第四章 因式分解 期末复习卷 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

**基本信息** 以“定义辨析-方法应用-综合拓展”为主线，系统整合提公因式法、公式法及添项法、换元法等进阶技巧，通过几何直观与代数推理培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1/7/13、填空13|因式分解定义辨析|从整式乘法逆向生成因式分解概念，明确“整式乘积”本质| |基本方法|选择2/6、填空11/12、解答17|提公因式法、平方差/完全平方公式法|公因式确定→公式应用，形成“先提后套”基本流程| |综合应用|选择3/4/5/8/9/10、填空14/15/16|整体代入法、几何面积转化|结合代数式求值与图形面积，体现模型意识与应用意识| |进阶技巧|解答19/20/21/22/23|添项法、配方法、换元法、试根法|通过阅读材料掌握构造思想，发展推理意识与创新意识|

2025学年七年级数学下学期期末复习卷 第4章 因式分解（基础卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 3．已知实数满足，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．5 D． 4．已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 5．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 6．下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（    ） 分解因式：． 解：原式 = A．①填 B．②填 C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 7．下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（   ） A． B． C． D． 8．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 9．当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为（    ） A． B． C． D．-2025 10．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．因式分解：______． 12．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 13．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 14．已知，则________． 15．已知，那么的值为________． 16．若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：因为，所以13是“完美数”；再如：因为（是整数），所以是“完美数”． 根据上面的材料，解决下列问题： （1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是____________． （2）已知（是整数，为常数），要使为“完美数”，则符合条件的值为____________． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分） 17．因式分解：． 18．计算： (1)； (2)（用乘法公式计算）． 19．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 对于二次三项式可以直接用公式法分解为的形式，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变．于是有． 像上面这样把二次三项式因式分解的方法叫做添项法． 请用上述方法因式分解： (1)； (2)． 20．阅读下面的材料，回答问题： 因式分解：． 解：原式 ． 上述因式分解的方法称为配方法． 请仿照上面配方法的解题步骤，将下列各式因式分解： (1)； (2)． 21．阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 22．阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中_____ ，______ ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 23．问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当时，正方形的面积既可以表示为，也可以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为，也就是说，这个正方形的面积为可以用等式表示为：． (1)请用小明计算的方法，直接写出图3中，若时，表示的等式为______． (2)数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______． (3)数学思考：由图4可得到一个关于、的等量关系式是______． (4)在（3）的条件下，若，求的值． (5)知识迁移：如图5，长方形和正方形，其中，若，，求图中的阴影部分面积的和． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C C B B D B D C 1．C 根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，对各选项逐一判断即可． 解：A选项右边是和的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． B选项右边是差的形式，整个式子没有化为几个整式的乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误． C选项左边多项式变形后为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确． D选项变形是整式乘法，是将乘积化为和的形式，不是因式分解，错误． 2．B 本题考查了因式分解——提公因式法．确定多项式中各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数，从而找出公因式． 解：∵， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 3．C 本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 4．C 本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．B 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 6．B 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 解： ， 故①填，②填，同时用到了提公因式法和公式法， 故选：B． 7．D 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义和方法是解题的关键．先根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式分解为整式的乘积形式，然后计算分解是否正确即可． 解：A、右边为乘积加2，不是乘积形式，不符合因式分解定义； B、左边是乘积形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C、右边是乘积的形式，但，原计算错误，不符合题意； D、右边是乘积的形式，且 ，原计算正确，符合题意． 故选：D． 8．B 先利用平方差公式对和进行因式分解，再化简等式两边，最后解出的值并与选项比对． 解：首先，利用平方差公式分解： ． 代入原等式：． 化简左边得：． 两边同时约去，得：． 故选：B． 本题考查了平方差公式的应用和等式的化简，解题关键是利用平方差公式简化计算，避免直接计算大数平方，提高效率． 9．D 首先将代入已知等式，求出的值；然后将代入目标代数式，变形后代入的值计算最终结果． 解：∵当时，， ，即， 移项得． 当时，， ∴． 10．C 先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 11． 该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 解： ． 故答案为：． 12．11 本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 13．③ 本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 14．8 本题考查了代数式求值以及因式分解，掌握整体思想是求解的关键．将整体代入即可． 解：∵， ∴ 故答案为：8． 15． 本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键． 先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16． 2（答案不唯一） 18 本题考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义判断，并写出一个小于10的“完美数”即可说明； （2）（3）先运用完全平方公式将进行变形得到，再根据“完美数”的定义可得，据此可得答案． 解：（1）∵， ∴2是“完美数”， 故答案为：2（答案不唯一）； （2）解： ， 为“完美数”， ， ． 故答案为：18． 17． 本题考查了提公因式法分解因式，解题关键是掌握提公因式法分解因式． 先提取公因式，再将第二个因式合并同类项即可． 解：原式 ． 18．(1)12mn (2)1 （1）解： ； （2）解： ． 19．(1)； (2)． （）先添加凑成完全平方式， 然后减利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案； （）先把分成两项和，然后利用平方差公式进一步分解因式即可得到答案． （1） ， ， ； （2）， ， ， ． 此题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 20．(1) (2) （1）解：原式 ； （2）解：原式 21． 本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 解：设， 将代入，得： ∴原式． 22．(1)， (2) (3) 本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． （1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 23．(1) (2)； (3) (4) (5) （1）仿照题意用两种方法表示较大的正方形的面积即可得到答案； （2）根据题意和（1）所求即可得到答案； （3）用两种不同的方法表示最大的正方形的面积即可得到答案； （4）根据求解即可； （5）根据用含a、b的式子表示出，设，则，，据此求出的值即可得到答案． （1）解：图3中，当时，较大的正方形的面积既可以用表示，也可以用最大的正方形的面积减去两个长方形的面积，再加上一个小正方形的面积，即可表示为，也就是说， 较大的正方形的面积为可以用等式表示为：． （2）解：由题意得图2中有等式， 图3中有等式 （3）解：大正方形的边长为，其面积为， 大正方形的面积等于中间的小正方形的面积加上4个长为a，宽为b的长方形面积，其面积为， ∴； （4）解：∵， ∴； （5）解： ， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $