课时作业4 基本不等式-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配一轮复习知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一不等式应用|单选1直接用基本不等式求最值，培养运算能力| |能力提升|条件变形与多变量问题|多选7结合代数式变形，发展推理意识| |综合应用|函数与实际情境综合|解答14充电柱利润模型，体现模型观念|

课时4 基本不等式 一、单选题 1．（2026·黑龙江哈尔滨市模拟）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.2 2．（2026·河南郑州市统考）若1≤x≤4，则的最大值为(　　) A.4 B. C.2 D.2 3．已知a>0，b>0，且＋＝1，则4a＋9b的最小值是(　　) A．23 B．26 C．22 D．25 4. (2026·浙江温州市高三统考)下列不等式证明过程正确的为（     ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 5. 已知a，b∈(0，＋∞)，且a2＋3ab＋4b2＝7，则a＋2b的最大值为 (　 　) A．2 B．3 C．2 D．3 6．已知a2＋b2＝k，若＋≥1恒成立，则k的最大值为(　　) A．4 B．24 C．25 D．36 二、多选题 7．下列代数式中，最小值为2的有(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D.＋ 8、(2026·安徽合肥市联考)若，，，则下列不等式恒成立的有（   ） A． B． C． D． 9．（2026·山东济宁市模拟)已知正数满足，则有（     ） A． B． C． D． 三、填空题： 10．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 11、若正实数满足，则的最小值是 . 12．(2024·江苏镇江市丹阳市期末)已知a>b>0，则a2＋的最小值为________． 四、解答题 13、已知函数f(x)=x+(x>1). (1)求f(x)的最小值； (2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围. 14、当下新能源汽车越来越普及，其可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y(单位：万元)与运营年数x(x是正整数)成二次函数关系，运营三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．求： (1)y关于x的函数解析式； (2)运营的年平均总利润的最大值(注：年平均总利润＝)． 课时4 基本不等式参考答案 1．D【解析】由xy=1得x2+2y2≥2=2，当且仅当x2=2y2，即x2=，y2=时等号成立，x2+2y2取得最小值2.故选D. 2．A【解析】因为1≤x≤4，所以6-x>0，x+2>0，所以≤=4，当且仅当6-x=x+2，即x=2时取等号，所以的最大值为4.故选A. 3．D【解析】由题意，得a>0，b>0，＋＝1，故4a＋9b＝(4a＋9b)＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号，故4a＋9b的最小值是25.故选D. 4. D【解析】因为可能为负数，如时，，所以A错误； 因为可能为负数，如时，，所以B错误； 因为，如时，，所以C错误； 因为，，，所以，当且仅当，即等号成立，所以D正确．故选D． 5. C【解析】7＝(a＋2b)2－ab＝(a＋2b)2－a·2b≥(a＋2b)2－＝，当且仅当a＝2b＝时，“＝”成立，则(a＋2b)2≤8.又a，b∈(0，＋∞)，所以0<a＋2b≤2，所以a＋2b的最大值为2.故选C. 6．B【解析】因为a2＋b2＝k，所以a2＋(b2＋1)＝k＋1，所以(k＋1)＝[a2＋(b2＋1)]＝＋＋13≥2＋13＝25，当且仅当＝，即3a2＝2(b2＋1)＝(k＋1)时等号成立，即＋≥.由题意可得≥1，又k>0，解得0<k≤24，故k的最大值为24.故选B. 7．BC【解析】对于选项A，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 对于选项B，2x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 对于选项C，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 对于选项D，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意．故选BC. 8、ACD【解析】对于选项A，，，，则，当且仅当，即时取等号，A正确； 对于选项B，，，，又，则，当且仅当时取等号，B错误； 对于选项C，，，则，当且仅当时取等号，C正确； 对于选项D，，，，则 ，当且仅当，即时取等号，D正确.故选ACD. 9．BC【解析】对于选项A，因为，所以，当且仅当时取等号，所以不恒成立，故错误； 对于选项B，因为且，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于选项C，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，故正确； 对于选项D，由C可知错误.故选BC. 10．x≤【解析】依题意，(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，所以1＋x＝≤ ＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立． 11、9【解析】，则，等号成立时.所以的最小值是9. 12．4【解析】由a>b>0，得a－b>0，所以 b(a－b)≤()2＝，所以 a2＋≥a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b且a2＝，即a＝，b＝时取等号，所以 a2＋的最小值为4. 13、【解】(1)f(x)=x+=x-1++1，因为x>1，所以x-1>0，所以x-1++1≥2+1=7， 当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立，所以f(x)的最小值为7. (2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，因为a2+6a≤f(x)恒成立，所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1， 所以a的取值范围是[-7，1]. 14、【解】(1)因为运营六年时总利润最大，为110万元，即二次函数图象开口向下，且顶点坐标为(6，110)，所以可设函数为y＝a(x－6)2＋110(a<0).又运营三年时总利润为20万元，即20＝a(3－6)2＋110，解得a＝－10，则y＝－10(x－6)2＋110＝－10x2＋120x－250(x∈N*)． (2)由(1)得年平均总利润为＝－10＋120≤－20＋120＝20，当且仅当x＝，即x＝5时取等号．所以运营的年平均总利润的最大值为20万元． . 学科网（北京）股份有限公司 $