第五章 分式期末复习 基础卷 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

**基本信息** 以“概念理解-运算求解-实际应用-规律探究”为逻辑主线，系统覆盖分式核心考点，通过典例提炼解题通法，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|选择1,3|分式意义：分母不为零；定义判断：含字母分母|从分式定义到有意义条件，构建概念认知基础| |运算求解|选择4,5,6,7,填空12,解答17,18|分式化简：因式分解约分；求值：代入前验分母|从基本运算到化简求值，形成运算能力链| |实际应用|选择2,9,填空11,解答19,23|分式方程建模：找等量关系；无解问题：验增根|从行程、工程问题到古代数学题，强化模型意识| |规律探究|解答20,21,22|归纳法：观察等式结构；裂项法：拆分分式|从特殊到一般，发展推理能力与创新意识|

2025学年七年级数学下学期期末复习卷 第五章 分式 （基础卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 2．为了估计池塘里有多少条鱼，先从湖里捕捞条鱼做上标记，然后放回池塘去，经过一段时间，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次再捕捞条鱼，发现有2条有标记，那么你估计池塘里有多少条鱼（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 3．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．计算的结果是（    ） A． B． C． D．x 6．不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 7．若将代数式中的a与b都扩大2倍，则这个代数式的值（　　） A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小到原来的 8．如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云缕、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共丈（丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文．问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有尺，则可得方程为（　　） A． B． C． D． 10．小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．某县政府在创建文明城市的进程中，着力美化城市环境，改造绿化涡河北岸，建设绿地公园，计划种植树木30万棵．由于青年志愿者的加入，实际每天植树的数量比原计划多，结果提前5天完成任务．设实际每天植树万棵，可列方程为___________． 12．若，则分式的值为________． 13．已知，，则_____． 14．已知，则的个位数字是_____． 15．对于实数m，n，定义两种新运算：，，则的值为______． 16．若关于的方程无解，则的值为_____． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．计算： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的整数作为的值代入求值． 19．一艘轮船在相距100千米的甲、乙两港航行． (1)若轮船从甲港顺流航行到乙港所用的时间是从乙港到甲港逆流航行的时间的，水流的速度为10千米/小时，求船在静水中的速度．（注：逆水船速静水船速水速，顺水船速静水船速水速） (2)若船在静水中的速度为v千米/小时，水流的速度为a千米/小时（）．该船从甲港顺流航行到乙港，再从乙港逆流返回到甲港所需的时间为；若该船从甲港航行到乙港再返回甲港都处于静水航行，且所用时间为，试比较与的大小，说明理由． 20．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式∶ ； (2)写出你猜想的第 n个等式(用含 n 的等式表示)，并证明． 21．观察下列各式：； ； ； 请你根据上面三个等式反映的规律，回答下列问题： (1)________； (2)请你按利用发现的规律计算：； (3)利用上面规律解方程：． 22．（1）你发现了吗？，．由上述计算，我们发现 （填“>”“<”或“=”）． （2）比较与的大小． （3）我们可以发现： （，填“>”“<”或“=”）． （4）利用以上的发现计算：． 23．某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木首需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为m元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m 120 长方形木板 300 (1)请将表格填写完整（用含m的代数式表示），并求m的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ (3)该工厂发现有一批尺寸为的废旧木板，若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板． ①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完（不计损耗）． ②因工厂生产需要，还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个，所有废旧木板恰好用完，则这批废旧木板共多少块？ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B C A B C B A 1．B 本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 2．C 本题考查了分式方程的应用，样本估计总体，解题关键是列出分式方程求解． 根据标记鱼的比例在样本中的比例等于在总体中的比例建立分式方程求解． 解：设池塘中鱼的总数为条， 可得方程：， 解得：， 因此，池塘中鱼的总数估计为条， 故选：C． 3．B 根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母． 解：∵的分母a含字母，是分式； 的分母m含字母，是分式； 的分母是常数，不是分式； 中π是常数，分母不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； ∴ 分式共有3个． 4．B 本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算的法则，通过通分将整式与分式化为同分母分式，再进行分子的运算与化简． 解： 故选B． 5．C 除法转化为乘法，约分即可求解． 解：， 故选：C． 本题考查了分式的除法，掌握分式除法法则是解题的关键． 6．A 本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 解：， 故选：A． 7．B 本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 解：∵代数式中的a与b都扩大2倍， ∴， ∴这个代数式的值扩大2倍． 故选：B． 8．C 分式方程无解，说明该分式方程存在增根，增根是使分式分母为0的x的值.，先将分式方程化为整式方程，再将增根代入整式方程即可求出m的值． 解：原方程为， ∵方程无解则存在增根， 令，得增根. 将原方程两边同乘去分母，得， 整理得， ∵方程无解， ∴为增根，代入得， ∴． 9．B 本题主要考查了分式方程的应用，根据题意，绫布和罗布总长丈（即尺），设绫布有尺，则罗布有尺，绫布和罗布分别出售均收入文，因此每尺绫布价格为文，每尺罗布价格为文，根据“每尺绫布和罗布共值120文”的条件，即可列方程． 解：设绫布有尺，则罗布有尺， 根据题意可得： 故选：B． 10．A 本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A 11． 本题考查了分式方程在工程类问题中的应用，掌握根据实际与计划的效率关系表示出原计划效率，再通过天数差的等量关系列方程是解题的关键． 根据题意，实际每天植树比原计划多，设实际每天植树万棵，可得原计划每天植树，再根据总树木万棵和提前天完成任务，列出分式方程． 解：设实际每天植树万棵，则原计划每天植树为，原计划天数为，实际天数为， 由提前天可得方程． 故答案为：． 12． 首先得到，然后代入求解即可． 解：∵ ∴ ∴． 13．2 利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于的方程求解． 解：对两边同时平方，根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得． 14．4 先根据算术平方根的非负性，列出关于的方程，解方程求出，再根据分式的分母不能为，确定的值，从而求出，最后再根据乘方的意义，求出答案即可． 解：由题意可知：，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴， ，，，，，…， ∴个位数字分别为2，4，8，6循环， 又∵， ∴的个位数字为4． 15． 根据新运算的定义写出待求式的代数形式，再利用平方差公式因式分解，结合分式的除法法则化简即可． 解：根据新运算定义可得：， 16．3 先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 17．(1) (2) 本题考查分式的乘除运算，掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． （1）先计算分式的乘方，然后将分式的除法转化为分式乘法，最后进行约分化简； （2）先将分式分子、分母进行因式分解，同时将除法转化为乘法，最后进行约分化简； （1）解： ； （2） ． 18．，当时，原式 先根据分式的加法法则进行计算，同时根据分式的除法法则把除法变成乘法，分子分母能因式分解的因式分解并进行约分，最后算减法，然后根据分式有意义的条件求出可取的值，代入计算即可． 解：原式 ， 要使分式有意义，即且， 不能为，，， 取， 当时，原式． 19．(1)千米/小时 (2)，理由见解析 （1）设船在静水的速度为x千米/时，则顺水中的速度为千米/时，逆水中的速度为千米/时，利用时间关系列方程，解方程，再进行检验得到x的值即可； （2）由时间等于路程除以速度可得：，，然后利用求差法比较大小即可． （1）解：设船在静水中的速度为x千米/时，则 根据题意得， 解得，经检验是原方程的解， 答：船在静水的速度为50千米/时． （2）解：，， ， 因为，，， 所以， 即． 20．(1) (2)第n个等式为，见解析 本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，正确得出规律是解此题的关键． （1）观察各等式即可得出第个等式； （2）观察各等式即可得出第个等式，将左边式子括号内先通分，再约分进行化简，右边式子进行通分化简，比较左右两边是否相等即可得解． （1）解：观察各等式可得，第个等式为； 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原等式成立． 21．(1) (2) (3) 本题主要考查了解分式方程和数字的变化类． （1）根据已知条件中的等式，找出规律即可； （2）按照（1）中的规律进行计算即可； （3）按照（1）中的规律计算方程的左边，再按照解分式方程的方法求出x，并进行检验即可． （1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解是． 22．（1）=；（2）；（3）=；（4） 本题考查了负整数指数幂的性质和幂的运算法则，掌握将分数的负指数幂转化为其倒数的正指数幂是解题的关键． （1）分别计算两个幂的值，再比较大小，通过负指数幂的性质，发现二者相等； （2）利用负指数幂的性质，将负指数幂转化为正指数幂，直接得出二者相等的结论； （3）通过前两小问的具体例子，归纳出一般规律：一个分数的负指数幂等于其倒数的正指数幂； （4）先利用负指数幂的性质将转化为，再结合积的乘方逆运算，对进行化简，最后完成计算． 解：（1）∵， ∴，应填“=”． （2）∵，， ∴． （3）根据(1)(2)的发现，我们可以总结出规律： (其中) （4）原式 ． 23．(1)，，； (2)竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； (3)①有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块；②这批废旧木板共70块． 本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用．读懂题意，正确的识图，找准等量关系，列出方程组，是解题的关键． （1）根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个，根据题意列出方程组进行求解即可； （3）①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意，列出二元一次方程，利用都是非负整数，求解即可； ②根据题意，进行求解即可． （1）解：填写表格如下： 采购清单 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 120 长方形木板 300 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：； （2）解：当时，正方形木块的数量块，长方形木块的数量块． 设竖式无盖木箱做个，横式无盖木箱个， 根据题意，得， 解得， 答：竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱4个； （3）解：①设每块废旧木板切割正方形木板块，长方形木板块，根据题意， 得， ， 因为都是非负整数， 所以或． 答：有两种切割方式，第一种切割方式为长方形木板7块，第二种为正方形木板8块和长方形木板2块； ②所需正方形木板块，长方形块． 所以第二种切割方式的木板为块，第一种切割方式的木板为块， 所以废旧木板共块． 答：这批废旧木板共70块． 学科网（北京）股份有限公司 $