2025年四川省眉山市中考数学真题

眉山市2025年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试 数学试卷参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分 1.B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.C 7.B 8.A 9.c 10.D 11.B 12.B 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分 13.-3 14.8 15.-2 16.1.8 18.①3④ 三、解答题：本大题共8个小题，共78分 19.(1)√4--3到 解：原式=2-3 2分 =-1 4分 (2)2(x-1)=2+x 解： 2x-2-2+x 440440000044444.44444444444404044444444444444444402 2x-x=2+2 3分 x=4 .4分 20.(本小题满分8分) 解：原式 x-y x-y +0x-+yK-y] 2分 x-V (x+y)(x-y）x 3分 ….4分 x+y (x+2)+y-=0 x+2=0,y-1=0 =-2，y=16分 “原式1 -2+1 8分 21.(本小题满分10分) (1）200:144:4分 (2)如图： ◆人数（人） 80 6分 60 软件类别 数学答案第1页（共7页） (3) 开始 A3 8分 A2 A3 B A A3 B A A2 B A A2 A3 由图可知，机会均等的结果共12种，其中符合条件的有6种， P(使用A、B两类软件各一人)=6=」 …10分 122 22.(本小题满分10分) (1)证明：连接OC. CD为⊙O的切线， .OC⊥CD. BE//DC, .OC⊥BE, 第22题图 ∴.CE=CB 5分 (2)由(1)，得CE=CB, ∴.∠EAC-∠CAB. 6分 ,∠BAE-60°， 1 .∠CAB=-∠BAE=30°. 7分 连接BC ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，cos30°=4C AB :54c 22×2 .AC=25 10分 其它解答方法酌情给分 23.(本小题满分10分) 解：(1)：一次函数y=x+b与反比例函数y=图象交于A(1,4)、B(4,m)两点， ∴.k4×1=4, 4 “反比例函数的解析式为y= 2分 .B(4,1), 3分 将A(1,4)、B(4,1)代入一次函数解析式y=ax+b, 数学答案第2页（共7页） :a+b4,解得： a=-1, 4a+b=1, 1b=5. ∴.一次函数的解析式为y=-x+5.… .5分 (2),一次函数的解析式为y=-x+5, ∴.C(5,0), .0C-5. 点D与点A关于点O对称， ∴0D=0AV1-0)2+(4-0)2=7. ,∠AOC∠POD ∴.△AOC与△POD相似可分为△AOC∽△DOP和△AOC∽△POD两种情况讨论： ①当△AOC∽△DOP时， OP_0D=1, OC OA ..OP=OC=5, ,点P在x轴的负半轴， .p(-5,0)月… 8分 ②当△AOC∽△POD时， OP OD OA OC 即oP=而 V75 0p=17 ,点P在x轴的负半轴， 2<名，0) 第23题图 综上所述，点P的坐标为(-5,0)或（-1 5,0）10分 24.(本小题满分10分) 解：(1)方法一：设：应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意可得： 240x+280y=1280, 12x+13y=62. 2分 x=3, 解得： y=2. 答：应选用A种食品3份，B种食品2份.5分 方法二：设：应选用A种食品x份，B种食品y份，根据题意可得： 12x+13y=62, ,x,y均为正整数， 数学答案第3页（共7页） x=3, y=2. 答：应选用A种食品3份，B种食品2份 (2),·午餐选用这两种食品共300g, .300÷5=6(份) 6分 设：选用A种食品a份，则选用B种食品(6-a)份，根据题意可得： 12a+13(6-a)≥76， n7分 解得a≤2， 8分 能量Q=240a+280(6-a) 三-40a+1680,449分 -40<0, ∴.能量Q随a的增大而减小， .当a=2时，Q的值最小， 应选用A种食品2份，B种食品4份..10分 其它解答方法酌情给分 25.(本小题满分10分) 解：，抛物线y=x2+bx+c关于直线将直线x=-3对称与x轴交于A(-1,0) b =-3, .2 b=6, 解得： 1-b+c=0 c=5. 抛物线的解析式为y=X+6r+5.3分 (2),抛物线的解析式为y=x+6r+5. ∴.B(-5,0) 设P(-3,) ①如图，当点P在x轴下方时(t<0) 设抛物线对称轴与x轴交于点M,过点D作DN⊥MP于点N, 由旋转可知，BP=DP,∠BPD=90 易知：∠BPM=∠PDN 又，'∠BMP=∠DNP=90 ∴.△BMP≌△PND(AAS) ∴.PN=BM=2,MP=DN=-t ∴.点D的坐标为(-3+t,1-2) Mi ,点D在抛物线上 ∴.(-3+t}2+6(-3+t)+5=t-2 解得：t=2(舍去)或t=-1 ∴.此时点P坐标为(-3，-) ②如图，当点P在x轴上方时(1>0) 数学答案第4页（共7页） 点A、B关于直线x=-3对称 ∴.点A与点D重合，△ABP为等腰直角三角形， ∴.BM=AM=PM ∴此时点P坐标为(-3,2) 综上所述点P坐标为(-3，-1)或(-3,2) ,…7分 (3)解：存在最小值，点坐标为(0，)，24Q+√2CQ最小值为62.…10分 解析：如图所示，将直线CQ绕若Q点顺时针旋转45°，并过点C作其垂线，垂足为E, 连接AQ,则∠CQE=45°，∠CEQ=90°， 六在R1△CE0中，cos∠COE=cos45°=2 Co 2 日随着Q点的运动，总有0=2C2, 240+2c0=2X40+2c0-2(40+B0. 要使得2AQ+√2CQ取得最小值，即要使得AQ+EQ取得最小值， 当A、Q、E三点共线时，满足A0+EO取得最小值， 此时，∠CEQ=∠AO0=90,∠CQE=∠AQ0=4S, OA=1, .Ag=2,00=1, ∴.C0=0C-00=5-1=4, ∴50=c0cos45°=4x5=22, .A0+EQ=√2+22=3， .2AQ+V2CQ=2(40+Eg=62 ∴.当点Q坐标为(0,1)，2AQ+√2CQ存在最小值，最小值为6√2. 26.(本小题满分12分) (I)①∠CB'F=∠ECB .2分 ②BE=CF .4分 (2)证明： 方法一：，四边形ABCD为矩形， ∴.AD/BC,AD-BC, .∠DB'C=∠BCB,∠D=∠A=90° 由折叠可知BC=B'C,BD=B'D, ..CD'=B'C-B'D,AB'=AD-B'D, CD=AB .5分 ,∠ABE-90°-∠DBC, 数学答案第5页（共7页） ∠D'CF=90°-∠BCB', .∠ABE∠D'CF. 6分 :∠A=∠FD'C=∠D-=90°， ∴.△AB'E≌△D'CF(AAS), 7分 ∴.B'E-CF .B'E=BE, .BE-Cf.8分 方法二：过点B'作B'GIlAB交CE于点G. 由(1)可知，∠DBC=∠BCB', 由折叠可知，∠DBF= ∠DB'C, 2 ∠BCG=∠BCB, 2 .∠D'BF=∠BCG, ∴.B'FIICG, .四边形B'GCF是平行四边形， .5分 ∴.B'G=CF .6分 .AB/IB'G//CD, .∠BEG=∠EGB'. ,∠BEG=∠BEG, ∠B'EG=∠EGB, 7分 ∴.BE=BG .B'E=BE, .BE-CF.… 。。。。。主。t年。后电电。t4气 (3),BG/CF, ∴.∠D'B'G=∠FCD', .∠DBG和∠FCD不可能为直角 则可分∠BGD'=90°和∠BD'G=90°两种情况讨论： ①当∠BD'G-90°时， B ,∠BD'F=∠D=90°， D .∠BD'G=∠BDF=90°， .点F、D、G三点共线，即BC⊥GF 由(2)可知，四边形BGCF是平行四边形， G ∴.此时四边形BGCF是菱形， ∴.∠GCD'=∠FCD. 数学答案第6页（共7页） 又，'∠BCE=∠GCD', ∴.∠GCD'=∠FCD'=∠BCE-30°. 'sin∠FcD-D'F FC 16-Fc 2 FC 解得FC=4. .BE=FC-4.… .10分 ②当∠BGD=90时，D'GIlBC, D .∠DGC=∠BCG, ∴.∠D'CG=∠D'GC, ..D'C=D'G, ,∠DB'G=∠D'CF, ian∠D'BG-tan∠D'F-D'G_D'F BG'D'C 设FC为x,则BG=FC=x,D'F=DF-6-x, 即D'G6-x x D'C ∴.D'C2=x(6-x) 在Rt△D'CF中，D'C2+D'F2=CF2, x(6-x)+(6-x)2=x2, 解得x=35-3,x=-35-3(舍)， ∴CF=BE=35-3. 综上所述，BE的长为4或3V5-3. 12分 数学答案第7页（共7页）数学试卷第 1页（共 6 页） 眉山市 2025 年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷满分 150分，考试时间 120分钟． 2．在答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号准确填写在答题卡相应的位置． 3．答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑，如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其他选项；答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将 答案书写在答题卡规定的位置上；所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 4．不允许使用计算器进行运算，凡无精确度要求的题目，结果均保留准确值． 5．凡作图题或辅助线均用签字笔画图． 第Ⅰ卷（选择题 共 48分） 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 4 分，共 48分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑． 1．2025的相反数是 A．2025 B． 2025 C． 1 2025 D． 1 2025  2．剪纸是我国传统的民间艺术.下列剪纸作品中属于轴对称图形的是 A． B． C． D． 3．在《哪吒之魔童闹海》等影片的带动下，今年的中国电影市场火热开局，一季度的电 影票房达到 244亿元.244亿用科学记数法表示为 A． 100.244 10 B． 92.44 10 C． 102.44 10 D． 8244 10 4．下列计算正确的是 A． 2 3 5a a a  B． 2 3 6a a a  C． 2 3 6( )a a  D． 12 3 9a a a  5．在平面直角坐标系中，将点 A( 1 ,3)向右平移 2个单位到点 B，则点 B的坐标为 A.（ 3 ，3） B.（ 1 ，1） C.（1，3） D.（ 1 ，5） 6．如图，直线 l与正五边形 ABCDE的边 AB、DE分别交于点 M、N， 则∠1+∠2的度数为 A．216° B．180° C．144° D．120° 姓名： 准考证号： 第6题图 数学试卷第 2页（共 6 页） 7．如图，在 4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，将△OAB 以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之 比是 A．2∶1 B．1∶2 C．4∶1 D．1∶4 8．如图，在四边形 ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=10．按下列步骤 作图：①以点 A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、AD于 E、F两点；②分别以点 E、F为圆心，大于 1 2 EF的长为半径画弧， 两弧相交于点 P；③作射线AP交BC于点G，则CG的长为 A．4 B．5 C．6 D．8 9．我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜 果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱 共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个， 问甜果苦果各买几个？若设买甜果 x个，苦果 y个，根据题意可列方程组为 A． 1000 9 7 999 x y x y      ， B． 999 11 4 1000 x y x y      ， C． 1000 11 4 999 9 7 x y x y       ， D． 1000 9 7 999 11 4 x y x y       ， 10．在平面直角坐标系中，点 P的坐标为  m n， ，则向量OP  =  m n， ，已知  1 1 1OA x y  ， ，  2 2 2OA x y  ， ，若 1 2 1 2 0x x y y    ，则 1OA  与 2OA  互相垂直．下列选项中两向量互 相垂直的是 A． 1OB  =（2，3）， 2OB  =（sin30°， 0 ） B． 1OC  =（3， 9 ）， 2OC  =（1， 1 3  ） C． 1OD  =（ 5， 5 5 ）， 2OD  =（2，1 2 ） D． 1OE  =（2，1）， 2OE  =（ 12 ， 1 ） 11．若关于 x的不等式组 3 1 2 2 1 x x x x a        ≤ ， ≥ 至少有两个正整数解，且关于 x的分式方程 1 32 1 1 a x x      的解为正整数，则所有满足条件的整数 a的值之和为 A．8 B．14 C．18 D．38 第 7题图 第 8题图 数学试卷第 3页（共 6 页） 12．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，CD= 2， 动点P在Rt△ABC的边上沿C→B→A方向以每秒1个单位长 度的速度匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形 DPEF.设点P的运动时间为 t秒，正方形DPEF的面积为S. 当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于 t的二次函数. 在3个时刻  1 2 3 1 2 3t t t t t t ， ， 对应的正方形DPEF的面积 均相等．下列 4个结论：①当 1t  时， 3S  ；②点P在 线段 BA上时 22 16 34S t t   ；③ 4 2AD  ； ④ 1 2 4t t  .其中正确结论的个数为 A．1个 B． 2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题 共 102分） 二、填空题：本大题共 6个小题，每小题 4 分，共 24 分．请将正确答案直接填写在答题卡 相应的位置上． 13． 27 的立方根是 ． 14．某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练.已知某次训练中 7名男生引体向上的 成绩为：7，8，5，8，9，10，6.这组数据的中位数是 ． 15．已知方程 2 2 5 0x x   的两根分别为 1 2x x， ，则 1 2( 1)( 1)x x  的值 为 ． 16．人字梯为现代家庭常用的工具．如图，若 AB、AC的长都为 2m， 当α=65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m．（结果精确到 0.1m，参考依据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14） 17．如图，在平面直角坐标系中，用 12个以点 O为公共顶点的相似 三角形组成形如海螺的图案，若 OA=1，∠OAB=90°，则点 G的 坐标为 ． 18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、 D重合），∠CDP=45°，点F在射线DP上，且 : 1: 2AE DF  ，连 接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论： ①sin 2 2 BFE  ；② 2 2 2AE CG EG  ；③△DEF的面积最大值是2； ④若 1 3 AE AD ，则点G是线段CD的中点．其中正确结论的序号 是 ． 第 12题图 第 18题图 第 16题图 第 17题图 α 数学试卷第 4页（共 6 页） 三、解答题：本大题共 8 个小题，共 78 分．请把解答过程写在答题卡相应的位置上． 19．（1）（4 分）计算： 4 3  ； （2）（4分）解方程：  2 1 2x x   . 20．（8分）先化简，再求值： 2 2 1y x x y x y x y         .其中x、y满足 22 1 0x y    . 21．（10分）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻挡之势，深刻改变着我们的世界.某校 社团开展以“智能之光，照见未来”为主题的探究活动，推荐了当前热门的 4类人工 智能软件 A、B、C、D，每个学生可选择其中 1类学习使用.为了解学生对软件的使用 情况，随机抽取部分学生进行调查统计，并根据统计结果绘制成如图所示的两幅不完 整统计图： 请根据图中信息，完成下列问题： （1）这次抽取的学生总人数为 人；扇形统计图中 A类软件所占圆心角为 度； （2）补全条形统计图； （3）社团活动中表现最突出的有 4人，其中有 3人使用 A类软件，有 1人使用 B类软 件，现准备从这 4名学生中随机选择 2人进行学习成果展示，请用画树状图或列 表法求出恰好抽到使用 A、B两类软件各 1人的概率. 22．（10分）如图，AB为 O 的直径，点C为圆上一点，过点C作 O 的切线，交AB延长线 于点D，过点B作BE//DC，交 O 于点E，连接AE、AC. （1）求证： CE CB ； （2）若∠BAE=60°， O 的半径为2，求AC的长. 第 22题图 数学试卷第 5页（共 6 页） 23．（10分）如图，一次函数 y ax b  与反比例函数 ky x  的图象 相交于A（1，4）、B（4，m）两点，与x轴交于点C，点D与 点A关于点O对称，连接AD. （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点 P在 x轴的负半轴上，且△AOC与△POD相似， 求点 P的坐标. 24．（10 分）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对 健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱.现有 A、B两种食品，每份食品的 质量为 50g，其核心营养素如下： （1）若要从这两种食品中摄入 1280Kcal能量和 62g蛋白质，应选用 A、B两种食品各 多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共 300g，从 A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低 于 76g，且能量最低，应选用 A、B两种食品各多少份？ 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 2y x bx c   关于直线 3x   对称，与 x轴 交于 A（-1，0）、B两点，与 y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点 P逆时针旋转 90°，使点 B的 对应点D恰好落在抛物线上，求此时点 P的坐标； （3）在线段OC上是否存在点Q，使 2 2AQ CQ 存在最小值？若存在， 请直接写出点Q的坐标及最小值； 若不存在，请说明理由. 食品类别 能量 （单位：Kcal) 蛋白质 （单位：g） 脂肪 （单位：g） 碳水化合物 （单位：g） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 第 25题图 3x   3x   第 23题图 数学试卷第 6页（共 6 页） 26．（12 分）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图 1，将矩形纸片 ABCD沿过点 C的直线折叠，使点 B落在 AD边上的 点 'B 处，折痕交 AB于点 E，再沿着过点 'B 的直线折叠，使点 D落在 'B C边上的点 'D 处，折痕交 CD于点 F．将纸片展平，画出对应点 'B 、 'D 及折痕 CE、 'B F ，连接 'B E、 'B C、 'D F ． 【初步猜想】（1）确定 CE和 'B F 的位置关系及线段 BE和 CF的数量关系． 创新小组经过探究，发现 CE∥ 'B F ，证明过程如下： 由折叠可知 1 1' ' ' ' '. 2 2 DB F CB F DB C ECB ECB BCB         ， 由矩形的性质， 可知 AD∥BC，∴ ' 'DB C BCB   ．∴① ．∴ // 'CE B F ． 智慧小组先测量 BE和 CF的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证 BE和 CF数量关系的方法不唯一： 方法一：证明 'AB E△ ≌ 'D CF△ ，得到 'B E CF ，再由 'B E BE 可得结论． 方法二：过点 'B 作 AB 的平行线交 CE 于点 G，构造平行四边形 'CFB G ，然后证 ' 'B G B E 可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 BE和 CF的数量关 系，写出证明过程. 【尝试运用】（3）如图 2，在矩形 ABCD中，AB=6，按上述操作折叠并展开后，过点 'B 作 'B G∥AB交 CE于点 G，连接 'D G．当 ' 'B D G△ 为直角三角形时，求出 BE的长． 第 26题图 图 1 图 2 ■ 眉山市2025年初中学业水平暨高中阶段学校招生考试 W在各则口片冷据口域内作然，州男凸的和连框刚觉运情料室无营 数学答题卡 n先花期，两康值可司 姓名 应位号 其中x,满是+24厂10 贴条形码区 日 通样士裤烟触通具制导 国虚蛋州 考生整销 正■建 缺号样 ■ 第】百透择圆【号生额用1桶笔填涂3 90】3 海A1)6t 0C.)E1比) at寸回 11e31a IIIIII11II111III11I111 第Ⅱ在半选择道考性通.凝线的属老至年第料写) 21.410分) 一·填空题，木大题共6个小圈，场计 (1》这资如取的学生总人数为—人：扇形统计图中 A烫致件师占圆心角为度： 13 4. (2) 年人数人 16 17 18 三.解答题：本大别其8个个赠，其%分 19.(1)4升)计算4行-十 (2)14分解方是：2x-12+ 43) 请在务道门自容商风域内作容，组燃色期春因座第定区域的容金工效 裤在各面程告答器域内韩答，星由■且相达色限定区域的答第无登 柱重夏夏 数学组快 销各测目的护H线方作%，的由实色单与边数每光任城的特多无道 22.(10分) 23.410分3 清在爷道耳的轻程区减内作形，超山里色程形由制到定核城的程重无道 期下黄发发 请在养理目有静雅W罐内作控，过保乌无鞋边思室性域的替重士效 24.《0#) 请合各避目的静通据储内什程，量州量必单帮边南是定性域门重毛效 程事结复复 25.10分) 得春路司的养端民域内行养，银传对色的形这制限宴储的料案无着 教年组时月 请在各海目的答程风城身作等，后和男色是厚四垂定以域的格室无 26.120) 清作养着目的物理区城内作装，到国的身脚的影基笔城的终害本销