精品解析：福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025—2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记 的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，即可求解. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以该复数的实部与虚部之和为． 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由向量与向量共线，且向量不共线， 得，所以. 4. 用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图， 为正六边形 的中心， 为边的中点， 由斜二测画法规则知，，所以 . 5. 已知点，，C是线段上最靠近的一个四等分点，则 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意， 为线段上靠近的四等分点，故. 已知，，则， 因此， 即点 的坐标为. 6. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合投影向量的计算方法，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 又因为都是单位向量，可得， 所以向量在上的投影向量为. 7. 上底面、下底面面积分别为，，高为 的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水全部倒入倒立的底面半径与高均为的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器中的水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用棱台及圆锥体积公式计算求解. 【详解】上底面、下底面面积分别为，，高为 的棱台容器中装满了水，所以水的体积为 ， 设圆锥容器中的水面高度为 ，又因为圆锥的底面半径与高均为，所以水的截面半径为 ， 所以 ，所以，所以 . 8. 台风中心位于地（视为质点）正西方向 处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（ ）（取） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】使用余弦定理求解. 【详解】如图，假设台风中心到达 点时，. 设，易得. 由余弦定理，得，得 或， 所以地遭受台风影响的持续时间为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由复数的除法运算，模长公式，共轭复数的概念逐项判断即可. 【详解】，A错误. ，B正确. ，C正确. ，D错误. 10. 在边长为2的正方形中，剪去以 为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，B，正方形以所在的直线为轴旋转一周，形成一个底面半径为2，高为2的圆柱；由正方形得，则扇形（圆心角为 的扇形）绕所在的直线为轴旋转一周，形成一个半球（球的半径为1），因此该几何体的形状为圆柱中挖去个球，如图所示， 故A正确，B错误； 对于C，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则 ， ， ， ，得 ，故C错误； 对于D，圆柱的底面半径，高，半球的半径，则 ， ，得 ，故D正确. 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的最大值为4 D. 若的外心为 ，则的最大值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，再由和差角公式及二倍角公式求出 ，即可判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；由外心的性质及数量积的定义得到，再由基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为，由正弦定理得， 又 ， 所以. 因为，所以， 所以，又， 即. 又，所以，所以，所以， 由，得，所以，故A错误； 对于B：设外接圆的半径为 ， 由，解得，故B正确. 对于C：由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故C正确； 对于D：因为的外心为 ， 所以. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以， 所以的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面. 【答案】 ①. 20 ②. 30 ③. 12 【解析】 【详解】十棱柱的上下底面都是边形，所以每个底面有个顶点，因此总顶点数为， 上下底面各有条边，再加条侧棱，因此总棱数为 ， 包含2个底面和个侧面，因此总面数为 13. 已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 【答案】四 【解析】 【分析】先求出对应的点的坐标，再分的不同取值范围分析横、纵坐标的符号，判断点可能所在象限. 【详解】设（ ， ），则，则， 在复平面内对应的点为. 当时，位于第三象限， 当时，位于第二象限， 当 时，位于第一象限， 当时，位于坐标轴上. 综上，不可能位于第四象限. 14. 函数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由，解得 ， 的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， ，， 所以与夹角的余弦值为． 【小问2详解】 ， ， 因为， 所以， 得． 16. 已知的内角的对边分别为，且的面积为． （1）求； （2）若为钝角，且的周长为，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及面积公式化简即可求解； （2）利用余弦定理化简可得，结合周长关系求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得． 由的面积，得． 因为，所以或． 【小问2详解】 因为为钝角，由（1）知． 由余弦定理， 得 又，所以． 17. （1）若是关于 的方程的一个根，求 ； （2）若对任意，关于 的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到方程的另一个根为，结合韦达定理，即可求解； （2）设该方程的纯虚数根为，且，代入方程，列出方程组，即可求解. 【详解】解：（1）由题意知，是关于 的方程的一个根，可得方程的另一个根为， 由韦达定理得，解得. （2）设该方程的纯虚数根为，且， 可得，整理得， 所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得， 经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为. 18. 如图，在梯形中， ， 分别是边 上不与端点重合的点，且. （1）用表示； （2）若与交于点 ，求； （3）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合向量的运算法则，即可求解； （2）设，求得，结合三点共线，得出方程，求得的值，即可求解； （3）设，求得，结合向量运算法则，即可求解. 【小问1详解】 在梯形中，因为且， 可得， 根据向量的运算法则，可得. 【小问2详解】 由，可得， 设，则， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 【小问3详解】 设，则， 可得，由可得； 则 ， 当时，取得最小值，且最小值为. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求. （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段 上（不与重合）的一个动点，求的最小值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正切公式可得； （2）（i）先根据正弦定理，分别将表示出来，再直接计算即可. （ii）根据余弦定理结合（i），求出，作（点在 的下方），，垂足为，过点作，垂足为，根据三角形性质易知其最小值为 ，计算 即可. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得 则.由，得， 所以，则. 因为，所以. 【小问2详解】 （i）在中，由正弦定理得，； 在 中，由正弦定理得， 因为，所以. 故. （ii）由余弦定理，得 结合，得. 如图，作（点在 的下方），，垂足为，过点作，垂足为. ， 则. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 记 的内角的对边分别为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则（ ） A. B. 6 C. D. 4. 用斜二测画法画出的水平放置的正六边形的直观图如图所示，是的中点，且，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 5. 已知点，，C是线段上最靠近 的一个四等分点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 上底面、下底面面积分别为，，高为 的棱台容器中装满了水，如图，将棱台容器中的水全部倒入倒立的底面半径与高均为的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容器中的水面高度为（ ） A. B. C. D. 8. 台风中心 位于地（视为质点）正西方向 处，正向北偏东方向移动，速度的大小为，距离台风中心范围内将会受其影响.如果台风风速不变，那么地遭受台风影响的持续时间为（ ）（取） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 10. 在边长为2的正方形中，剪去以为圆心，1为半径的扇形后得到的图形如图所示，以所在的直线为轴，其余边和弧旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ） A. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球 B. 该几何体的形状为圆柱中挖去个球 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 11. 已知的内角的对边分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 外接圆的半径为 C. 的最大值为4 D. 若的外心为 ，则的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 十棱柱有_________个顶点，_________条棱，_________个面. 13. 已知复数，在复平面内对应的点关于虚轴对称，且在复平面内对应的点位于第一象限，则在复平面内对应的点不可能位于第_________象限. 14. 函数的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求与夹角的余弦值； （2）若，求 ． 16. 已知的内角的对边分别为，且的面积为． （1）求； （2）若为钝角，且的周长为，求． 17. （1）若是关于 的方程的一个根，求 ； （2）若对任意，关于 的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 18. 如图，在梯形中， ， 分别是边 上不与端点重合的点，且. （1）用表示； （2）若与交于点 ，求； （3）若，求的最小值. 19. 已知的内角的对边分别为，且. （1）求 . （2）已知为边上的一点，且. （i）求； （ii）若是线段 上（不与 重合）的一个动点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $