精品解析：山东淄博实验中学2025-2026学年高二下学期期末复习模拟一

高二数学作业期末复习模拟一 一、单选题 1. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 3. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 7. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 8. 已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B. 若，，，则 C. 在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，取，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 是曲线的对称中心 C. 切线的方程为 D. 三、填空题 12. 已知函数，则______． 13. 现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求方程在区间上的解的个数. 16. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 17. 某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； （2）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求k的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3），求m的最小值． 19. 已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. （1）对于正整数，求，并根据，求； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学作业期末复习模拟一 一、单选题 1. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 2. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以， 由正态分布的对称性得，故B正确. 3. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 5. 若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为在区间恒成立，分离参数后结合对勾函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在区间单调递增， 所以在区间恒成立，即在区间恒成立， 即在区间恒成立， 由对勾函数的单调性可得故. 故选：D. 6. 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，80%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.5 D. 0.3 【答案】C 【解析】 【详解】记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以， 所以. 7. 已知正项数列满足，且，则（ ） A. 6 B. 42 C. 80 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合等比数列的定义，可得数列是以2为公比的等比数列，根据条件，代入求解，可得的值，即可得数列的通项公式，代入数据，即可得答案. 【详解】由题意，所以，则， 所以数列是以2为公比的等比数列，则， 所以，解得， 所以，则， 所以 8. 已知定义在上的函数满足且，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：构造函数， 则， 因为定义在上的函数满足，所以， 所以在上单调递增，且， 所以不等式可化为，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数，再利用导数判断函数的单调性即可. 二、多选题 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若样本数据，，的方差为2，则数据 的方差为4 B. 若，，，则 C. 在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为 D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4 【答案】BD 【解析】 【分析】利用两组线性关系的数据间的方差转换公式可判断A；利用全概率公式可判断B；利用线性相关系数的定义可判断C；利用非线性回归方程的求法可判断D. 【详解】原数据方差，设， 则，故A错误； ， 故 B 正确； 所有样本点都在直线  上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ， 直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误； 模型  取对数得 ， 令 ，则回归方程为 ， 已知 ，故 ，，即 ，，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】令，则， ， 令，则，故A错误； 当时，则， 当时，则， ，故B正确； 展开式通项为， 则对应，即，故C正确； 令，则， 令，则， ，故D正确． 11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，取，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 是曲线的对称中心 C. 切线的方程为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，通过判断单调性，极值情况可得零点情况；对于B，验证是否等于2，可完成判断；对于C，由题可得斜率及所过点，据此可得切线方程；对于D，由题目信息可得，据此可完成判断. 【详解】对于A，，， .则在上单调递增，在上单调递减. 则为极大值，为极小值，又注意到， .则存在， 使，即函数有三个零点，故A正确； 对于B，注意到 ， 则图象关于对称，故B正确； 对于C，由题可得，，则切线方程为： ，故C正确； 对于D，由C分析，对于，令， 则，， 则，令， 则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 12. 已知函数，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】借助导数运算法则计算即可得解. 【详解】，则，故. 13. 现有12名划船运动员，其中2人只会划左桨，5人只会划右桨，其余5人双桨都会.现在要从12人中选取6 人（3左3右）参加比赛，选法有______ 种. 【答案】 【解析】 【分析】按只会划左桨的人进行分类即可求出答案. 【详解】由题意得，这12名划船运动员中任选6人，其中3人划左桨，3人划右桨，可以分为下面3种情况： ①只会划左桨的2人全部安排，双桨都会的5人中选取1人划左桨， 再从剩余的9人中选3人划右桨，有种； ②只会划左桨的2人安排1人，双桨都会的5人中选取2人划左桨， 再从剩余的8人中选3人划右桨，有种； ③只会划左桨的2人安排0人，双桨都会的5人中选取3人划左桨， 再从剩余的7人中选3人划右桨，有种； 综上，共有种. 故答案为： 14. 数列满足，，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后通过分析与的关系，判断数列的类型，进而求出其通项公式. 【详解】因为，为奇数， 根据，可得， 所以（因为为奇数）， 又因为（因为为偶数），所以， 所以，则，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式： 所以：. 四、解答题 15. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求方程在区间上的解的个数. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据导函数符号情况即可求解； （2）判断函数在区间上的单调性情况，进一步计算的值，分类讨论即可求解. 【小问1详解】 对求导得， 令，解得或，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为， 且， 从而当或时，方程在区间上的解的个数为0； 当或时，方程在区间上的解的个数为1； 当时，方程在区间上的解的个数为2. 16. 已知数列满足，（），记. （1）求数列的通项； （2）设，求数列的前n项和为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可求证是等比数列，求出，即可得出的通项； （2）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. 【小问2详解】 由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 17. 某冰糖橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级.某采购商从采购的这批橙子中随机抽取100箱，利用橙子的等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 20 30 40 （1）若将频率作为概率，从这100箱橙子中有放回地随机抽取4箱，求恰好有2箱是特极品的概率； （2）用分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，表示抽取的一级品的箱数，求的分布列及均值， 【答案】（1） （2）分布列见解析，均值为 【解析】 【分析】（1）依题意可知抽到特极品的箱数，代入公式计算即可求得概率； （2）易知一级品的箱数服从超几何分布，求出所有可能取值和对应概率即可求得分布列和均值. 【小问1详解】 根据题意可设“从这100箱橙子中任取一箱，取到特极品”为事件，则， 现有放回地随机抽取4箱，若频率作为概率， 设抽到特极品的箱数为，则； 因此恰好有2箱是特极品的概率为 【小问2详解】 分层随机抽样的方法从这100箱橙子中抽取10箱，其中一级品4数，非一级品6箱， 再从中抽取3箱，则一级品的箱数服从超几何分布，且的所有可能取值为0，1，2，3； 可知； ； 所以的分布列为 0 1 2 3 均值为. 18. 已知函数． （1）若在区间上单调递增，试求k的取值范围； （2）若，求证：当时，； （3），求m的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，利用导数求出，即可得解； （2）利用导数说明函数的单调性，即可得证； （3）由（2）可得，，从而得到，在利用对数的运算性质及裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 因为，所以， 依题意在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，则， 故当时，即在上单调递减； 当时，即在单调递增； 所以， 故，解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，则． 令，，则， 所以（即）在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，故． 【小问3详解】 由（2）知对于，有， 取为有，则，， 取，从而有， 于是 ， ． 所以m的最小值为4. 19. 已知常数，在成功的概率为的伯努利试验中，记为首次成功时所需的试验次数，的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量的概率分布为几何分布. （1）对于正整数，求，并根据，求； （2）对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为，现提供一种求的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是，即总的试验次数为；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为2，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为. （i）求； （ii）记首次出现连续次成功时所需的试验次数的期望为，求. 【答案】（1），； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求出，得到期望的表达式，结合错位相减法求和及极限可得答案； （2）（i）根据可能发生的三种情况即可求解. （ii）根据题意得到，利用递推关系可得. 【小问1详解】 由题可知， 记， 则， 相减得： ； 由题意：. 【小问2详解】 （i）. 解得：. （ii）期待在次试验后，首次出现连续次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数为；若下一次试验失败，相当于重新试验，后续期望仍是，此时总的试验次数为. 即. 整理得：，即， 是公比为的等比数列， 所以. 由（1）知， 代入得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $