广东仲元中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试题

广东仲元中学2025-2026学年第二学期高一数学6月月考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D．或 2．在中，，点在上，满足，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A． B．或 C．或 D． 4．如果复数满足，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 5．已知复数，则复数的共轭复数（ ） A． B． C． D． 6．牛皮鼓，又称堂鼓、喜庆鼓，多用于江南祠堂内婚嫁迎娶和迎新年等．如图所示的牛皮鼓的鼓面直径为 cm，鼓身高度为 cm，用平行于鼓面的平面截牛皮鼓，所得截面圆的最大直径为 cm，若将该牛皮鼓看成由两个相同的圆台拼接而成，忽略鼓面与鼓身的厚度，则该牛皮鼓的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数，此时这个数据的平均数为，方差为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 8．已知名篮球运动员在某场比赛中的得分均为个位数，且平均数、中位数和极差均为，则当方差取最大值时，这组得分的第百分位数是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列命题为真命题的是（ ） A．复数在复平面内对应的点在第二象限 B．若为虚数单位，为正整数，则 C．若复数为纯虚数，则， D．若，，，则在复平面内对应的点形成的图形的面积为 10．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个白色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于”，则（ ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中（ ） A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则向量在上投影向量的坐标为__________． 13．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9．若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为__________双． 14．已知四边形为矩形，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球的表面积为__________；当三棱锥的体积最大时，其内切球的半径为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记，，是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 16．（本小题15分） 如图，在三棱柱中，面为正方形，面为菱形，，侧面面． （1）求证：面； （2）求二面角的余弦值． 17．（本小题15分） 燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查．现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率． 18．（本小题17分） 矩形中，，为线段的中点，将沿折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： （1）证明：面； （2）求二面角的余弦值； （3）在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分） 已知函数，其中，． （1）若，求函数的单调递增区间和最小值； （2）在中，、、分别是角、、的对边，且． （i）求的值； （ii）若是边上的一点，且，，当取最大值时，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $