精品解析：2025年四川省乐山市中考数学试题

乐山市2025年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第I卷（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上， 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：B 2. 如图，两条平行线 、被第三条直线 所截．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，由两直线平行，同位角相等可得的度数，再由对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：∵从上面看到的图形是俯视图， ∴该图形俯视图为： ， 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点 所在的象限，结合点 到轴、 轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点 在第一象限，且横坐标为 ，纵坐标为 ， ∴点 的坐标是， 故选：C． 5. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 6. 如图，，，，，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为和，则，． 【详解】解：∵和是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：C 8. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算方法，分别用单价乘以相应的百分比，计算即可得解． 【详解】解：由题意得，师生购买午餐的平均价格为（元）， 故选：A． 9. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现氢原子个数的变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出分子结构模型中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个． 当时，（个）， 即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个． 故选：B． 10. 已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数中，， 则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确． 令， 则， 当时，则， 则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确． 点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大， 故若，则，故③错误． 联立与， 则， 整理得：， 则，解得：， 令，对称轴为直线， ∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点， 故当时，， 解得：． 解得：，故④正确， 综上：①②④正确， 故选：C 第II卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效， 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是 ． 故答案为： ． 12. 某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据的众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 众数是一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解． 【详解】解：7.5，7.5，7，7.5，8，这一组数据中7.5出现的次数最多， ∴众数是7.5， 故答案为：7.5． 13. 如图，的度数为______． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 【详解】解： 故答案为： 14. 已知：，则，_______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，对角线与相交于点 ．小乐同学欲添加两个条件使得四边形是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 【答案】①②或①③（填写一组即可） 【解析】 【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键． 根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；②时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 当选择①；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； 当选择②；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是矩形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或①③均可以， 故答案为：①②或①③（填写一组即可）． 16. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ③ ②. 【解析】 【分析】本题考查新定义问题，理解“单位圆点”的定义．是解题的关键．“单位圆点”∶若点满足，则称点P为“单位圆点”． （1）对于函数图象上是否存在“单位圆点”，可联立函数解析式与单位圆方程，根据方程是否有解来判断． （2）对于一次函数，同样联立方程，根据方程有解的条件求出m的取值范围． 【详解】解：（1）①联立， 整理得：， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ②联立， 整理得：， 令，则方程变为，即， 则， 则此方程无实数解，即函数的图象上不存在“单位圆点”． ③联立， 整理得：， 则， ∵恒成立， ∴， 解得： ， 当 时，， 则点满足，即函数的图象上存在“单位圆点”． 故答案为：③ （2）联立， 整理得：， 则， 解得：， 故答案为： 三、解答题：本大题共10个小题，共102分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，再计算算术平方根和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 分别求出不等式的解集，然后根据 “同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，再进行合并，然后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，已知线段、相交于点，，．求证：． 【答案】 证明：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法及性质是解题的关键． 根据“边角边”证明，再由全等三角形对应边相等即可证明． 【详解】略 21. 某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择： ．体育中的数学， ．绘制公园平面地图， ．改进我们的课桌椅， ．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； （2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目 的学生人数； （3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目 和项目 的概率． 【答案】（1）40， 补全条形统计图如图所示： （2）人数为人 （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率、用样本估计总体、频数(率)分布表、条形统计图，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用表格中D的人数除以频率可得本次调查抽取的学生总人数；求出选择C项目的人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用800乘以B的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到项目A和项目B的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：本次调查抽取的学生总人数为 (人)， ∴选择C项目的人数为 (人)， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计选择项目 的学生人数为人； 【小问3详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选到项目A和项目B的结果有：，，共2种， ∴恰好选到项目A和项目B的概率为． 22. 如图，在 中，，，． （1）求 的长； （2）求点 到线段 的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定等知识点，正确构造直角三角形是解题的关键． （1）过点 作 的垂线，垂足为 ，先解求出，再得到为等腰直角三角形，最后再运用勾股定理求解 ； （2）过点 作 于点，对 运用等面积法得到，即可求解． 【小问1详解】 解：过点 作 的垂线，垂足为 ，则， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：过点 作 于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点 到线段 的距离为． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求、的值和反比例函数的表达式； （2）若在轴上存在点，使得 的面积为6，求 的值． 【答案】（1）， （2） 或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点的问题，一次函数与几何综合，熟知一次函数与反比函数的相关知识是解题的关键． （1）分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出m、n的值，进而得到点A和点B的坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）设直线交x轴于C，则，根据可得，据此列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，设直线交x轴于C， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 或． 24. 如图， 为的外接圆，直径 垂直于弦，垂足为点 ．点 为圆外一点，连结、 、，． （1）求证： 为 的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直径 垂直于弦， ∴，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴ 为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出 ，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段 分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点 叫做线段 的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点 为线段 的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在 中， ，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点 为线段 的黄金分割点（），分别以、 为边在线段 同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为； [问题再探]如图，点 即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点 为线段 的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 【解析】 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点 为圆心， 为半径画弧交 于点，再以 为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点 ，点 即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点 即为黄金分割点； [知识迁移]根据点 为线段 的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； 【点睛】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题，勾股定理，正方形和矩形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 26. 在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点 成中心对称，则称这两个函数关于点 互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： （1）求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． （2）是否存在点 ，使得函数关于点 的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有 个“整点”，至多有个“整点”，求 的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）①5；② 【解析】 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时 的值即可得答案． 【小问1详解】 解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． 【小问2详解】 解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点 的“对称函数”就是它本身． 【小问3详解】 解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当 时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有 个“整点”时，其它个“整点”是 对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有 个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它 个“整点”是 对关于点对称的点，在前面 个“整点”的基础上增加了、、及 个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐山市2025年初中学业水平考试 数学 本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回，考生作答时，不能使用任何型号的计算器． 第I卷（选择题共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上， 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 2025年“五一”期间，乐山大佛“夜游凌云山”项目营收突破300万元，创下同期历史新高．数据3000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两条平行线 、 被第三条直线 所截．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由4个相同的正方体堆成的物体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 计算：的结果为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，，，，，则 的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 若方程的两个根是和，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择（每人限定一份），5月份销售情况如图所示，则师生购买午餐的平均价格为（ ） A. 7.8元 B. 7.9元 C. 8元 D. 8.1元 9. 醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 10. 已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论： ①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线； ②当时，二次函数的图象与轴有两个交点； ③若，则； ④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则． 其中，正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效， 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨迹签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． 11. 的相反数是___________． 12. 某校举行演讲比赛，5位评委对某选手给出的评分如下：7.5，7.5，7，7.5，8，则评分的众数为______． 13. 如图，的度数为______． 14. 已知：，则，_______． 15. 如图，在中，对角线与 相交于点 ．小乐同学欲添加两个条件使得四边形 是正方形，现有三个条件可供选择：①；②；③．则正确的组合是______（只需填一种组合即可）． 16. 定义：在平面直角坐标系中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点”． （1）下列三个函数的图象上存在“单位圆点”的是______（填序号）； ①；②；③． （2）若一次函数的图象上存在“单位圆点”，则 的取值范围为______． 三、解答题：本大题共10个小题，共102分． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知线段、 相交于点 ，，．求证：． 21. 某校开展“综合与实践”项目学习，拟开设四个项目供学生选择： ．体育中的数学， ．绘制公园平面地图，．改进我们的课桌椅，．高度的测量，若每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制成统计图表，如图所示， 项目 人数 频率 16 8 4 0.1 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生总人数为______人，请补全条形统计图； （2）已知该校共有800名学生，请估计选择项目 的学生人数； （3）现准备从四个项目中随机选择两个项目在全校作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到项目 和项目 的概率． 22. 如图，在中，，，． （1）求 的长； （2）求点到线段 的距离． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求 、 的值和反比例函数的表达式； （2）若在轴上存在点，使得 的面积为6，求 的值． 24. 如图， 为的外接圆，直径 垂直于弦 ，垂足为点 ．点为圆外一点，连结 、 、 ，． （1）求证： 为 的切线； （2）若，，，求的长． 25. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段 分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段 的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段 的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在 中， ，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段 的黄金分割点（），分别以、 为边在线段 同侧作正方形和矩形，连结 、 ．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线 与 交于点 ．求证：点 是 的黄金分割点． 26. 在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点 成中心对称，则称这两个函数关于点 互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： （1）求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． （2）是否存在点 ，使得函数关于点 的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $