2027年广东省普通高中学业水平考试数学自编模拟卷4

**基本信息** 本卷聚焦学业水平核心要求，以代数、几何、统计为主体，通过函数单调性证明、统计成绩分析等题，考查抽象能力、数据意识与空间观念，适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合、复数、函数奇偶性、三角函数、概率|基础概念辨析，如球的半径与体积充要条件判断| |填空题|6/36|命题否定、分层抽样、基本不等式、向量模、长方体外接球|结合实际情境，如分层抽样中高二抽取人数计算| |简答题|4/42|函数单调性、解三角形、统计分析、立体几何|综合应用突出，如统计题分析成绩稳定性作决策，立体几何证明线面垂直并求二面角正切值|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷4 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集，，则（ ） A. B. C. D. 2.设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ） 3对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ） 4.下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 5.函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ） 6.不等式的解集为（ ） 7.命题甲:球的半径为1cm; 命题乙:球的体积为πcm3, 则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若且，则是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C. 第三象限角 D.第四象限角 9.为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 10.同时抛掷两粒质地均匀的骰子，向上点数之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 11.某小组六名学生上周的体育运动时间为7，8，9，10，10，10，则该小组体育运动时间的平均数和第50百分位数是（ ） A. B. C. D. 12.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 命题：“∃x∈R，ax2－ax+1≤0，则为　　　　　 14.某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样， 在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为________ 15.已知函数,设，则 16. 已知则的最小值是 17.已知向量，则 18.长方体中，，则长方体的外接球表面积为______ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数. （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数在单调性． 20.如图，在中，30°，是边上的点， （1）求的面积； （2）求边的长。 21.甲、乙两位同学在本学期进行了 6 次数学平时测试，他们的成绩（单位：分，满分 100 分）如下表所示，记甲、乙两位同学 6 次测试成绩的平均数分别为和，方差分别为和. 甲（单位：分） 82 85 88 88 91 94 乙（单位：分） 81 84 87 89 92 95 (1) 分别求这两位同学 6 次测试成绩的极差和中位数； (2) 求，，，； (3) 学校要从这两位同学中选派一人参加市级数学竞赛，依据以上计算结果分析选派哪位同学更合适，并说明理由。 22.如图，在正四棱锥中，底面正方形的中心为，. (1)平面; (2)求二面角的大小的正切值. 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷4解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】，故选C． 2.设i是虚数单位，则复数的虚部是（ ） 【答案】B 【详解】，则复数的虚部是3，故选B． 3对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ） 【答案】B 【详解】对于选项B, 令，则而，显然不成立. 故选B． 4.下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】 对于A. ， ，所以是偶函数， 对于BCD，都是奇函数. 故选A． 5.函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ） 【答案】C 【详解】，的最大值为1，最小正周期为，故选C． 6.不等式的解集为（ ） 【答案】C 【详解】由得，所以，故选C． 7.命题甲:球的半径为1cm; 命题乙:球的体积为πcm3, 则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3, 必要性:由V=π=πr3可得r=1cm, 故选C． 8.若且，则是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C. 第三象限角 D.第四象限角 【答案】B 【详解】取角终边上一点为，由且得 则点在第二象限，故选B 9.为了得到的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】C 【详解】,只需把函数的图象上的所有点向右平行移动个单位长度,故选C 10.同时抛掷两粒质地均匀的骰子，向上点数之和为6的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】n(Ω)=36，记M=“向上点数之和为6”,则M={（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）},n(M)=5，所以，故选C 11.某小组六名学生上周的体育运动时间为7，8，9，10，10，10，则该小组体育运动时间的平均数和第50百分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】 ，第50百分位数是，故选D 12.已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】，故选D 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 命题：“∃x∈R，ax2－ax+1≤0，则为　　　　　 【答案】　∀x∈R，ax2－ax+1>0 14.某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样， 在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为________ 【答案】20 【详解】设高二应抽取的人数为，则，所以 15.已知函数,设，则 【答案】 【详解】，,则 16. 已知则的最小值是 【答案】18 【详解】所以，当且仅当时取等号 17.已知向量，则 【答案】5 【详解】， 18.长方体中，,，则长方体的外接球表面积为______ 【答案】 【详解】 ,所以 所以长方体的外接球表面积为 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.已知函数. （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数在单调性． 【小问1详解】 由，所以，所以函数定义域为. 【小问2详解】 在上单调递增，证明如下： ，任取，则 ，，，， ，即， 是上的单调递增. 20.如图，在中，30°，是边上的点， （1）求的面积； （2）求边的长。 【小问1详解】 在， 由余弦定理得 , 又，所以, , 由面积公式得 【小问2详解】 在中,由正弦定理得， 因为，所以,所以 21.甲、乙两位同学在本学期进行了 6 次数学平时测试，他们的成绩（单位：分，满分 100 分）如下表所示，记甲、乙两位同学 6 次测试成绩的平均数分别为和，方差分别为和. 甲（单位：分） 82 85 88 88 91 94 乙（单位：分） 81 84 87 89 92 95 (1) 分别求这两位同学 6 次测试成绩的极差和中位数； (2) 求，，，； (3) 学校要从这两位同学中选派一人参加市级数学竞赛，依据以上计算结果分析选派哪位同学更合适，并说明理由。 【小问1详解】 甲同学成绩排序：82，85，88，88，91，94 则甲同学测试成绩的极差，中位数为 ； 乙同学成绩排序：81，84，87，89，92，95 则甲同学测试成绩的极差 ，中位数为 【小问2详解】 , , 【小问3详解】 由分，说明两位同学的整体数学实力一致，又，，表明甲的发挥波动更小，在竞赛中更有可能稳定输出正常水平. 22.如图，在正四棱锥中，底面正方形的中心为，. (1)平面; (2)求二面角的大小的正切值. 【小问1详解】 在正四棱锥中，底面正方形的中心为， 由正四棱锥结构特征知：平面，因为，所以 ， 底面正方形中，，又因为,，所以平面; 【小问2详解】 取的中点为，连接，设正方形的边长为， 因为，所以是等边三角形，所以 在正方形中，；在等边中，， 为二面角的平面角， 平面，平面，； 在中，，，， ， 二面角的大小的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $