山东省临沂市沂水县第一中学2025--2026学年高二下学期期末数学模拟预测卷一

**基本信息** 本试卷聚焦高二数学核心知识，通过医院婴儿性别关联、直播带货数据等真实情境，融合函数、概率统计、导数等模块，考查数学抽象、数据观念及逻辑推理能力，实现基础与创新的梯度衔接。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数导数、古典概型|基础概念辨析，如函数切线方程（第4题）| |多选题|3/18|随机变量、不等式性质、函数图像|多选项分层考查，如随机变量期望方差（第9题）| |填空题|3/15|函数单调性、零点、条件概率|情境化设问，如三次取球条件概率（第14题）| |解答题|5/77|频率分布直方图、回归分析、导数应用|综合应用导向，如直播带货回归模型构建（第16题）、极值点不等式证明（第19题）|

沂水一中高二下学期期末数学模拟试题（一） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．若集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 3．为调查某医院一段时间内婴儿出生的时间和性别的关联性，得到如下列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 男 30 总计 40 90 则的值最接近（附：，）（   ） A．18 B．11 C．8 D．6 4．曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 5．除以8的余数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．已知命题p：函数在上是单调函数，命题q：函数的定义域为R，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7.甲､乙､丙､丁､戊5人到三个社区考察，每人只能选其中一个社区.则每个社区至少有一人，且甲不在社区的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义域为R的偶函数，，且当时，，则（     ） A．， B．， C．， D．， 二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知随机变量，若，则（   ） A． B． C． D． 10．若均为正数，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 11．已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．若函数，则的定义域为 B．函数的值域为 C．若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D．函数的所有零点之和为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_____. 13．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 14．箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄球的概率是_________；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．从某厂生产的某种电子产品中随机抽取了若干件进行试验，测试它们首次出现故障的时间（单位：天），由试验结果得到如下频率分布直方图： (1)估计这种电子产品首次出现故障的时间的第一四分位数及中位数（假设数据在组内均匀分布）； (2)设为1件这种电子产品首次出现故障的时间小于365天的概率估计值． （ⅰ）求； （ⅱ）该厂向某用户销售100件这种电子产品，记X为这100件电子产品中首次出现故障的时间小于365天的件数，假设，求，． 16．网络直播带货助力乡村振兴，它作为一种新颖的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.某直播间开展地标优品带货直播活动，其主播直播周期次数x（其中10场为一个周期）与产品销售额y（千元）的数据统计如下： 直播周期数x 1 2 3 4 5 产品销售额y（千元） 3 7 15 30 40 根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表： 3.7 55 382 65 978 101 其中 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归方程； (2)乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？（精确到0.01） 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，相关指数：. 17．已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 18．已知，函数，． (1)已知，求的解集； (2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围． 19．已知函数有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)记两个极值点分别为，，证明：. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 沂水一中高二下学期期末数学模拟试题（一）答案 1． D 由，集合是正整数集合， ，所以，故选D 2． A 解析 ，所以.故选A 3.B 解析 由题意可得列联表： 性别 晚上 白天 总计 女 30 20 50 男 10 30 40 总计 40 50 90 所以，所以的值最接近11，故选B 4． D解析 因为，则，当时，，所以曲线在点处的切线方程为，即. 5． C解析 ， 易知为8的整数倍，所以除以8的余数为，则除以8的余数为1. 6． A 解析 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以为真当且仅当或，的定义域为R， 当且仅当恒成立，即，解得或，所以为真当且仅当或，当为真为假时，的范围为与的交集，即，当为假为真时，的范围为与的交集，即为空集，综上，若命题p与q有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为.故选A. 7.B 解析 首先求所有可能情况，5个人去3个社区，共有种情况， 再计算5个人去3个社区，且每个社区至少有一个人去， 5人被分为或，当5人被分为时，情况数为; 当5人被分为时，情况数为；所以共有. 由于所求甲不去，情况数较多，反向思考，求甲去的情况数，最后用总数减即可， 当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为3，则 共计种，当5人被分为时，且甲去，甲若为1，则，甲若为2，则，共计种，所以所求概率为，故选B. 8． D 解析 ，则， ，即的周期为，结合奇偶性，周期性，故，在上满足，说明的对称轴为，则，解得， 又根据知，而， 则，于是，即，解得 9． AB 解析 由，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确； ，故C错误； 由方差性质，，故D正错误.故选AB. 10． BD 解析 ，当且仅当时取“=”，即的最大值为，A错误； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为9，B正确； 显然，在上单调递减，无最小值，C错误； ，当且仅当时取“=”，即的最小值为，D正确.故选BD 11． ABD 解析 A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对.故选ABD 12． 解析 在区间上恒成立， 即恒成立，又，所以，解得. 13． 解析 法一 令，得，即，令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 法二 ，设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 14． 答案 解析 有放回抽取，每次取到非黄球的概率为，三次都没取到黄球的概率.设事件表示至少取到一次红球，事件表示三次都取到白球， ，∵三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率，， ∴，∴在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是. 15． 解析（1）由直方图可知，的频率为， 的频率为， 故第一四分位数在上，设为，则，解得； 的频率为， 的频率为， 故中位数在上，设为，则，解得. 故第一四分位数为370，中位数为381； （2）由直方图可知，小于365天的频率为，故， 根据二项分布的期望和方差公式， ， 16． 解析 （1）将两边取对数得：， 令，则，因为， ， 所以，所以回归方程为，即. （2）甲建立的回归模型的. 所以乙建立的回归模型拟合效果更好. 17．解析（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 18． 解析（1）由题意，.在与中， ，解得，∴， ∵， ∴，解得或或， ∴不等式的解集为. （2）由题意知，由，得， ∴. ∵直线为在点的切线， ∴直线的方程为，即， ∵是过点且垂直于的直线， ∴直线的方程为：，即， 对于函数，，曲线与、在第一象限内均无公共点， ∴与无正实数解， 分离参数得，，， ∴直线与与曲线在内均无交点， 而， 当时，解得（舍）或， ∴当即时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在处取最小值，. 当时，，当时，， ∴且，即或，∴实数的取值范围为. 19．解析（1）由题意得，，. 因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根， 所以，解得. 检验：当时，由得或. 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，满足题意.所以实数的取值范围为. (2)证明：由（1）知，， 所以， 所以. 令，则， 令，则， 所以在上单调递增. 因为，， 所以函数存在唯一零点，即， 且当时，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，存在最小值，即. 因为，所以，所以， 所以. 7 学科网（北京）股份有限公司 $