精品解析：福建省漳州市十校联盟2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题

2024～2025学年第二学期漳州市十校联盟高一年期中质量检测 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 2025．04 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的向量，则（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，为水平放置的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 3. 在中，点D在靠近A的三等分点上，连接，E为的中点，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 1 4. 已知三个顶点坐标分别为：，，，则面积为（ ）． A. 42 B. 21 C. 14 D. 10.5 5. 正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（ ）． A. 14 B. 12 C. 或12 D. 或14 6. 若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 7. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）． A. B. 3 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ）． A. 空间内三点确定一个平面 B. 用一个平行于棱锥底面平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台 C. 以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 D. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 10. 已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）． A. ， B. 在上投影向量的模为 C. 若，，则 D. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的有（ ）． A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）． 13. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 14. 在梯形中，，，，，三角形的面积为，则__________；若，与相交于点P，点N在同一平面内，且满足，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数，，．已知为纯虚数． （1）求m和； （2）复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 16. 已知向量与向量共线，B为的内角． （1）求B； （2）若为钝角，且，求周长的最大值． 17. 如图，设，是平面内相交成角两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）已知，，，且，求t的值． （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； （2）若此时猎豹到点C处比到点B处距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式（n维形式）为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立． （1）利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件； （2）证明：三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立． （3）若，，P是内一点，过P作，，的垂线，垂足分别为D，E，F，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期漳州市十校联盟高一年期中质量检测 数学试题 时间：120分钟 总分：150分 2025．04 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z对应的向量，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的几何意义与共轭复数的概念即可求解. 【详解】由题意，则. 故选：B. 2. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（ ）． A. 4 B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，还原直观图得原图后，可得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为. 故选：A. 3. 在中，点D在靠近A的三等分点上，连接，E为的中点，，则的值为（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量，即可求解. 【详解】由条件可知，， 所以，，所以. 故选：C 4. 已知三个顶点坐标分别为：，，，则的面积为（ ）． A. 42 B. 21 C. 14 D. 10.5 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：由题意可得出轴，求出和到线段的距离，即可求出的面积； 解法二：利用向量夹角的坐标求法，利用三角形面积公式计算可得结果. 【详解】解法一：因为，的纵坐标相同，所以轴， 又因为，所以到线段的距离为， 所以的面积为：. 故选：B. 解法二：易知,所以; 此时，即可得; 可得的面积为. 故选：B 5. 正四棱台上、下底面边长分别为和，所有顶点都在半径为的球面上，则该四棱台的体积是（ ）． A. 14 B. 12 C. 或12 D. 或14 【答案】D 【解析】 【分析】分球心在棱台上、下底面之间，和球心在下底面下方两种情况，利用球心到上、下底面中心的距离，上、下底面外接圆半径，和球的半径之间的关系，求出棱台的高即可得解. 【详解】记正四棱台的上、下底面对角线的交点分别为，球心为， 由正四棱台的性质可知，三点共线， 易知，， 当球心在棱台上、下底面之间时，如图所示， 则棱台的高， 所以该棱台的体积. 当球心在下底面下方时，如图所示， 则棱台的高， 所以该棱台的体积. 综上，该棱台的体积为或. 故选：D 6. 若，且与的夹角为，则当的模取最小值时，在的投影向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题意求出，再由模长公式结合二次函数性质求出和相应x的取值，由数量积运算律和投影向量定义计算得解. 【详解】由题可得， 所以， 所以，此时，， 所以此时在的投影向量为. 故选：A 7. 某果林所处的山地可近似看做一个正三棱锥，其中S为山顶，A，B，C为山脚，经测量，．为了方便果子成熟时的采摘与运输，准备从山脚A处出发，绕山地修建一条宽的山路，并最终从另一侧返回A处，预计该山路的面积的最小值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过将正三棱锥的侧面展开，利用几何关系求出山路的最短长度，再结合山路宽度求出山路面积的最小值. 【详解】正三棱锥的侧面展开图如图所示， 连接，分别与交于点，则线段为修建道路的长度的最小值． 因为，所以，，， 则，， 故，正弦定理知道，且， 解得．在中，解得， 所以预计该山路的面积的最小值为． 故选：A. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设结合余弦定理可得，由的平分线交边于D，可得，进而得到，，再根据余弦定理及三角恒等变换公式可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由余弦定理得，则， 由，则， 因为的平分线交边于D， 所以，则， 所以，则，， 所以 ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的有（ ）． A. 空间内三点确定一个平面 B. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间那部分多面体是棱台 C. 以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台 D. 分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本事实1判断A的正误，根据基本事实3判断D的正误，根据棱台的定义判断B的正误，根据圆台的定义可判断C的正误. 【详解】对于A，空间内不共线的三点确定一个唯一的平面，故A错误； 对于B，一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截去上面的小棱锥后余下的几何体为棱台，即棱台是棱锥底面与截面之间那部分多面体， 故B正确； 对于C，以直角梯形中垂直于上下底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体才是圆台， 故C错误； 对于D，由平面基本事实3可知：如果分别两个相交平面内的直线相交， 则交点必定在两个平行的交线上，故D正确. 故选：BD. 10. 已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（ ）． A. ， B. 在上投影向量模为 C. 若，，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正弦值与余弦值的关系，结合题意，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算公式，可得其正误，对于CD，数量积的坐标运算，求得夹角，可得其正误. 【详解】对于A，当时，，则，故A正确； 对于B，在上投影向量的模为，，故B错误； 对于C，由，，则，所以，故C正确； 对于D，由，，， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则下列结论正确的有（ ）． A. B C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由余弦定理得，再由正弦定理即可得；对于B，由大边对大角即可判断；对于C，由正弦定理可得，根据锐角三角形求出的范围即可；对于D，由题意得，结合对勾函数性质即可判断. 【详解】对于A，因为，所以， 又因为，所以， 所以， 所以， 因为，所以， 而，所以， 所以或（舍去，因为这与三角形内角和是矛盾）， 所以，故A错误； 对于B，因为，由大边对大角可知，，故B正确； 对于C，， 因为锐角中有，，解得， 所以的取值范围是， 的取值范围是，故C正确； 对于D，， 因为，， 所以， 所以的取值范围是，令， 由对勾函数性质可知，在上单调递减， 所以在上单调递减， 故的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分；14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知的内角所对的边分别为，，，则使得有两组解的a的值为__________．（写出满足条件的一个整数值即可）． 【答案】（答案不唯一，或者均可） 【解析】 【分析】根据三角形有两解得不等式，从而可求符合条件的. 【详解】要使有两组解，则即， 故正整数为或者. 故答案为： （答案不唯一，或者均可） 13. 法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的实部为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由棣莫弗公式结合实部的概念即可求解. 【详解】由题意， 故所求为. 故答案为：. 14. 在梯形中，，，，，三角形的面积为，则__________；若，与相交于点P，点N在同一平面内，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 ①. ； ②. . 【解析】 【分析】第一空，由题及余弦定理，勾股定理逆定理可得，然后结合三角形的面积为，可得AB；第2空，如图建立平面直角坐标系，由， 可设，后由第1空分析及题意可得，据此可得答案. 【详解】第1空，因，，则，在三角形中， 由余弦定理，， 又，则，结合，得. 则三角形的面积为； 第2空，如图以A为原点，AB，CA为坐标轴建立平面直角坐标系，由第1空分析可得： . 因，则，又，则N在以B为圆心，半径为的圆上， 设，则， 则可设，其中. 又注意到，，则， 从而P为中点，则， 则，， 则 ，其中，则当时， 最小，为. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 复数，，．已知为纯虚数． （1）求m和； （2）复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案； （2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由，且为纯虚数，则，解得， 所以，故. 【小问2详解】 由，则， 整理可得，可得，解得. 16. 已知向量与向量共线，B为的内角． （1）求B； （2）若为钝角，且，求周长的最大值． 【答案】（1）或或 （2） 【解析】 【分析】（1）由得出，得到或.再结合角范围，确定的值. （2）因为是钝角，确定.用余弦定理得到.利用均值不等式，得出.已知的值，解不等式得到范围，进而得到周长最大值. 【小问1详解】 已知，根据向量平行性质得到. 移项可得，提取公因式得. 那么或者即. 因为，当时，；当时，或. 则或或. 【小问2详解】 因为为钝角，所以. 由余弦定理，把代入可得. 根据均值不等式，所以. 已知，则，解得. 所以，当且仅当时取等号，此时周长取得最大值. 17. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． （1）已知，，，且，求t的值． （2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，，结合数量积的运算律即可列方程求解的值； （2）原题条件等价于对任意的，恒成立，对分类讨论即可得解. 【小问1详解】 由题意，，因为， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为，两边平方得， 即， 当时，对任意的，恒成立，故满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 当时，对任意的恒成立， 此时当且仅当，解得，所以满足题意； 综上所述，所求为. 18. 人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草从A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为，拍摄羚羊的俯角为，假设A，B，C三点在同一水平面上． （1）求此时猎豹与羚羊之间的距离的长度； （2）若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以的极限速度出击，与此同时机警的羚羊以的速度沿北偏东方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因． 【答案】（1）答案见解析 （2）不能捕猎成功，原因见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，作图，结合图中的几何元素，利用三角函数以及正弦定理，结合分类讨论思想，可得答案； （2）由题意作图，设出时间，利用余弦定理，整理方程，利用零点存在性定理，可得答案. 【小问1详解】 由题意作图如下： 则，， ，． 由正弦定理，可得． 因此或120°， 当时，，猎豹与羚羊之间的距离为， 当，，猎豹与羚羊之间的距离为. 【小问2详解】 由题意作图如下： 设捕猎成功所需的最短时间为t， 在中，，，，． 由余弦定理得：． 整理得：． 设，显然， 因猎豹能坚持奔跑最长时间为，且． ∴猎豹不能捕猎成功． 19. 柯西是一位伟大的法国数学家，许多数学定理和结论都以他的名字命名，柯西不等式就是其中之一，它在数学的众多分支中有精彩应用，柯西不等式的一般形式（n维形式）为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立． （1）利用二维柯西不等式：，求的最大值，并写出等号取到的条件； （2）证明：三维分式型柯西不等式：，，，，当且仅当时等号成立． （3）若，，P是内一点，过P作，，的垂线，垂足分别为D，E，F，求的最小值． 【答案】（1）的最大值,当且仅当取得. （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用柯西不等式得出的范围，开平方得范围，再由等号成立条件求出，进而得最大值. （2）利用柯西不等式推广形式，通过设值代入，经变形得出与的关系及等号成立条件. （3）先将变形，结合三角形面积关系，用三维分式型柯西不等式得出范围，再用余弦定理变形bc，换元后根据范围确定新变量范围，最后根据二次函数性质求最小值. 【小问1详解】 已知柯西不等式， 令，，，，则有. 计算不等式右边的值：， 即. 因为， 对两边同时开平方可得. 当且仅当，即时，等号成立. 对两边同时平方可得， 展开得，解得. 因此的最大值，当且仅当取得. 【小问2详解】 已知，根据柯西不等式的推广形式： 对于，当且仅当时等号成立. 令，，，，，. 则 . 因为，两边同时除以， 可得， 当且仅当，即时等号成立. 【小问3详解】 ， 又，，，且，可得. 根据三维分式型柯西不等式， 因为，所以. 又因为，所以， 即，当且仅当， 即时等号成立. 由余弦定理，可得，变形为，即. 将代入中，得到. 令，则. 由， 解不等式，得 又因，所以，当且仅当时等号成立. 那么，则. 令，可将其看作关于的二次函数，二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为，所以在上递减. 当即时，有最大值 因为，取最大值时取最小值，所以，此时与可以同时取到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$