绝对值 当时，； 当时，； 当时，． （3）图象如右图所示． 【例6】 画出函数的图像 【解析】：（1）关键点是 （2）去绝对值： 当时，； 当时， （3）可作出图像如右图 【例7】 画出函数的图像 【解析】：（1）关键点是和 （2）去绝对值： 当或时，； 当时， （3）可作出图像如右图 4、绝对值不等式 绝对值不等式 的解集 的解集 拓展：（1）． （2） 【例8】求解下列不等式： (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6. 【解析】　(1)因为|3x－1|≤6⇔－6≤3x－1≤6， 即－5≤3x≤7，从而得－≤x≤， 所以原不等式的解集是 . (2)∵3≤|x－2|＜4，∴3≤x－2＜4或－4＜x－2≤－3，即5≤x＜6或－2＜x≤－1. 所以原不等式的解集为{x|－2＜x≤－1或5≤x＜6}． (3)法一　由|5x－x2|＜6，得|x2－5x|＜6. ∴－6＜x2－5x＜6. ∴∴ 即 ∴－1＜x＜2或3＜x＜6. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 法二　作函数y＝x2－5x的图象，如右图所示． |x2－5x|＜6表示函数图象中直线y＝－6和直线y＝6之间相应部分的自变量的集合． 解方程x2－5x＝6，得x1＝－1，x2＝6. 解方程x2－5x＝－6，得x′1＝2，x′2＝3. 即得到不等式的解集是{x|－1＜x＜2或3＜x＜6}． 【例9】求解下列不等式：（1）|x＋2|＞|x－1|；（2）|x＋1|＋|x－1|≥3. 【解析】　(1)|x＋2|＞|x－1|，可化为(x＋2)2－(x－1)2＞0，即6x＋3＞0， 解得x＞－， ∴|x＋2|＞|x－1|的解集为. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x. 所以－1－x＋1－x＝3，得x＝－. 同理设B点右侧有一点B1到A，B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x， 所以x－1＋x－(－1)＝3. 所以x＝. 从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集是∪. 【变式1】.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两边平方后可求不等式的解. 【详解】因为，故，故，故， 故选：D. 【变式2】解不等式：＞4． 【解析】解法一：由，得；由，得； ①若，不等式可变为， 即＞4，解得x＜0， 又x＜1， ∴x＜0； ②若，不等式可变为， 即1＞4， ∴不存在满足条件的x； ③若，不等式可变为，1 3 A B x 0 4 C D x P |x－1| |x－3| 图1．5－5 即＞4， 解得x＞4． 又x≥3，∴x＞4． 综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4． 解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式＞4的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4． 【例10】使关于的不等式有解的实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】原不等式转化为k＜x﹣|x+1|成立， 因为y=x﹣|x+1|=，对应图象如图， 由图得其最大值为﹣1． 故只须k＜﹣1即可． 故答案为： 。 【变式1】 的解集为_____ 【答案】 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解. 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 故答案为： 【变式2】不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解不等式. 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初高中衔接专题讲义 第三讲 绝对值类问题（原卷版） 【知识点透析】 初中部分回顾 知识点1 绝对值的概念 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 知识点2 绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 知识点3 两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A．±2 B．2 C．-2 D．4 【例2】：已知是非零整数，且，求的值 【变式1】已知，则___________. 【变式2】已知，，是的三边长． (1)若，试判断的形状． (2)化简：． ＊衔接高中内容＊ 知识点一 绝对值的化简—零点分段法 对于绝对值，我们经常用到的一种方法是去绝对值，一般采用零点分段法，零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号． 【例3】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值），在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下种情况： ⑴当时，原式 ⑵当时，原式 ⑶当时，原式 综上讨论，原式 通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题： （1）别求出和的零点值 （2）化简代数式 （3）化简代数式 【变式1】．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 3、绝对值函数 常见的绝对值函数是：，其图象是 【例4】 画出的图像 【例5】画的函数图象. 【变式】画出的图象 【例6】 画出函数的图像 【例7】 画出函数的图像 4、绝对值不等式 绝对值不等式 的解集 的解集 拓展：（1）． （2） 【例8】求解下列不等式： (1)|3x－1|≤6；(2)3≤|x－2|＜4；(3)|5x－x2|＜6. 【例9】求解下列不等式：（1）|x＋2|＞|x－1|；（2）|x＋1|＋|x－1|≥3. 【变式1】.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2】解不等式：＞4． 【例10】使关于的不等式有解的实数的取值范围是__________． 【变式1】 的解集为_____ 【变式2】不等式的解集为_____. 学科网（北京）股份有限公司 $