第四章 因式分解 期末复习提升卷 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

**基本信息** 以因式分解为核心，构建“概念辨析-方法应用-综合拓展”三阶训练体系，融合代数推理与几何直观，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空15|定义判断、公因式提取规则|从因式分解定义出发，建立“整式乘法逆运算”认知| |方法应用|选择4-10、填空11-14、解答17-19|公式法（平方差/完全平方）、分组分解、整体代入|通过提公因式→公式法→综合分解，形成递进式方法链| |综合拓展|填空16、解答20-23|配方法、换元法、数形结合（如第23题几何面积）|联结代数变形与几何模型，体现“以形助数”思想，发展推理能力|

2025学年七年级数学下学期期末复习卷 第4章 因式分解单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．若能分解成两个一次因式的积，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 5．对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 6．下列各多项式中：①，②，③，④，能直接运用公式法分解因式的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 8．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 9．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则的值是（   ） A．3 B． C．2025 D．-2025 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．已知整式可以因式分解为，则的值为________． 12．如果，那么____________． 13．已知代数式的值是，则代数式的值是_______． 14．已知满足，，，则的值为______． 15．对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是____．（填序号） 16．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是________． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．用简便方法计算： (1)； (2)． 18．因式分解： (1)； (2)． 19．材料：多项式：因式分解后的结果是，当取时，各个因式的值是，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码． 任务一： （1）分解因式： 任务二： （2）当取时，请确定产生的六位数密码？ 20．（1）已知，，求的值； 变式题本质相同：逆向思维 若实数，满足，，则的值为_______． （2）已知方程组，求代数式的值． 21．现场学习： 若x满足，求的值． 解：设，，则，，∴． 实践操作：请仿照上面的方法求解下列问题： (1)若x满足，求的值； (2)若，求的值； (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是，上的点，且，，长方形的面积是12，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． (4) 22．阅读下列材料，并解答相应问题： 对于二次三项式这样的完全平方式，可以用公式法将它分解成的形式，但是，对于一般的二次三项式，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其配成完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是有： (1)像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是___________； A．提公因式法  B．十字相乘法  C．配方法  D．公式法 (2)这种方法的关键是___________； (3)用上述方法把分解因式． 23．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”可以把代数公式与几何图形相互转化．请结合乘法公式和几何图形，解答下列问题： 如图，将长方形分割为四块长方形，设长方形，，，，面积分别为，，，，，，，，． 【理解】（1）______，______；（用含，，，的代数式表示）则______（填“”，“”或“”） 【应用】（2）若，，，，求的长度； 【迁移】（3）若，，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A A D C C A 1．C 本题根据因式分解的定义判断即可，因式分解的定义为：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解． 解：A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解； C选项：左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解； D选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解． 2．C 首先设原式，进而求出即可． 解：原式 故，，， 解得：，，或，，， ∴． 故选C． 此题主要考查了分组分解法分解因式，正确得出等式是解题关键． 3．D 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 解：， 故选：D． 本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 4．C 根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 5．A 将多项式进行因式分解，再根据整除的性质即可得出答案． 解： ， ∵为整数， ∴也为整数， ∴能被整除， ∴多项式都能被整除． 6．A 根据平方差公式和完全平方公式的结构特征，逐个判断多项式是否符合即可得到结果． 解：①，不是完全平方项，不符合平方差公式结构，不能直接用公式法分解； ②，不符合两个公式的结构，不能直接用公式法分解； ③，不符合两个公式的结构，只能提取公因式，不能直接用公式法分解； ④，符合完全平方公式结构，能直接用公式法分解为； ∴能直接运用公式法分解因式的多项式共1个． 7．D 本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 8．C 本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9．C 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题的关键．先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 解：原式 ． 故选：C． 10．A 本题考查了完全平方公式分解因式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式将式子进行变形，得到，再代入数据计算即可得出答案． 解： ， ∵，，， ∴，，， ∴原式． 故选：A． 11．4 本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 12．63 本题考查因式分解、代数式求值，通过提取公因式，将原式化为，然后利用已知条件整体代入计算即可． 解：， ∵， ∴ ∴原式， 故答案为：63． 13．14 本题考查代数式求值，添括号，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 解：当时， 原式， 故答案为：． 14． 本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 15．① 本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式改写成几个整式乘积的形式叫做因式分解，据此求解即可． 解：①是因式分解，符合题意； ②是整式乘法，不是因式分解，不符合题意； 故答案为：①． 16．16 本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 17．(1) (2) 本题考查利用提公因式进行因式分解，有理数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可； （2）先利用提公因式进行因式分解，再进行有理数的混合运算即可． （1）解： ； （2） ． 18．(1) (2) （1）提取公因式即可分解因式； （2）先把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． （1）解： ； （2）解： ． 19．（1）；（2） 本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）代入到（1）中的各个因式，即可得出答案． 解：（1） ； （2）当取时， ， ， ， 所以这六位数密码为101525． 20．（1）；变式题：；（2） 本题考查因式分解，以及代数式求值，解题的关键在于熟练掌握提公因式法分解因式． （1）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题； 变式题：根据将代入求解，即可解题； （2）利用提公因式先将变形为，再将，代入求解，即可解题． 解：（1）． 把，代入上式， 原式． 变式题：，， ，即， 故答案为：． （2）原式． 把，代入上式， 原式． 21．(1)12 (2)262 (3)32 （1）先根据题中提供的方法，类比计算即可； （2）设，，求出，，然后结合求出，即可求解； （3）先确定长方形的长，宽，因此有，设，，则有，，结合求出，即可求解． （1）解：设，，则，， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：由题意得，长方形的长，宽，则， 设，，则有，， ∵， ∴ ∴，或（舍去）． 所以阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为32． 22．(1)D (2)利用完全平方公式及平方差公式变形 (3) （1）根据题意可得，其方法用了完全平方公式和平方差公式，故其使用的是公式法； （2）根据题意可得其方法用了完全平方公式和平方差公式，即可进行解答； （3）将改写为，再利用完全平方公式和平方差公式，即可进行解答． （1）解：像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法用了完全平方公式和平方差公式，故其使用的是公式法； 故选：D． （2）解：这种方法的关键是利用完全平方公式及平方差公式变形； 故答案为：利用完全平方公式及平方差公式变形； （3）解：原式， 本题考查用配方法进行因式分解的能力，完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式，熟记完全平方公式，牢记完全平方公式结构特征，并能灵活变形应用是解题的关键． 23．（1）；；；（2）；（3） 本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式分别表示出，，，即可得到答案； （2）根据（1）所求求出，进而可求出S的值，再由长方形面积计算公式可得答案； （3）根据题意可得，则；再证明，据此代值计算即可． 解：（1）由题意得，， ∴，， ∴； （2）∵，，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴； ∵ ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $