二项分布与超几何分布专项训练-2026届高三数学一轮复习

二项分布与超几何分布 一、单项选择题 1．已知随机变量ξ～B(12，p)，且E(2ξ－3)＝5，则D(3ξ)＝(　　) A． B．8 C．12 D．24 2．一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是(　　) A．若事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1 B．集合A内的元素个数不确定 C．用X表示事件B“试验成功”发生的次数，p为事件B发生的概率，则P(X＝4)＝Cp4·(1－p)n－4 D．该n重伯努利试验共做了n次互相独立的试验 3．(2024·临沂期初摸底)一个不透明的袋子中装有3个黑球、n个白球(n∈N*)，这些球除颜色外大小、质地完全相同．从中任意取出3个球，已知取出2个黑球、1个白球的概率为，设X为取出白球的个数，则E(X)＝(　　) A． B． C．1 D．2 4．A，B两组各3人独立的破译某密码，A组每个人译出该密码的概率均为p1，B组每个人译出该密码的概率均为p2，记A，B两组中译出密码的人数分别为X，Y，且＜p1＜p2＜1，则(　　) A．E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y) B．E(X)＜E(Y)，D(X)＞D(Y) C．E(X)＞E(Y)，D(X)＜D(Y) D．E(X)＞E(Y)，D(X)＞D(Y) 5． 根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：μg/m3)在35以下，空气质量为一级；在35～75空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示： PM2.5日均值 (25,35] (35,45] (45,55] 频数 3 1 1 PM2.5日均值 (55,65] (65,75] (75,85] 频数 1 1 3 从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是(　 　) A． B． C． D． 二、多项选择题 6．(2025·亳州期初)已知随机变量X满足X～B(4，p)，0＜p＜1，E(X)＝D(X)，则(　　) A．p＝ B．E(X)＝ C．E(2X＋1)＝ D．D(2X＋1)＝ 7．某计算机程序每运行一次都随机出现一个n位二进制数A＝a1a2a3a4…an，其中ai(i＝1，2，3，…，n)∈{0，1}．若在A的各数位上出现0和1的概率均为，记X＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则当程序运行一次时(　　) A．P(X＝0)＝ B．P(X＝k)＝P(X＝n－k)(0≤k≤n，k∈N*) C．E(X)＝ D．D(X)＝ 三、填空题 8．已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝____． 9．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为____． 10． (2024·开封二模)袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，则E(ξ)＝____． 四、解答题 11．(2025·苏州期初)2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目．8月7日，100米跨栏、200米、400米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行． (1) 志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1 500米服务的概率． (2) 为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务．现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查，将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和数学期望． 12．(2024·苏锡常镇一调)我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立．无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭． (1) 求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望； (2) 求起火点被无人机击中且被扑灭的概率． 13.(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，一次随机取出3个小球． (1) 求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2) 记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 14.(2024·聊城二模)某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下： 分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91． 分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89． (1) 求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2) 规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望． 15.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品． (1) 若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为η，求η的分布列及均值． (2) 若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求： 1. D　【解析】 因为E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×12p－3＝5，所以p＝，故D(3ξ)＝32D(ξ)＝9×12××＝24. 2. B　【解析】 对于A，事件A“试验成功”的概率为p(0<p<1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1，故A正确；对于B，一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，所以集合A内的元素个数为n＋1，故B错误；对于C，由二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中恰好发生4次的概率为P(X＝4)＝C(1－p)n－4p4＝Cp4(1－p)n－4，故C正确；对于D，该n重伯努利试验共做了n次互相独立的试验，故D正确． 3. A　【解析】 由题可知＝，解得n＝3，则X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 4. B　【解析】 由题意可知X服从二项分布B(3，p1)，所以E(X)＝3p1，D(X)＝3p1(1－p1).同理，Y服从二项分布B(3，p2)，所以E(Y)＝3p2，D(Y)＝3p2(1－p2).因为<p1<p2<1，所以3p1<3p2，所以E(X)<E(Y).对于二次函数y＝3p(1－p)，对称轴为p＝，可知函数在上单调递减，所以当<p1<p2<1时，有3p1(1－p1)>3p2(1－p2)，即D(X)>D(Y). 5. B【解析】 依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝＝＝． 6. BCD　【解析】 对于A，因为X～B(4，p)，E(X)＝D(X)，所以4p＝×4p(1－p)，解得p＝，故A错误；对于B，由上知E(X)＝4p＝，故B正确；对于C，E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝，故C正确；对于D，D(2X＋1)＝4D(X)＝4×4p(1－p)＝，故D正确． 7. ABC　【解析】 由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，每位数出现0，1是独立的，所以X～B，所以P(X＝0)＝C＝，故A正确；P(X＝k)＝C＝C＝P(X＝n－k)，故B正确；因为X～B，所以E(X)＝n×＝，D(X)＝n××＝，故C正确，D错误． 8. 　【解析】 因为随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，所以6p＝3，解得p＝，则P(X＝1)＝C＝＝. 9. 0.648　【解析】 设击中目标的次数为X，则X～B(3，0.6)，故P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋C×0.63＝0.648. 10. 　【解析】 依题意，m，n为非负整数，记“取出的两个球都是红球”为事件A，则P(A)＝＝，所以＝，解得m＋n＝5或m＋n＝－12(舍去).ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 11. 【解答】 (1) 设“汤姆选择200米服务”为事件A，“汤姆选择1 500米服务”为事件B，则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. (2) X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 12. 【解答】 (1) 起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝C××＝，P(X＝2)＝C××＝，P(X＝3)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X～B，所以E(X)＝3×＝. (2) 击中一次被扑灭的概率为P1＝C×＝，击中两次被扑灭的概率为P2＝C×××＝，击中三次被扑灭的概率为P3＝＝，所以所求概率为P＝＋＋＝. 13.(1) 【解答】记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有C种方法，然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法，所以P(M)＝＝． (2) 【解答】由题意可知X的所有可能取值为1,2,3，当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球，所以P(X＝1)＝＝；当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球，所以P(X＝2)＝＝；当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球，所以P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 14.(1) 【解答】将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62,66,70,72,73,77, 78,79,80,80,82,85,86,86,87,89,91,91,92,94．因为20×25%＝5，所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为＝75． (2) 【解答】由已知得，分公司A中75分以下的有66分，72分；分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人．所以X的所有可能取值为1,2,3．P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为 X 1 2 3 P 数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝． 15.(1) 【解答】】若每次抽取后都放回，则每次抽到一等品的概率均为，3次抽取可以看成3重伯努利试验，因此η～B，所以P(η＝0)＝C03＝，P(η＝1)＝C12＝，P(η＝2)＝C21＝，P(η＝3)＝C30＝，所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． (2) ①【解答】若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取3件，因此一等品件数X服从超几何分布，所以从10件产品中任取3件，其中恰有m件一等品的概率为P(X＝m)＝，m＝0,1,2,3．所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． ②【解答】设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3．由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，又P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．即取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $