福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2025一2026学年下学期期中考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章8.3。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA= 7,a=3,b=2,则sinB= A音 B号 1 C.14 D.7 2.复数(3+i)(1一2i)的实部与虚部之和为 A.2 B.1 C.0 D.3 3.已知e1,e2是两个不共线的单位向量，a=e1十2e2,b=一3e1十ke2,若a与b共线，则k= A.-6 B.6 c D-8 4.用斜二测画法画出的水平放置的正六边形ABCDEF的直观图如图 所示，M'是E'F'的中点，且OM'=√3，则AB= F M E D A.2 B.23 C.4 D.45 5.已知点A(-1,2),B(3,10),C是线段AB上最靠近B的一个四等分点，则C的坐标为 A.(0,4) B.(2,8) C.(2,6) D.(1,6) 6.已知单位向量a,b满足|3a一2b|=√11，则a在b上的投影向量为 A.-ih B-名b C.zb D.b 7.上底面、下底面面积分别为1dm,9dm2,高为3dm的棱台容器中装 满了水，如图，将棱台容器中的水全部倒入倒立的底面半径与高均为 4dm的空圆锥容器中，不考虑水的损耗和容器壁的厚度，则该圆锥容 器中的水面高度为 【高一数学第1页（共4页）】 31 A .dm 339dm BV园 878 C. dm dm D.N不 8.台风中心B位于A地（视为质点）正西方向300km处，正向北偏东42°方向移动，速度的大小 为40km/h,距离台风中心100W6km范围内将会受其影响.如果台风风速不变，A地遭受台 风影响的持续时间为（取c0s48°-） A.4.5h B.5.5h C.5h D.6h 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 5(1+2i 日已知复数之=3-7 ,则 A.|z|=5 B.x=1+2i C.之=-1-2i D.之十4i5= 10.在边长为2的正方形ABCD中，剪去以C为圆心，1为半径的扇形CEF后D F 得到的图形如图所示，以BE所在的直线为轴，其余边和弧EF旋转一周形 成的面围成一个几何体，则 A该几何体的形状为圆柱中挖去2个球 B该儿何体的形状为圆柱中挖去子个球 C.该几何体的表面积为18π 22 D.该几何体的体积为3元 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2,a十b=2ccos2,则下列结论 正确的是 A.C= 6 B△ABC外接圆的半径为2,3 3 C.ab的最大值为4 D.若△ABC的外心为O,则CA·Cδ+CB·C0的最大值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.十棱柱有▲个顶点，▲条棱， ▲个面 13.已知复数之1，之2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且1在复平面内对应的点位于第一象 限，则t这1十之2(t∈R)在复平面内对应的点不可能位于第▲象限. 14.函数f(x)=√/5-x十√2x的最大值为▲ 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(-1,2),b=(3,1). (1)求a与b夹角的余弦值； (2)若(a十kb)⊥(2a-b),求k. 16.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且snC=3sinB,△ABC的面积为33， (1)求A; (2)若A为钝角，且△ABC的周长为2√13十8，求b. 17.(15分) (1)若5-√5i是关于x的方程x2-a.x十b=0,a,b∈R的一个根，求a,b; (2)若对任意t∈R,关于x的方程x2十(t一i)x十2十ti=0都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在梯形ABCD中，AB/CD,AB=2,AD=CD=1,E,F分别是边AD,AB上不与端 点重合的点，且 IAEI BF ADIBAI (1)用AB,AD表示AC; (2)若=1 A3AC与EF交于点P,求A的 IACI (3)若∠BAD=号，求E的最小值. 19.(17分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bsim(A+)=3c. (1)求B. (②已知D为AC边上的-点，且∠ABD=普品-3+D 3 (i)求： (iⅱ)若b=√I3,E是线段BD上（不与B重合）的一动点，求BE十2AE的最小值. 【高一数学第4页（共4页）】 2025一2026学年下学期期中考 数学参考答案 1.B由正弦定理A一B得s血B=6A-号 b a 2.C因为(3+i)(1-2i)=3+i-6i-2=5-5i,所以该复数的实部与虚部之和为5十(-5)=0. 3.A因为a与b共线，所以b=a,所以-3e,十e:=A(e+2:,所以-3=A, k=2λ， 解得k= -6. 4.C在正六边形ABCDEF中，OM=2OM=2V5,所以AB=OM=4. sin3 5.B设0为坐标原点.由题意得A店=(4,8)，则AC-3A=(3,6),所以0心-Oi+AC- (2,8),即C的坐标为(2,8). 6.D由3a-2b=T,得9a-12a·b十4b2=1,得a·b=6,所以a在b上的投影向量 为.6= 6 7.B水的体积为3×3×(1+9+1X9)=13dm3.因为圆锥的底面半径与高相等，所以水形 339 成的圆锥的底面半径与高也相等，设水面的高度为hdm,则3h2·h=13,得h=√尺 8.C如图，假设台风中心B到达C点时，AC=100√6km.设BC=xkm,易 得∠ABC=90°-42°=48°.由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BC· cos∠ABC,得x2一400x+30000=0,得x=100或300，所以A地遭受台 C. 风影响的持续时间为00.10-5k C 9.ACg=50+2-50+2DC3+0==5+10i--1+2i,B错误.1= 3-4i(3-4i)(3+4i)= 5 √5，A正确. x=-1一2i,C正确.之+45=一1+2i十4i=-1+6i≠x,D错误. 10.AD如图，该几何体为圆柱中挖去2个球，表面积为8π十2×元×2一元× xX13=2 1+号×4xX1r=17x,体积为xX2×2-号× π 1.BCD由题意得a十6=2cosA,B,由正弦定理得sinA十snB 【高一数学·参考答案第1页（共4页）】 2sin Ccos A-B 21 sin A+sin B=2sin AB cosA B=2sin CcosAB 2 cos 2 2 因为A-B≠士所以m小。B≠0，所以血AB-”2-号2血写m号 CC 2 易得cosS≠0，则sim92由9∈(0,2)，得S-吾，所以C=子A错误 C 设△ABC外接圆的半径为R,由R=后C-得R- 3,B正确。 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcos C,得4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,当且仅当a=b=2 时，等号成立，所以ab的最大值为4，C正确. c.d+i.d=号+号-20+b,因为4+b=w+6<4+心， 2,当 且仅当a=b=2时，等号成立，所以a2+b2≤8，所以CA.Cò+CB.Cd的最大值为4，D 正确. 12.20;30;12十棱柱有20个顶点，30条棱，12个面. 13.四设x1=a+bi(a>0,b>0),则之2=一a+bi,则tz1十之2=a(t一1)+b(t十1)i,tz1十之2 (t∈R)在复平面内对应的点为(a(t一1)，b(t+1).当t<一1时，(a(t一1)，b(t+1)位于 第三象限.当-1<t<1时，(a(t一1)，b(t+1)位于第二象限.当t>1时，(a(t-1),b(t+ 1))位于第一象限.当t=士1时，(a(t-1),b(t+1)位于坐标轴上.综上，(a(t一1)，b(t+ 1))不可能位于第四象限. 5-x>0, 14.√/15 由x0, 得0<x<5.设向量a=(1,W2),b=(5-x,√x),则f(x)=√5-x +√/2x=a·b. 因为a·b=a川bcos(a,b≤a川b=3X5=√5，当且仅当a与b同向，即y5二乙= 即x=号时，等号成立，所以f)的最大值为V压。 2 15.解：(1)由题意得a·b=-1X3十2×1=一1，…2分 |a|=√(-1)+22=√5，|b|=32十1=√10，…4分 所以a与办夹角的余孩值为8治-一品 6分 (2)a+kb=(-1,2)十k(3,1)=(3k-1,k+2),…7分 2a-b=2(-1,2)-(3,1)=(-5,3),…9分 因为(a+kb)⊥(2a-b),所以(a+kb)·(2a-b)=-5(3k-1)+3(k+2)=0,…11分 11 得k= 12 …13分 【高一数学·参考答案第2页（共4页）】 16.解：(1)由正弦定理得C=3b.…2分 由△AC的面积S-在snA-3,得mA=3y6- 2c 2 …5分 因为A∈(0，，所以A=晋或 31 .…7分 (2)因为A为钝角，所以A= 3 8分 1 由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA=b2+9b2+2b·3b·2=1362,得a=3b.…12分 又a十b十c=√/13b十4b=213十8，所以b=2.…15分 17.解：(1)由题意易得方程的另一个根为5十√5i,…2分 5-√5i+5+√5i=a, 由韦达定理得 5分 (5-√5i)(5+√5i)=b, a=10, 得 …7分 b=30. (2)设该纯虚数根为mi,m∈R,且m≠0，…8分 则m2+(t-i)mi+2+ti=0,得-m2+m+2+t(m+1)i=0, 9分 1-m2+m+2=0, 所以 11分 t(m+1)=0, t∈R, t=0, 得m=-m=2 或 …13分 故该纯虚数根为一1， 15分 18.解：(1)AC-AD+DC=2A+AD. …3分 @u--海防-- …5分 设交-=，则市=之A+a市-子A+3应. AC …7分 因为E,P,F三点共线，所以子A十3x=1,得入= …9分 放A产 4 1AC15 …10分 (3)设14正 BF =(0<t<1),则A它=AD,A户=(1-t)AB,…12分 ADI BAI 得E京=A户-A它=(1-t)A官-1AD.… …13分 EF=V(1-)AB-ADF=V(1-)AB:-2(1-)AB.AD+AD 【高一数学·参考答案第3页（共4页）】 =V40-t)-21-0+f-=√m-10+4=√7(-）}'+3 …15分 当：=时，取得最小值，且最小值为一 ……0。]7分 19.解：)由正弦定理得2 sin Bsin(A十)=5sinC,…1分 得sin Asin B+√3 cos Asin B=√3sin(A+B)=√3 sin Acos B+√3 cos Asin B,…2分 则sin Asin B=√3 sin Acos B.由A∈(0，π)，得sinA≠0，所以sinB=√3cosB,故tanB= W5.…3分 因为B∈(0，x),所以B= 3· …4分 2)(I)在△ABD中，由E孩定理得ADBsin2D=巨AD.① AD …6分 在△BCD中，由正弦定理得：。 CDCD sin∠BDC sin∠CBD .②…8分 sin 12 因为∠ADB+∠BDC=π，所以sin∠ADB=sin∠BDC.…9分 a A0亚传)×- CD 3 …10分 (i)由余弦定理b2=a2+c2-2 accos B,得a2+c2-ac=13.…11分 结合-得a=3c=4. …12分 如图，作∠FBC=(点F在边BC的下方)，EF⊥BF,垂足为F,过点 A作AG⊥BF,垂足为G,…13分 EF=BEn∠FBD=BE对n(∠FBC+∠CBD)=BEsn音=号BE,14分 则BE+2AE=2EF+2AE=2AE+EF)≥2AG=2m(年+）=8×6+Y2=26+22. 故BE十2AE的最小值为2W6十2√2.… …17分 【高一数学·参考答案第4页（共4页）】