精品解析：2026年四川省眉山市中考 数学试题

**基本信息** 立足眉山地域文化与生活实际，通过分层设计考查数学核心素养，如江口沉银遗址科学记数法、《九章算术》古题、劳动教育调查数据分析等真实情境，体现“三会”素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|实数、整式、统计、几何初步|结合“东坡诗词”比赛考众数中位数，基础与能力题梯度分布| |填空题|5/20|函数、相似、方程与不等式|矩形翻折求最值，考查空间观念与推理意识| |解答题|9/90|解直角三角形、圆的切线证明、二次函数应用、几何探究|无人机测桥长（解直角三角形）、川超经济利润（二次函数）、24题图形旋转探究（创新意识）|

眉山市2026年初中学业水平暨高中阶段学校招生考数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为，，，，，则这组数据的众数和中位数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交 于点F，连接，若 ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形 中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，矩形 中，点 在线段 上，连接， 平分交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ______ ． 12. 如图，，，，，则的长度是_______． 13. 若方程 的两个根是，，则的值为________． 14. 若关于的不等式组无解，且关于的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数 的值为_______． 15. 如图，在矩形 中， ， ，点在 边上，且 ，点 是 边上的一个动点，将 沿翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接 ，则 的最小值为_______． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 计算： ． 17. 先化简，再求值：，其中，满足 ． 18. 为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为_____°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为______人； （2）补全条形统计图； （3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率． 19. 人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥 的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿 方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥 的长度（结果精确到1米）．（参考数据： ， ， ，） 20. 如图，四边形 是的内接四边形， 是的直径，对角线平分交 于点，点 在 的延长线上，且满足． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求的半径． 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将直线 向下平移12个单位后交反比例函数的图象于， 两点，交 轴于点，连接 ， ，求 的面积． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接 ，已知点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）点P是直线 上一个动点，连接 ， ，当 的长度最小时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上一个动点，当 时，请直接写出点Q的坐标． 24. 【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1，中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 与 交于点F． （1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与 的数量关系，并说明理由． （2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求的长． （3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 眉山市2026年初中学业水平暨高中阶段学校招生考数学试卷 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将相应题目的正确选项涂黑． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“负数的绝对值是它的相反数”即可计算出结果，选出正确选项． 【详解】解： ． 2. 眉山市彭山区的江口沉银遗址历经六期围堰考古，累计出水文物万余件．将76000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于 的数的形式为，要求满足 ， 为整数． 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及完全平方公式、积的乘方运算、合并同类项法则，逐项计算验证即可得到正确结果． 【详解】解：∵ 选项A，根据完全平方公式得 ，计算错误，不符合题意． ∵ 选项B，根据积的乘方法则得 ，计算错误，不符合题意． ∵ 选项C，根据合并同类项法则得 ，计算错误，不符合题意． ∵ 选项D， 和 是同类项，合并得 ，计算正确，符合题意． 4. 我市举行“东坡诗词”朗诵比赛，决赛中五位评委给某位选手的评分分别为，，，，，则这组数据的众数和中位数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵这组数据中，出现 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为， 将这组数据从小到大重新排列，得：，，，，， ∵第 个数为， ∴这组数据的中位数为． 5. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出同位角相等，再结合三角形外角的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，设直线 与截线的夹角为 ，     是三角形的外角    ． 6. 如图，在 中，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点D，点E，作直线 交 于点F，连接，若 ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图过程可知直线 是线段 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得 ，进而得到 ，再根据三角形内角和定理求出的度数，最后利用 求解即可． 【详解】由作图可知，直线 是线段 的垂直平分线，   ，   ，   ，   ，  在 中， ，，   ，   ． 7. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，大意为：五只雀，六只燕，共重16两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只 两，燕每只 两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程 ，互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 8. 如图，菱形 中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形为矩形，所以 ，则的最小值为最小值，因为点P为线段 上的一个动点，所以 时，最小，根据面积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵在菱形 中， ∴ ， ， ∵， ， ∴四边形为矩形， ∴ ， 则的最小值为最小值， ∵点P为线段 上的一个动点， ∴ 时，最小， 此时 ， ∵ ， ∴， ∴的最小值为 ． 9. 如图，矩形 中，点 在线段 上，连接， 平分交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ，交 于点 ．若 ，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质结合角平分线容易证明，则 ， ．容易证明 ，则，计算得，从而得到．由可判定 ，从而计算出 ，最后计算的面积即可． 【详解】解：设 ， ∵四边形 是矩形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， 在和 中， ， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴， ∴ ，， ∵ ， ∴， 解得， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， ∴ ． 10. 如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用 的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数 ，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为 ， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于 的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上． 11. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 12. 如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出 的长，再根据 即可求解.． 【详解】解：    ， ，      ． 13. 若方程 的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将 ， 代入得：原式 ． 14. 若关于 的不等式组无解，且关于 的分式方程 的解为正数，则符合条件的所有整数 的值为_______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先解不等式组得到 的范围，再解分式方程，结合解为正数且不为增根确定 的最终范围，即可得到符合条件的整数 ． 【详解】解：， 解不等式①得： ， 不等式组无解，   ，  整理分式方程 ， 得 ， 两边同乘 得： ， 解得： ， 分式方程的解为正数，且分母不为 ，   且 ， 解得： 且 ， 综上可得， ，且 ， ∴符合条件的所有整数 的值为，1． 15. 如图，在矩形 中， ， ，点在 边上，且 ，点 是 边上的一个动点，将 沿 翻折，点 的对应点为点，连接．点 在线段上，若，连接 ，则 的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质可知 ，即点在以为圆心， 为半径的圆上运动，由，联想到位似变换，在 上取点 使得 ，构造，从而确定点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，连接 ，当 三点共线时， 取得最小值，利用勾股定理求出 的长即可求解． 【详解】解：  四边形 是矩形，   ，， ，  点在 边上， ，   ， 由翻折的性质可知， ， 在上取一点 ，使得 ，连接 ，   ， 在 和中，  ，，  ，  ，   ，  点 是定点， 长为定值 ，   点 在以点 为圆心， 为半径的圆上运动， 连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，最小值为 ， 在 中，， ， 根据勾股定理得： ， 的最小值为 ． 三、解答题：本大题共9个小题，共90分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 16. 计算： ． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，满足 ． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式因式分解，对括号内的项通分，将除法转化为乘法后约分得到最简结果，再利用算术平方根和绝对值的非负性求出a、b的值，代入最简式计算即可得到结果． 【详解】解：  ， ∵ ， ，且 ， ∴ ，   ∴ ，， ∴原式． 18. 为激发学生热爱劳动的兴趣，培养学生尊重劳动成果的意识，某校计划利用课后服务时间以“我劳动·我快乐”为主题开展系列劳动教育活动，为学生提供“组装维修”“手工烹饪”“整理收纳”和“蔬菜种植”四种课程（依次用A，B，C，D表示）．为了解学生对这四种课程的喜欢情况，学校随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种劳动课程（必选且只选一种）”的问卷调查，并根据调查结果绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息）． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加问卷调查的学生人数是______人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为_____°，估计全校2400名学生中最喜欢C课程的人数约为______人； （2）补全条形统计图； （3）现从喜欢“组装维修”的甲，乙，丙，丁四位同学中任选两人，合作展示组装维修小技巧，请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲和乙两位同学的概率． 【答案】（1）120，36，720 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由喜欢B种课程的人数及其所占百分比可得总人数，用 乘以喜欢D种课程人数所占比例即可得出其对应圆心角度数，求出喜欢C种课程的人数所占百分比后，再乘以总人数2400即可求出全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数； （2）分别求出喜欢A种课程的人数和喜欢C种课程的人数，再补全条形统计图即可． （3）画表格得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵参加问卷调查的学生中喜欢B种课程的有42人，占被调查人数的 ， ∴参加问卷调查的学生人数是 （人）． ∵喜欢D种课程的有12人，占被调查人数的百分比为 ∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角大小为 ， ∴喜欢C种课程的人数占被调查人数的百分比为 ， ∴估计全校2400名学生中最喜欢C种课程的人数约为 （人） 【小问2详解】 解：喜欢A种课程的人数为 （人）， 喜欢C种课程的人数 （人）， 补全条形统计图如图所示 ： 【小问3详解】 列表格如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共12种情况，其中恰好选到甲和乙两位同学的有2种情况， ∴恰好选到甲和乙两位同学的概率为． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． 19. 人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥 的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿 方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥 的长度（结果精确到1米）．（参考数据： ， ， ，） 【答案】桥 的长度约为 米 【解析】 【分析】过点作于点M，过点B作 于点 ，则 米， ，然后分别解 ， 求出 ，再由线段和差计算即可． 【详解】解：过点作于点M，过点B作 于点 ，则 米， ， 由题意得， 在 中，，即 ∴（米）， 在 中，，即 ∴ （米） ∵ 米， ∴ （米） 答：桥 的长度约为 米． 20. 如图，四边形 是的内接四边形， 是的直径，对角线平分交 于点，点 在 的延长线上，且满足． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ，，求的半径． 【答案】（1）证明：连接 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 是 的直径 ∴ ∴ ∴ 又∵点C在 上 ∴是 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由，得到，然后由圆周角定理得到，再结合已知条件进行等量代换证明 即可； （2）先由勾股定理求解 ，然后根据圆周角定理得到 ，再由 求出 ，即可求解半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵ ， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 的半径为． 21. 2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 . （2）应降价 元，最大利润为 元. 【解析】 【分析】（1）设每月产量的增长率为 ，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价 元，每天总利润为 元，根据总利润 每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 【小问1详解】 解：设每月产量的增长率为 ， 根据题意列方程得:  ， 解得  ,  ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为 ； 【小问2详解】 解：设降价 元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴ ，   ， 当时， 取得最大值，最大值为 ， 答: 该食品厂应降价 元，才能使利润最大，最大利润为 元． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求一次函数的表达式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）将直线 向下平移12个单位后交反比例函数的图象于， 两点，交 轴于点，连接 ， ，求的面积． 【答案】（1） （2） 或 （3）24 【解析】 【分析】（1）根据题目所给信息设解析式代入求解即可； （2）结合图像与不等式的几何意义判断即可； （3）先求出移动后直线解析式，设 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，再分别求出点，，、，然后利用求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过，两点， ∴，， ∴， ， ∴，， 将，代入一次函数，可得： ， 解得， ∴一次函数的表达式为 ． 【小问2详解】 解：∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的 范围， ∴不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方（或重合）的 范围， ∵反比例函数的自变量取值范围为 ， 当 时， ∵反比例函数的图象与一次函数 的图像交于， ∴当 时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 当 时， ∵反比例函数的图象与一次函数 的图像交于， ∴当 时，根据图像一次函数图象在反比例函数图象上方， 综上，不等式的解集为 或 ． 【小问3详解】 解：∵直线 向下平移12个单位后交反比例函数的图象于， 两点，且直线 所在一次函数的表达式为 ， ∴直线所在一次函数的表达式为 ， 如图，设 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ∴将 代入 得 ， 解得 ， ∴， 将 代入 得 ， 解得 ， ∴， ∴ ， ∵直线交 轴于点， ∴将代入 ， ∴， 联立平移后直线与反比例函数，得：， ∴，即 ， 解得 或 ， ∵点在第一象限， ∴ ， ， ∴， ∵直线 平移得到直线，直线 和直线平行， ∴ ． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，连接 ，已知点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）点P是直线 上一个动点，连接 ， ，当 的长度最小时，求点P的坐标； （3）点Q是二次函数图象上一个动点，当 时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）代入点坐标以及利用对称轴公式求解即可； （2）过点关于直线 的对称点，连接，由于 ，故当点 三点共线时， 取得最小值，此时点为 与直线 的交点，然后求出，则直线 ，再求出直线 ，联立即可求解交点P的坐标； （3）分两种情况讨论，点 在直线 上方或者点 在直线 下方，通过添加辅助线构造相似三角形求解即可． 【小问1详解】 解：由抛物线 经过点，对称轴为直线 得， 解得， ∴抛物线的表达式为 ； 【小问2详解】 解：过点关于直线 的对称点，连接， ∴ ，当点 三点共线时， 取得最小值，此时点为 与直线 的交点， 对于 ，当 时， ∴ ∵，对称轴为直线 ∴ ∴ ，而 ∴， 由对称可得， ， ∴ ∴ 设直线 则 ，解得 ∴直线 设直线 ∴ 解得 ∴直线 联立， 解得 ∴点； 【小问3详解】 解：当点 在直线 上方时，过点 作 交射线于点 ， ∵ ∴， 过点 作轴于点 ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线 ， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴； 当点 在直线 下方时，设直线与 轴交于点，取点，连接， 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， 同理可求直线 ， 与抛物线表达式联立可得， 解得或 ∴， 综上：点Q的坐标为或． 24. 【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质． 已知，如图1， 中， ， ， ，点D是 边上的动点（不与点B，C重合），将线段 绕点A逆时针旋转 得到线段 ，连接 ， ， 与 交于点F． （1）【初步探究】如图1，在点D的运动过程中，试探究 与 的数量关系，并说明理由． （2）【深入探究】如图2，当点D运动到 时，求 的长． （3）【拓展延伸】如图3，点M为 延长线上一点，且满足 ，当时，求的值（用含k的式子表示）． 【答案】（1） ，理由如下： 由旋转得 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可得证； （2）先由勾股定理求解 ，然后根据等腰直角三角形求解 ，再证明 得到即可； （3）证明 即可得到，则，从而得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ∴ ∴， 在 中， ， ∴ ， ∴， 同理可求 ∵ ， ∴ ∴ ∴ 解得； 【小问3详解】 解：由（1）可得， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $