6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

1．已知向量a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，则a·b＝(　　) A．5 B．14 C．－6 D．2 解析：选B.因为a＝(3，4)，a－b＝(1，2)，所以b＝a－(a－b)＝(2，2)，所以a·b＝3×2＋4×2＝14. 2．已知向量＝(2，2)，则与共线且反向的单位向量为(　　) A．(，) B．(－，－) C．(，)或(－，－) D．(2，2) 解析：选B.与共线且反向的单位向量为－＝－＝(－，－). 3．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.由题意得cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 4．已知向量a＝(2，2)，b＝(1，x)，若a∥b，则|b|＝(　　) A．1 B． C． D．2 解析：选B.向量a＝(2，2)，b＝(1，x)，因为a∥b，所以2x＝2，解得x＝1，所以|b|＝＝. 5．已知向量＝2，＝(3，－)，＝(1，)，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B．3 C．3 D． 解析：选B.因为＝2，·＝3－3＝0，所以⊥，所以四边形ABCD为直角梯形．||＝2，||＝，||＝2，则四边形ABCD的面积S＝＝3. 6．(多选)已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，x)，a与b的夹角为θ，则(　　) A．若a∥b，则x＝－1 B．若x＝2，则|a＋b|＝ C．若a⊥b，则x＝1 D．若x＝2，则cos θ＝ 解析：选BCD. 对于A，若a∥b，则x－2×(－2)＝0，解得x＝－4，故A错误；对于B，若x＝2，则a＋b＝(－1，4)，故|a＋b|＝＝，故B正确；对于C，若a⊥b，则a·b＝－2＋2x＝0，则x＝1，故C正确；对于D，若x＝2，则cos θ＝＝＝，故D正确． 7．已知a＝(2，－x)，b＝(－1，3)，a·b＝4，则a－2b＝________． 解析：a·b＝－2－3x＝4，解得x＝－2，所以a＝(2，2)，所以a－2b＝(4，－4). 答案：(4，－4) 8．设平面向量a，b，c为非零向量，且a＝(1，0).能够说明“若a·b＝a·c，则b＝c”是假命题的一组向量b，c的坐标依次为______________． 解析：令b＝(0，1)，c＝(0，－1)，显然a·b＝0＝a·c，而b≠c，因此b＝(0，1)，c＝(0，－1)能说明“若a·b＝a·c，则b＝c”是假命题，所以向量b，c的坐标依次为(0，1)，(0，－1). 答案：(0，1)，(0，－1)(答案不唯一) 9．已知P是边长为3的正方形ABCD内(包含边界)的一点，则·的最大值是________． 解析：以点A为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 设P(x，y)，(0≤x≤3，0≤y≤3)， 可得A(0，0)，B(3，0)， 所以＝(x，y)，＝(3，0)， 故·＝(x，y)·(3，0)＝3x，当x＝3时，·最大，最大值为9. 答案：9 10．(13分)已知向量a，b满足a＝(2，1)，b＝(1，－3). (1)求向量a，b的数量积a·b；(4分) (2)求向量a，b夹角θ的余弦值；(4分) (3)求|a＋2b|的值．(5分) 解：(1)由题设，知a·b＝2×1＋1×(－3)＝－1. (2)|a|＝＝， |b|＝＝， 所以cos θ＝＝＝－. (3)因为a＋2b＝(2，1)＋2(1，－3)＝(4，－5)， 所以|a＋2b|＝＝. 11．已知a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A．－6 B．－5 C．5 D．6 解析：选C.向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb＝(3＋t，4)， 由〈a，c〉＝〈b，c〉，得cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，因此＝3＋t，解得t＝5. 12．(多选)设向量a＝(3，k)，b＝(2，－1)，则下列说法错误的是(　　) A．若|a|＝3|b|，则k＝±6 B．|a|的最小值为9 C．与b共线的单位向量只有一个，为(，－) D．若a与b的夹角为钝角，则k>6 解析：选BC.对于A，若|a|＝3|b|，则＝3，解得k＝±6，故A正确；对于B，|a|＝≥3，当且仅当k＝0时，等号成立，所以|a|的最小值为3，故B错误；对于C，|b|＝＝，与b共线的单位向量有2个，为±(，)＝±(，－)，故C错误；对于D，a与b的夹角为钝角，故a·b<0且a，b不反向共线，则a·b＝(3，k)·(2，－1)＝6－k<0且－3－2k≠0，解得k>6且k≠－，综上，k>6，故D正确． 13．(13分)已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，m). (1)若a与b的夹角为135°，求实数m的值；(6分) (2)若a⊥(a－b)，求向量a在向量b上的投影向量坐标．(7分) 解：(1)因为a＝(2，1)，b＝(－1，m)，则a·b＝m－2，|a|＝，|b|＝， 若a与b的夹角为135°， 则由a·b＝|a||b|cos 135°， 可得m－2＝××(－)(m<2)， 解得m＝－3或m＝，则实数m的取值为－3或. (2)a－b＝(3，1－m)，因为a⊥(a－b)，则a·(a－b)＝2×3＋1－m＝0， 则m＝7，可得b＝(－1，7)，a·b＝7－2＝5，|b|＝＝5， 则a在b上的投影向量为 b＝b＝(－，). 14．(15分)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝，AB＝3，CD＝1. (1)若k－与垂直，求k的值；(7分) (2)若P为AB边上的动点(不包括端点)，求(＋)·的最小值．(8分) 解：(1)过D作DO⊥AB于O ， 易知AO＝1，OB＝2 ， 又∠DAB＝45°，故可得OD＝1 ， 以O为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则A(－1，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1), 所以＝(3，0)，＝(1，1)，＝(2，1), 故k－＝(3k，0)－(1，1)＝(3k－1，－1)， 因为k－与垂直，所以(3k－1)×2＋(－1)×1＝0, 解得k＝. (2)设P(x，0)，－1<x<2，则＝(1－x，1)，＝(－x，1)，则＝(－1－x，0)， 则(＋)·＝(1－2x，2)·(－1－x，0)＝2x2＋x－1， 令y＝2x2＋x－1，x∈(－1，2)，其图象的对称轴为x＝－， 故其最小值为2×2－－1＝－， 所以(＋)·的最小值为－. 15．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos (A，B)＝cos〈，〉，余弦距离为1－cos (A，B).已知点A(sin θ，cos θ)，B(0，1)，若A，B的余弦距离为，则锐角θ＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.由题意得1－cos (A，B)＝， 故cos (A，B)＝， ＝(sin θ，cos θ)，＝(0，1)， 又cos (A，B)＝cos 〈，〉＝＝＝cos θ， 故cos θ＝，所以锐角θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $