2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十三 ·平面向量的数量积 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦平面向量数量积，从概念（夹角、数量积、投影向量）入手，梳理性质、坐标表示、运算律，结合易错警示和常用结论，通过基础检测、能力达标及难题挑战构建学习支架。 资料特色突出核心素养，以数学眼光观察几何直观（如夹角定义），用数学思维推导运算律与极化恒等式，借坐标法等数学语言表达。通过投影向量计算、三角形数量积定值等实例引导探究，帮助学生深化理解，为教师提供分层教学资源，助力高一学生适应抽象思维，巩固知识与提升素养。

高一数学期末复习课程 任务二十三·平面向量的数量积 一、主干知识梳理 1.平面向量数量积的概念 (1)向量的夹角 已知两个　　　　　向量a,b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作　　　　　. 其中夹角为0时两向量同向共线,夹角为π时两向量反向共线 非零 a⊥b 易错警示 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示, ∠BAC不是的夹角,∠BAD才是的夹角. (2)平面向量的数量积 两个向量的数量积是一个实数,不再是向量 已知两个非零向量a,b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　叫做向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ. 数量积是一个实数,可正可负可0 规定:零向量与任一向量的数量积为　　　　. 微思考　两个向量的数量积大于0(或小于0),则夹角一定为锐角(或钝角)吗? |a||b|cos θ 0 提示 不一定.当两个向量的夹角为0(或π)时,数量积也大于0(或小于0). (3)投影向量 如图,在平面内任取一点O,作=a,=b.过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则就是向量a在向量b上的投影向量. [知识深化] 1.投影向量仍然是一个向量. 2.向量a在b上的投影向量与b共线,其模等于|a||cos<a,b>|=;向量b在a上的投影向量与a共线,其模等于|b||cos<a,b>|=. 3.向量a在b上的投影向量=|a|cos<a,b>e(e为与b同向的单位向量). 2.平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ. 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 模 |a|= |a|= 数量积 |a||b|cos θ x1x2+y1y2 夹角 cos θ= cos θ= A(x1,y1),B(x2,y2) 两点的距离 |AB|=|| |AB|= a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 注意别与平行的坐标公式混淆 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ 3.向量数量积的运算律 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 数乘结合律 (λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数) [知识深化] 向量的数量积运算不满足结合律和消去律,即: (1)(a·b)c不一定等于a(b·c); (2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c. 1.已知平面向量a=(1,0),b=(-1,2),则a在b上的投影向量为(　　) A.(,-) B.(-) C.(-) D.(,-) A 二、基础检测 解析:由a=(1,0),b=(-1,2)可得a·b=-1×1+0×2=-1,|b|=, 根据投影向量的定义可得a在b上的投影向量为=-b=(,-).故选A. 2.已知△ABC的外接圆圆心为O,且2,||=||, 则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C.- D.- A 解析:由2知O为BC的中点,如图,因为O为△ABC的外接圆圆心,所以OA=OB=OC. 因为||=||,所以AB=OB=OA=OC,所以△AOB为正三角形,∠ABO=60°,∠BAC=90°,所以上的投影向量为 3.已知向量|a|=6,|b|=3,且两向量夹角为,则a·b=(　　) A.18 B.9 C.9 D.-9 B 解析:a·b=|a||b|cos<a,b>=6×3×cos=9,故选B. 4.已知向量a,b的夹角为,且|a|=2|b|=2,若(ka-b)⊥(a+b),则k=(　　) A.B. C.D. A 解析:因为(ka-b)⊥(a+b),所以(ka-b)·(a+b)=0,即ka2+(k-1)a·b-b2=0, 因为|a|=2|b|=2,向量a,b的夹角为,所以|a|=2,|b|=1,a·b=2×1=1, 所以4k+k-1-1=0,即k=故选A. 5.已知向量a,b满足|a|=1,b=(-1,0),且|a-2b|=1,则a=(　　) A.(1,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,-1) B 解析:设a=(x,y),而b=(-1,0),则a-2b=(x+2,y),又因为|a-2b|=1且|a|=1, 因此解得所以a=(-1,0).故选B. 6.已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)=　　　　. -72 解析: (a+2b)·(a-3b)=a·a-3a·b+2b·a-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2 =|a|2-|a||b|cos θ-6|b|2 =62-6×4×cos 60°-6×42=-72. 7.设|a|=12,|b|=9,a·b=-54,则a与b的夹角θ=　　　　. 　 解析:由a·b=|a||b|cos θ,得cos θ==- 因为θ∈[0,π],所以θ= 8.已知|a|=2,|b|=5,且a·b=-3,则|a+b|=　　　　. 解析:|a+b|= 9.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 D 解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0, 即4+x2-4x=0,解得x=2,故选D. 10.已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=(　　) A. B. C. D.1 B 解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b, 又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=故选B. ①.平面向量数量积的运算 例1 如图,已知在等腰三角形ABC中,AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点, 则·()(　　) A.为定值10 B.为定值6 C.最大值为18 D.与P的位置有关 A 三、能力达标 解析:(方法一)由题意可设=x+(1-x), ∴原式=[x+(1-x)]·()=x+(1-x),① 又在等腰三角形ABC中,AB=AC=3,BC=4, ∴cos∠BAC==3×3=1,=9, 代入①式化简得,原式=9x+(1-x)×9+1=10.故选A. (方法二)取线段BC的中点D,连接AD,则=2, ∵AB=AC=3,BC=4, ∴AD=, 于是()=2=2||||cos<>=2|cos<>, 结合图形可知,||cos<>=||=, ()为定值10.故选A. (方法三)如图,以B为坐标原点,建立平面直角坐标系, 则B(0,0),C(4,0),A(2,),设P(t,0),t∈[0,4], 于是=(t-2,-),=(-2,-),=(2,-), ()=(t-2,-)·(0,-2)=10.故选A. (2)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则=(　　) A. B.3 C.2 D.5 B 解析 (方法一)由题可知||=||=2,=0, 则=()·() =()·(-)=-=-1+4=3. (方法二)因为E是AB的中点,所以ED=EC= 在△DCE中,由余弦定理,得cos∠DEC=, 所以=||||cos∠DEC==3. (方法三)以点A为原点建立如图所示平面直角坐标系, 则D(0,2),C(2,2),E(1,0),则=(1,2),=(-1,2), 所以=1×(-1)+2×2=3.故选B. 及时练1：设M,N是圆O上两点,若MN=2,则= (　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 C 解析 (方法一)设MN中点为P,则OP⊥MN, =()+0=2. (方法二)=||·||·cos∠OMN =||(||cos∠OMN)=||=2. (方法三)设MN中点为P,以MN所在直线为x轴, 线段MN的中垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系, 则M(-1,0),N(1,0),设O(0,-m),所以=(2,0),=(1,-m),因此=2. ②.平面向量数量积的应用 例2 (1)若向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,|2a-b|=,则|b|=(　　) A.2 B. C.10 D. B 解析:因为向量a,b满足|a|=1,(a+b)⊥a,|2a-b|=, 则(a+b)·a=a2+a·b=1+a·b=0, 所以a·b=-1,所以|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4+4+|b|2=10,故|b|= 向量的模 (2)已知向量a,b满足|a-b|=,|a+b|=|2a-b|,则|b|=　 . 解析 由|a-b|=,得a2-2a·b+b2=3,即2a·b=a2+b2-3①. 又由|a+b|=|2a-b|,得a2+2a·b+b2=4a2-4a·b+b2,即3a2-6a·b=0,即2a·b=a2, 代入①,得a2=a2+b2-3,整理,得b2=3,所以|b|= 及时练2:(1)向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1, 则|a|2+|b|2+|c|2=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 C 解析 由a+b+c=0,得c=-a-b,又(a-b)⊥c,所以(a-b)·(-a-b)=0. 因为a⊥b,所以a·b=0,又|a|=1,所以(a-b)·(-a-b)=|b|2-|a|2=0, 即|b|2=|a|2=1,所以|a|=|b|=1. 因为c=-a-b,所以|c|2=(-a-b)2=|a|2+2a·b+|b|2=2, 综上,|a|2+|b|2+|c|2=1+1+2=4. (2)已知向量a=(3,4),b=(4,m),且|a+b|=|a-b|,则|b|=(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 C 解析 ∵|a+b|=|a-b|,两边平方得(a+b)2=(a-b)2,展开整理得a·b=0, ∴a·b=3×4+4m=0, 解得m=-3. ∴|b|==5. 例3 (1)已知a,b满足|a|=|b|=,a·b=-3,则cos<a,a+b>=(　　) A. B. C.- D.- B 解析:∵a·(a+b)=a2+a·b=5-3=2,|a+b|==2, ∴cos<a,a+b>= 向量的夹角 (2)已知非零向量a=(x,3x),b=(-2x,1),若a与b的夹角为钝角, 则x的取值范围是(　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,0)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(-,0)∪(,+∞) D 解析:因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即-2x2+3x<0,解得x<0或x> 易知x≠0,则当a与b共线时,,得x=-,此时a=(-,-),b=(,1),b=-2a, 此时a和b反向,不满足题意,故x的取值范围为(-∞,-)∪(-,0)∪(,+∞).故选D. 及时练3：(1)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且b在a上的投影向量为-a,则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. B 解析 因为|a|=2,|b|=1,b在a上的投影向量为-a, 所以a=-a,所以a·b=-1,所以cos<a,b>==-, 由0≤<a,b>≤π,可知<a,b>=故选B. (2)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为,若a+2b与a+λb的夹角为锐角,则λ的取值范围是(　　) A.(,+∞) B.(,1)∪(1,+∞) C.(,+∞) D.(,2)∪(2,+∞) D 解析 根据题意可得(a+2b)·(a+λb)>0且a+2b与a+λb不共线, 则a2+(λ+2)a·b+2λb2>0,所以1-(λ+2)+8λ>0,解得λ> 当a+2b与a+λb共线时,即存在k∈R,使得a+λb=k(a+2b),解得k=1,λ=2, 因为a+2b与a+λb不共线,所以λ≠2, 所以λ>且λ≠2,所以实数λ的取值范围为(,2)∪(2,+∞).故选D. 例4 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且a⊥b,若(λa+b)⊥(a+μb),则(　　) A.λ+μ=0 B.λ+μ=-1 C.λμ=-1 D.λμ=0 A 解析:根据题意,a⊥b,所以a·b=0, 又因为(λa+b)⊥(a+μb),所以(λa+b)·(a+μb)=0,即λa2+(1+λμ)a·b+μb2=0, 因为|a|=|b|=1,所以λ+μ=0.故选A. 向量的垂直 (2)已知向量a=(k,3),b=(2,0),若a⊥(a+3b),则k=(　　) A.-3 B.-2 C.2 D.3 A 解析 因为a=(k,3),b=(2,0),所以a+3b=(k,3)+3(2,0)=(k+6,3), 因为a⊥(a+3b),所以a·(a+3b)=0,所以k(k+6)+9=0,解得k=-3.故选A. 平面向量垂直问题的2个类型 利用坐标运算证明两个向量的垂直问题 若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可 已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数 及时练4：(1)设λ∈R,已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=,且(λb-a)⊥a, 则λ=(　　) A. B. C.2 D.2 C 解析:由(λb-a)⊥a得(λb-a)·a=λb·a-a2=2-4=0,解得λ=2.故选C. (2)(多选题)已知向量a=(1,m),b=(2,-4),则下列说法正确的是(　　) A.若|a+b|=,则m=5 B.若a∥b,则m=-2 C.若a⊥b,则m=-1 D.若m=1,则向量a,b的夹角为钝角 BD 解析 对于A,因为a=(1,m),b=(2,-4),所以a+b=(3,m-4), |a+b|=,解得m=5或m=3,故A错误; 对于B,因为a∥b,所以2m=-4,解得m=-2,故B正确; 对于C,因为a⊥b,所以a·b=2-4m=0,解得m=,故C错误; 对于D,当m=1时,a=(1,1),a·b=2-4=-2<0, 又因为此时a,b不共线,所以向量a,b的夹角为钝角,故D正确.故选BD. 例5 (1)已知向量a与b的夹角为,|a|=2,|b|=1, 则向量a在b上的投影向量为(　　) A.b B.b C.a D.a A 解析:由题意知,|a|=2,且向量a与b的夹角为, 所以向量a在b上的投影向量为|a|cos<a,b>=b. 投影向量 (2)已知非零向量a,b满足b=(,1),<a,b>=,若(a-b)⊥a,则向量a在b方向上 的投影向量的坐标为　　　　. () 解析:由已知可得,|b|==2. 因为(a-b)⊥a,所以(a-b)·a=a2-a·b=|a|2-|a||b|cos=|a|2-|a|=0, 解得|a|=1或|a|=0(舍去), 所以向量a在b方向上的投影向量为|a|cosb,坐标为(). 及时练5:(1)在△ABC中,A=60°,AB=2AC,平面内一点O满足||=||=||,则向量在向量上的投影向量为(　　) A. B. C.- D.- C 解析 因为在△ABC中,A=60°,AB=2AC, 所以由余弦定理得 BC=AC, 所以AB2=BC2+AC2, 即C=90°,△ABC是直角三角形. 因为||=||=||,所以点O是△ABC的外心,且点O是斜边AB的中点. 因为△AOC是等边三角形,且OC=AB, 所以向量在向量上的投影向量为| =-|=-故选C. (2)已知向量a,b满足a·b=10,且b=(6,-8),则a在b上的投影向量为(　　) A.(-6,8) B.(6,-8) C.(-) D.(,-) D 解析:因为向量b=(6,-8),且a·b=10,那么|b|==10, 所以向量a在向量b上的投影向量为|a|cos<a,b>=(,-). 在△ABC中,∠A=60°,AC=2,|,设=λ=λ(λ>0), 则的最大值为(　　) A. B. C. D. C 四、难题挑战 解析:在△ABC中,∠A=60°,AC=2, 由余弦定理,得=cos 60°,即, 于是有||2+4-||2=2||.① 由|,得||||·cos B=|,即|||||,于是有-4=2|.② 联立①②,得2=(2+2)||, 由||≠0,得||=1+,将||=1+代入①中,得||= 由==(λ>0),知, 所以=|||cos C =|||= =(3-)=,因为λ>0,所以λ++2≥2+2=4, 当且仅当λ=即λ=1时,等号成立,所以 故当λ=1时,取得最大值为 任 务 完 成 $