精品解析：2026年四川省乐山市中考数学试题

**基本信息** 本卷以人工智能产业数据、毕达哥拉斯学派的数为情境，通过几何体识别、二次函数结论判断、平面密铺探究等题，实现基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行线性质、概率计算等|结合科技数据考科学记数法| |填空题|6/18|中位数、一元二次方程根与系数关系等|以传统文化素材考多边形数规律| |解答题|10/102|统计与概率、圆的切线证明、抛物线综合等|密铺探究题培养空间观念，矩形翻折综合题发展推理能力|

数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面几何体中，是球体的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是柱体，不符合题意； B、是锥体，不符合题意； C、是球体，符合题意； D、是锥体，不符合题意． 2. 下列各数是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： 移项可得， ∴四个选项中只有A选项中的数是原不等式的解． 3. 年，我国人工智能核心产业规模突破 万亿元．数据 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值. 【详解】解：∵科学记数法要求，的值等于原数的整数位数减1， 原数 共有13位整数，将小数点左移12位可得 ， ∴ ，即. 4. 如图，两条平行线 、 被第三条直线 所截．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题意可知，故 ． 5. 一个布袋里放着 个红球和 个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取 个球，取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率公式，用红球个数除以布袋中球的总个数即可求解． 【详解】解：布袋中球的总个数为 ，红球个数为 ， 从布袋中任取1个球，取出红球的概率是 ． 6. 若实数、满足 ，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ， ，且 ， ， ， 解得： ，， ． 7. 如图，在 中，点 、 、 分别是、 、 的中点，连接、 、．若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴， 同理可证，， ∴， 由 ， ∴ ． 8. 如图，四边形是平行四边形， 与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、 ，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 9. 若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的 倍，分式值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将替换为原来的2倍，化简后与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将各选项中换为，换为，依次化简判断： 选项A：， 替换后和原分式相等，分式值不变，符合题意； 选项B：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项C：替换后得，分式值改变，不符合题意； 选项D：替换后得，分式值改变，不符合题意； 10. 已知二次函数 ，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则 ； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则 的值与 无关． 其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的基础性质，逐一验证四个结论，利用代入法、配方法、分类讨论区间最值的方法判断结论正误． 【详解】解：对①：令，得 ，∴二次函数图象与轴交点坐标是，①正确． 对②：对函数配方得， ∴顶点坐标为，结论中横坐标错误，②错误． 对③：代入 坐标得 ， ，∵， ∴ ，化简得 ，结论错误，③错误． 对④：二次函数开口向上，对称轴为，对区间 分情况讨论： 若 ，即 ，二次函数随的增大而增大， ，不含 ； 若 ，即 ，二次函数随的增大而减小， ，不含 ； 若 ，即 ，最小值为顶点纵坐标，最大值在离对称轴更远的端点，计算得 仍消去 ，不含 ； 因此 的值与 无关，④正确． 综上，正确结论共 个． 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据符号不同，绝对值相等的两数是相反数，直接求解即可． 【详解】解：的相反数是 ． 12. _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果． 【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知： . 13. 一组数据 ，， ，，的中位数是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据中位数的定义，将数据从小到大排列后，找出最中间的数即可得到结果． 【详解】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为 ，， ， ， ，这组数据共有 个数，个数为奇数，处在最中间的数是 ，因此这组数据的中位数是 ． 14. 已知方程的两个根是和，则 _________． 【答案】3 【解析】 【分析】对于一元二次方程 ，若方程的两个实数根是，则，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的两个根是和， ∴ ． 15. 如图，在 中，， ， ，点为斜边 的中点，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； 【详解】解：根据题意，得 ， 由点为斜边 的中点， ． 16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的 ， ， ， 称为三角形数，第二行的 ， ， ， 称为四边形数，第三行的 ， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ① ； ②； ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知 ，，则 _________．（用含有 的代数式表示） 【答案】 ①. ①③ ②. 【解析】 【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解； （2）设 ，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：1和36既是三角形数又是四边形数； 根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36， 第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49， 第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51， 故1和36既是三角形数又是四边形数． （2）解： ，都是n的二次函数， 也可能是n的二次函数， 不妨设 ， 根据题意，得， 解得， 故． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解： ，得． 把代入②，得， ． 19. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先用平方差公式化简，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 20. 如图，已知，．求证： ． 【答案】证明：在 和中， ，，， ， ． 【解析】 【分析】利用 证明 ，即可证明 ． 【详解】略 21. 某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人，表中 的值为________； （2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量等于频数除以所占百分比，扇形统计图的意义求解即可； （2）利用画树状图法或列表法求解即可； 【小问1详解】 解：根据题意，得学生一共有 （人）， 故表中 的值为 ． 【小问2详解】 解：解法一：由题可画树状图： 由图可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种， （恰好选到课程A和课程B）． 解法二：由题可列表： 第一次 第二次 由表可知，共有12种等可能情况，其中恰好选到课程A和课程B共2种， （恰好选到课程A和课程B）． 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接 、 ． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） ，； （2） 【解析】 【分析】（1）将、代入一次函数解析式即可求出 、 的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可； （2）设一次函数 与 轴相交于点，先求出A点坐标，再根据计算求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数 的图象经过点、， ， ， 解得 ，， 、， ∵反比例函数的图象经过点， ， ∵反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，设一次函数 与 轴相交于点， 令，则，即：， ， 又，， ． 23. 如图，为的直径，点 为圆上一点，点在延长线上，连接 ，且． （1）求证： 为的切线； （2）若，的半径为 ，求的长． 【答案】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ． 为的直径， ， ． ，即 ， 又是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到 ，则可证明 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，则可证明 ，即 ，据此可证明为的切线； （2）解直角三角形得到 ，由勾股定理可得，再由线段的和差关系可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ，的半径为 ， ，即， ∴ ， , ． 24. 在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法． 【感知密铺】 （1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面． 正多边形的边数 … 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 上表中 ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面． 【探寻密铺】 （2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径． 上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到． 【创作密铺】 （3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点 位置的密铺设计图． 【答案】（1）；能 （2）平移；旋转 （3）点 位置的密铺设计图如图： 【解析】 【分析】（1）根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面． （2）根据平移与旋转的特征判断即可； （3）先画和为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可． 【小问1详解】 解：正六边形的内角和，则正六边形每个内角的大小 ， ∵ ，即三个正六边形内角恰好组成一个周角， ∴正六边形能铺满地面． 【小问2详解】 解：②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到； ③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到； 【小问3详解】 略 25. 如图，在矩形中，、 ，点 在线段 上（点 不与点重合），连结 ，将沿 翻折得到、点的对应点为． （1）求的长度； （2）求证：当 时，四边形 为正方形； （3）若点 在线段上，且，连接 、将沿 翻折得到 、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：法一：沿 翻折得到 ， ∴ ， ∴ ∴四边形 是菱形， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形 是正方形； 法二： ∵四边形是矩形， ∴． 又∵△ 沿 翻折得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， 又∵ ， ∴四边形 是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折得到 ； （2）根据翻折得到 ， ，则 推出四边形 是菱形，最后根据得到四边形 是正方形； （3）①当与重合时，此时最小．②当点 与点 重合（点 与点重合）时，根据折叠证明四边形是矩形，得到 ，此时最大，即可得到点与点之间的距离为的取值范围 ． 【小问1详解】 解：沿 翻折得到 ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①当与重合时， 此时． ②当点 与点 重合（点 与点重合）时， ∵四边形是矩形，、 ， ∴ ，， ， ∴ ， 由折叠可得 ，，， ， ， ， ∴ ，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形是矩形， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 26. 已知抛物线 交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点 ． （1）求A、两点的坐标； （2）直线与抛物线 交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若 ，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①定点； 如图，设直线与轴交于点 ，过点作 ，过点作 ，垂足分别为、． ∴ ． 又∵A、两点到直线的距离相等， ∴． 又∵ ， ∴． ∴， 即：点 为中点． ∵，， ∴中点， 即直线过定点； ②直线过定点 【解析】 【分析】（1）令 ，解得 ，再根据抛物线 交轴于A、两点（点在点的左侧），得到，． （2）①设直线与轴交于点 ，过点作 ，过点作 ，垂足分别为、．即可证明．得到，则点 为中点，根据中点公式得到，即直线过定点； ②先求出顶点，过点 作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为 、 ，即可证明 ，得到，设，，分别表示出 ，，，，代入整理得 ，再联立，结合根与系数的关系得到 ， ．即可得到 ，则 ，直线过定点． 【小问1详解】 解：令 ，解得 ， ∵抛物线 交轴于A、两点（点在点的左侧）， ∴，． 【小问2详解】 解：①略 ②∵ 的对称轴为 ，当时， ， ∴顶点， 如图，过点 作直线 轴，过点D、分别作的垂线段，垂足分别为 、 ， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴， 设，， ∴， ，，， ∴． 整理得 ． ∵直线与抛物线 交于，两点． ∴联立， 可得 ， ∴ ， ． 代入 可得 ， ∴ ． ∴ ， ∴当时，固定不变， ∴直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下面几何体中，是球体的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数是不等式的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 年，我国人工智能核心产业规模突破 万亿元．数据 用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两条平行线 、 被第三条直线 所截．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个布袋里放着 个红球和个白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．从布袋中任取个球，取出红球的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若实数、满足 ，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在 中，点 、 、 分别是 、 、 的中点，连接、 、．若 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 9. 若、均不为，将下列分式中的和都变为原来的倍，分式值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数 ，有下列结论： ①二次函数图象与轴的交点坐标是； ②二次函数的顶点坐标是； ③若二次函数图象经过、两点，且，则 ； ④当时，二次函数的最大值为，最小值为，则 的值与 无关． 其中，正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是_________． 12. _________． 13. 一组数据 ，， ，，的中位数是_________． 14. 已知方程的两个根是和，则 _________． 15. 如图，在 中，， ， ，点为斜边的中点，则_________． 16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的， ， ， 称为三角形数，第二行的， ， ， 称为四边形数，第三行的， ， ，称为五边形数． （1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）： ①； ②； ③． （2）我们将 边形数中第 个数记为．已知 ，，则 _________．（用含有 的代数式表示） 三、解答题：本大题共10个小题，共102分． 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 化简：． 20. 如图，已知，．求证： ． 21. 某校开展“典籍里的中国”选修课，拟开设四门课程供学生选择：A．《论语》，B．《史记》，C．《天工开物》，D．《九章算术》．刘老师随机调查了部分学生对四门课程的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图表，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有________人，表中 的值为________； （2）现准备从四门课程中随机选择两门在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到课程A和课程B的概率． 22. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于、两点，连接 、 ． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 23. 如图， 为的直径，点 为圆上一点，点在延长线上，连接，且． （1）求证：为的切线； （2）若，的半径为 ，求的长． 24. 在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法． 【感知密铺】 （1）同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面． 正多边形的边数 … 正多边形的内角和 … 正多边形每个内角的大小 … 上表中 ________，正六边形________（填“能”或“不能”）铺满地面． 【探寻密铺】 （2）同学们通过动手操作，探寻到了实现密铺的路径． 上图中，②号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过________（填“平移”或“旋转”）得到． 【创作密铺】 （3）最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形 形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点 位置的密铺设计图． 25. 如图，在矩形中，、 ，点 在线段上（点 不与点重合），连结 ，将沿 翻折得到、点的对应点为． （1）求的长度； （2）求证：当 时，四边形 为正方形； （3）若点在线段上，且，连接 、将沿 翻折得到 、点的对应点为，设点与点之间的距离为，求的取值范围． 26. 已知抛物线 交轴于A、两点（点在点的左侧），顶点为点 ． （1）求A、两点的坐标； （2）直线与抛物线 交于，两点． ①若A、两点到直线距离相等，则直线过定点，请求出这个定点，并说明理由； ②若 ，试问直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $