精品解析：山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期第一次质量检测数学试题

2025级高一下学期第一次质量检测 数 学 试 题 2026年4月 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线设出向量的坐标，然后由向量的模的坐标表示列方程可解. 【详解】因为与方向相反，且， 所以， 所以，解得， 所以. 2. 一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的轴截面等腰三角形性质求解即可. 【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4， 所以轴截面面积 . 3. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】以分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 由题意可知：，， 所以. 4. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原图形中的长度，故可求其面积. 【详解】由直观图可得且，故原平面图形的面积为， 故选：B. 5. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合在方向上的投影向量的形式可求两者的数量积，故可求. 【详解】在方向上的投影向量为，故， 故，而，故， 故， 故选：A. 6. 如图，在中，是边上一点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由余弦定理求出，得出，再由正弦定理得到，即可求出结果. 【详解】因为，，所以， 因此，所以， 又，，由正弦定理可得：， 所以. 故选D 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型. 7. 在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）． A. B. C. 或2 D. 或2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得点，，，在以原点为圆心、半径为的圆上，进一步列方程即可求解. 【详解】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出边长a，再判断三角形形状，求出面积作答. 【详解】在中，由正弦定理得：，因此， 则，而，即有是正三角形， 所以的面积. 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A若为纯虚数，则即可判断，对于B若，则，即，计算即可判断，对于C若，则，即，利用复数的除法即可判断，对于D若在复平面内对应的点位于第四象限，则解出即可判断. 【详解】对于A：若为纯虚数，则，故A错误； 对于B：若，则，所以，所以，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D：若在复平面内对应的点位于第四象限，则，故D正确； 故选：BD. 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. ，则为内心 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 【答案】BD 【解析】 【分析】利用重心向量公式判断A；利用数量积运算律及定义求解判断B；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断C；设的中点为，再根据正弦定理结合平面向量共线定理即可判断D. 【详解】对于A，由，得为重心，A错误； 对于B，由，得， 则，整理得，又 于是，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，则， 由，同理得，则为的垂心，C错误； 对于D，令的中点为，则，由正弦定理得， 令，则， 因此，点的轨迹经过的重心，D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 【答案】##0.875 【解析】 【详解】 因为三角形三边之比为， 所以可设三边长分别为， 根据三角形大边对大角、小边对小角的性质可知， 对应的角即为该三角形的最小角， ． 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角与数量积正负的关系，列出不等式求解即可. 【详解】由向量与的夹角为钝角， 可得：， 解得， 由当时，，与共线反向，舍去， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 14. 在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】将平面绕旋转至处，如图所示，分析可得当共线时，有最小值，代入计算，即可得答案. 【详解】将平面绕旋转至处，使平面与平面共面，如图所示， 则， 因为M为上的一个动点， 所以， 当共线时取等号，即的最小值为5. 故答案为：5 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数四则运算即可求解； （2）先求出，然后由平方差公式即可求解. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 解法一：因为复数是方程的一个根， 则复数是方程的另一个根， 由韦达定理得，解得. 则， ； 解法二：因为复数是方程的一个根， 所以有，整理得， 所以，解得. 则 . 16. 已知向量，，，满足，且，，． （1）求与的夹角； （2）是否存在实数使与垂直？ 【答案】（1） （2）存在 【解析】 【分析】（1）由已知得，再平方后由数量积的定义求解； （2）利用求得即可. 【小问1详解】 ， ，， ，即， ． 又， ， ，又，所以； 【小问2详解】 若，则， 即， ，， ∴存在使得与垂直． 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理得到，再利用辅助角法求解； （2）由，结合余弦定理得到，再利用基本不等式得到求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为，所以， 即，即， 所以， 因为，所以，； 【小问2详解】 由余弦定理及， 得，即， 即，又，即， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以周长， 所以周长最大值为． 18. 如图所示，在中，，，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P． （1）用和分别表示和； （2）如果，求实数和的值； （3）确定点P在边BC上的位置． 【答案】（1）；；（2）；（3）点为靠近点的的三等分点 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算可直接求得结果； （2）将（1）的结论代入已知等式可得，根据相等向量的关系可构造方程组求得结果； （3）设，，利用（2）的结论可利用表示出，又，从而构造方程组求得，从而确定点位置. 【详解】（1）， （2）由（1）知： ，解得： （3）设， 由（2）知： 又 ，解得： ，即 点为靠近点的的三等分点 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用线性运算表示出未知向量，根据相等向量的定义可构造方程组求得参数的值. 19. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】（1）两船相距海里. （2）巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【解析】 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【小问1详解】 由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. 【小问2详解】 当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期第一次质量检测 数 学 试 题 2026年4月 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若平面向量与方向相反，且，则（　　） A. B. C. D. 2. 一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为（ ） A. 10 B. 12 C. 20 D. 15 3. 正方形的边长为1，点D，E分别为，的中点，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 5. 已知非零向量，满足，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上一点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（ ）． A. B. C. 或2 D. 或2 8. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 复数，，的共轭复数为，则（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则 10. 在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（ ）. A. 若，，，则的面积为. B. 若，则为钝角. C. 若为锐角三角形，则. D. 若，，且有两解，则b的取值范围是. 11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ） A. ，则为内心 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为的外心 D. 若，则点的轨迹经过的重心 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12. 在中，已知三边之比为，则该三角形的最小角的余弦值为______________． 13. 若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 14. 在正三棱柱中，，，M为上的一个动点，则的最小值为_____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数． （1）求； （2）若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 16. 已知向量，，，满足，且，，． （1）求与的夹角； （2）是否存在实数使与垂直？ 17. 在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 18. 如图所示，在中，，，BQ与CR相交于点I，AI的延长线与边BC交于点P． （1）用和分别表示和； （2）如果，求实数和的值； （3）确定点P在边BC上的位置． 19. 如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 （1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 （2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $