精品解析：广东江门市恩平市黄冈实验中学2025-2026学年高一下学期第二次月考数学试题

恩平黄冈实验中学2025—2026学年度第二学期 高一年级第二次月考数学试卷 命题人：邹清华 审题人：邹清华 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以的共轭复数为. 2. 如图，在平行四边形中，为靠近点的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则表示即可． 【详解】因为为靠近点的三等分点，所以， 所以． 3. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角的正弦值，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由已知可得，且 所以，. 所以，. 4. 如图，在长方体中，，，则异面直线和 所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以是异面直线和 所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和 所成角的大小是. 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用角终边上一点坐标求出,再利用诱导公式可得到结果. 【详解】已知角终边上一点,则, 根据三角函数定义得,所以. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合投影向量公式求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，， 所以在上的投影向量为． 7. 某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 8. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面， ，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面的位置关系，定义以及判定定理，性质定理，即可求解. 【详解】对于A，若 ，，则 或 ，故A错误； 对于B，若 ，，则 或 ，或与相交，故B错误； 对于C，若 ，， ，则与相交、平行或异面，故C错误； 对于D，不失一般性作下图，在空间中取一点 ，过点 作，，则， 过相交直线 作平面 ， 设 ，， 因为 ， ，所以 ，又 ， 且  都在平面 γ内，所以 ， 因为 ， 根据平行线的线面垂直性质，得 ， 又 ， 根据面面垂直的判定定理可得，因此D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 【答案】AC 【解析】 【详解】. 选项A：，正确. 选项B：的虚部为，不是，错误. 选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，正确. 选项D：将代入方程可得： ，故不是该方程的根，错误. 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，即， 因为，所以，A错误； 因为，所以，即， 解得，因为，所以 ，B正确； 因为的最小正周期为，所以，又 即，解得，，C正确； 由上可得，令， 得，所以的对称中心为， 取 即得的图象关于点对称，D正确. 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的判定定理证明平面平面，再根据面面平行的性质定理即可判断；对于B，先求出和的各边，再结合勾股定理，及三角形的性质找出二面角的平面角，再结合勾股定理，及余弦定理即可求解，进而即可判断；对于C，由线面垂直的判定定理证明平面，进而即可得证平面平面；对于D，先将平面和平面沿着展开至同一平面，再根据两点之间的距离最短求解即可判断． 【详解】对于A，在正方体中， 由，且平面，平面，则平面， 又，且平面，平面，则平面， 又，且平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，交于 ，则 是的中点，过作于 ，则 是的中点， 则，则， 又，， 则，即， 过作于 ，则，则， 则 是的四等分点且靠近 处，取 的中点 ，连接 ， 又是等边三角形，则，则 ，则， 所以是二面角的平面角， 又， 分别为， 的中点，则， 所以在中，，故B错误； 对于C，在正方体中，由平面，且平面，所以， 又是正方形，所以， 又，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，将和沿着展开至同一平面， 则当，， 三点共线时，取得最小值， 由，，且，则，则， 又，则， 所以的最小值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】由，得，即，解得. 13. 万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得， ，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 【答案】 【解析】 【分析】在 中，由正弦定理求出的值，再在 中，由正切函数的定义求解即可. 【详解】在 中，， ，， 所以， 由正弦定理可得， 即，解得， 在中，，， 由， 得 14. 若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的性质，得到的零点，结合题设条件建立不等式组即可求解. 【详解】由，得到， 因为在区间上有且只有个零点，故存在， 使得， 故， 因为，故且即， 故， 若，则即， 若 ，则，无解， 综上. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，求： （1）； （2）与的夹角 的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的运算律可求解； （2）由向量夹角公式可求解. 【小问1详解】 由向量与的夹角为， 则； 由； 【小问2详解】 由， 则， . 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 【答案】（1） 证明：连接交于点 ，连接； 因为底面是矩形，故 为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； （2）证明：因为平面，平面，故 ； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面 ； 故 平面 ，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理，根据三角形中位线找平行关系进行证明； （2）根据已知线面垂直得到线线垂直，从而通过证明线面垂直得到线线垂直，再利用等腰三角形三线合一得到垂直条件，利用线面垂直的判定定理进行证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若 ，且△ABC的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用边化角结合内角和恒等变换，利用余弦型三角式求解内角； （2）联立面积公式与余弦定理构造方程组，直接求解边长. 【小问1详解】 由， 结合正弦定理可得， 展开右侧三角式得， 消去同类项后化简为， 整理得， 由，得，解得. 【小问2详解】 由三角形面积公式， 代入，得， 由余弦定理， 代入 、，得， 联立，解得. 18. 设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间及对称中心； （3）求的解集． 【答案】（1） （2）的单调递增区间为， 的对称中心为 （3） 【解析】 【小问1详解】 由图知，， 由，得 ， 又，所以 ， 因为的图象过点， 所以，解得， 又 ，所以， 所以； 【小问2详解】 由， 得， 所以的单调递增区间为， 由，得， 所以的对称中心为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 解得， 所以的解集为． 19. 如图1，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． 是边长为2的等边三角形． （1）证明：平面面； （2）若，求直线和 所成角的余弦值； （3）点在棱 上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 【答案】（1）因为， 为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面 ， 所以平面，又平面 ， 所以平面面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质得出平面，在根据面面垂直的判定即可证明； （2）分别取 的中点M、N，连接，得到异面直线和 所成角（或为邻补角）即为，再根据已知求其余弦值； （3）过点E作交于N．过点N作交于点M，连接，利用面面垂直、线面垂直的判定和性质定理，确定为二面角的平面角，再由已知求其正切值． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 如下图，分别取 的中点M、N，连接， 因为O为中点，所以且， 所以异面直线和 所成角（或为邻补角）即为， 因为 是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 由，得，得． 在直角三角形中，则， 在中， 所以直线和 所成角的余弦值为． 【小问3详解】 如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以， 因为平面平面，平面平面平面 ， 所以平面，因为平面，所以 ，， 在中，因为，所以，而，则， 因为平面，所以 平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为， 因为，所以， 又因为，所以，得， 因为，所以， 因为 ，所以， 所以． 所以二面角平面角的正切值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩平黄冈实验中学2025—2026学年度第二学期 高一年级第二次月考数学试卷 命题人：邹清华 审题人：邹清华 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，为靠近点 的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ，，则的面积为（    ）． A. 6 B. C. 12 D. 4. 如图，在长方体中，，，则异面直线和 所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两条不同的直线，，两个不同的平面， ，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，，，则 D. 若，，，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数，则（） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 是方程的复数根 10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. ， D. 的图象关于点对称 11. 如图，在正方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 连接，总有平面 B. 点为线段上的中点时，二面角平面角的余弦值为 C. 平面平面 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则____________． 13. 万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得， ，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 14. 若函数在区间上有且只有个零点，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量与的夹角为，求： （1）； （2）与的夹角 的余弦值． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； 17. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求； （2）若 ，且△ABC的面积为，求. 18. 设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间及对称中心； （3）求的解集． 19. 如图1，在三棱锥中，平面平面，， 为的中点． 是边长为2的等边三角形． （1）证明：平面面； （2）若，求直线和 所成角的余弦值； （3）点 在棱 上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $