2025-2026学年人教版数学八年级下册期末基础题训练

**基本信息** 聚焦八下核心知识，以基础题为主，融合二次根式、勾股定理、四边形、一次函数等模块，通过多样化题型培养抽象能力、几何直观与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|选择1/7、填空15、计算22-23|定义判断、化简计算、新定义应用|从概念到运算再到拓展应用，形成完整逻辑链| |勾股定理|选择2/8、填空17、解答28|面积转化、实际测量、直角证明|结合图形性质实现数量关系与空间形式转化| |四边形|选择3/6/12/13、解答27/30/31|性质应用、判定证明、动态问题|从平行四边形到特殊四边形，层层递进| |一次函数|填空20、解答21/24|图像分析、实际建模、面积计算|体现模型意识，解决现实情境问题|

2026数学新人教版八下期末基础题训练 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积，其中的是(    ) A. B. C. D. 3.如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 4.如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数是(    ) A. B. C. D. 5.观察下面几个多边形的三角剖分连接不相邻顶点且线段在内部不交叉，按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在菱形中，，是对角线上不重合的两个点，且当改变点，位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是(    ) A. 总是矩形 B. 总是菱形 C. 中不可能存在 D. 中可能存在 7.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是(    ) A. B. C. D. 9.如图，是正方形和正六边形的公共边，若图中的，，是正边形的某部分，则的值是(    ) A. B. C. D. 10.如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数(    ) A. B. C. D. 11.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为(    ) A. B. C. D. 12.如图，在▱中，，延长至点，延长至点，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 13.两个矩形纸片，按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片，的长相等，下列判断错误的是(    ) A. 矩形的长与宽的差为 B. 矩形的长与宽的差为 C. 矩形的周长为 D. 矩形的周长为 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 14.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点点除外，连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为        ． 15.计算：      ． 16.命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是      填“真命题”或“假命题”． 17.在中，，，则        ． 18.如图，在正五边形中，以为边作等边，则        ． 19.如图，在矩形中，，，点是上一个动点点与点，不重合，过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为      ． 20.如图，点，，在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则阴影部分面积之和是______． 三、计算题：本大题共3小题，共24分。 21.运动生理学研究表明：青少年在中长跑训练中，在一定程度下运动心率次分钟与运动时间分钟近似满足一次函数关系已知运动心率不超过次分钟． 某学生在匀速跑步时测得数据如下： 运动时间分钟 运动心率次分钟 求与之间的函数关系式； 若该学生心率不低于次分钟且不超过次分钟为有效训练区间，求此次训练中有效训练的时长； 该学生运动分钟后停止训练，心率立即开始匀速下降，且下降过程也满足一次函数，经过分钟心率为次分钟若要完全恢复至静息心率次分钟，则从停止运动到完全恢复共需______分钟． 22.计算： ； ． 23.在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一． 方法二． 参照方法一，化简：； 参照方法二(ⅱ)，化简：； 化简． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 24.本小题分 如图，已知直线经过点，，直线：与轴交于点，与交于点． 求直线的解析式，并判断点是否在直线上； 直接写出点的坐标为______； 求的面积． 25.本小题分 分别在以下网格中画出图形． 在图中，以格点为顶点，画一个面积为的正方形； 在图中，以格点为顶点，画出一个腰长为，面积为的等腰三角形． 26.本小题分 已知一个多边形的内角和比外角和的倍还多． 求这个多边形的边数； 若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 27.本小题分 如图，在菱形中，过点作于点，作于点． 求证：． 若，求的度数． 28.本小题分 如图，阴影部分是某学校八班的班级菜园，经测量，，，，． 求证：是直角三角形； 该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 29.本小题分 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． 若与是关于的友好二次根式，求； 若与是关于的友好二次根式，求． 30.本小题分 如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接，． 求证：四边形是菱形． 若，的面积为，求的周长． 31.本小题分 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点． 求证：四边形是菱形； 若，菱形的面积为，求的长． 32.本小题分 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为秒． 当为何值时，四边形是平行四边形； 当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ 是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026数学新人教版八下期末基础题训练 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列是二次根式的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：．的被开方数，此式无意义，不是二次根式，故该选项错误，不符合题意； B.的根指数为，被开方数，符合二次根式定义，故该选项正确，符合题意； C.的根指数是，不为，不符合二次根式的定义．故该选项错误，不符合题意； D.的根指数是，不为，不符合二次根式的定义．故该选项错误，不符合题意； 故选：． 根据二次根式的定义，逐一判断各选项，可得到结果． 本题考查了二次根式的概念，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 2.下列各图是以直角三角形的三边为边，在三角形的外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母表示所在正方形的面积，其中的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意； 选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，不满足题意； 选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得斜边为， 则，满足题意； 选项，其中两个正方形的边长为与， 由勾股定理可得另一条直角边为， 则，不满足题意， 故选：． 由正方形中的数字计算正方形的边长，再由勾股定理计算求解即可． 本题主要考查了勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 3.如图所示，点是矩形对角线的中点，交于点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，求的长度是本题的关键． 由矩形的性质和三角形中位线定理可得，由勾股定理可得，由直角三角形斜边上的中线性质可得的长． 【解答】 解：四边形是矩形， ，， ， ， 点是的中点， 是的中位线， ， ， 在中，， 点是斜边上的中点， ， 故选：． 4.如图，矩形中，，，点表示，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：四边形是矩形，且， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点， ， 设点所表示的数为， 点所表示的数， ， ． 故选：． 先由勾股定理求出，进而得，设点所表示的数为，则，由此得，据此即可得出答案． 此题主要考查了矩形的性质，实数与数轴，勾股定理，理解矩形的性质，实数与数轴，灵活利用勾股定理计算是解决问题的关键． 5.观察下面几个多边形的三角剖分连接不相邻顶点且线段在内部不交叉，按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：根据多边形性质，剖分后三角形个数为可知： 当，则可以分成三角形的个数为． 故选：． 根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 本题考查了多边形，熟练掌握该知识点是关键． 6.如图，在菱形中，，是对角线上不重合的两个点，且当改变点，位置的过程中，下列对于四边形的说法正确的是(    ) A. 总是矩形 B. 总是菱形 C. 中不可能存在 D. 中可能存在 【答案】B  【解析】解：如图，连接交于， 四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， 当时，四边形是正方形，则． 故选：． 连接交于点，根据菱形的性质可得四边形是菱形，当时，菱形是正方形，则据此判断即可． 本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握各判定定理是解题的关键． 7.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据二次根式的运算法则逐项分析判断如下： A、，故该选项不符合题意； B、是最简二次根式，无法化简为，即，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 故选：． 按照二次根式的运算法则逐个计算选项，即可得到正确答案． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 8.如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，，，两边中点的距离，则，两点间的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由条件可知是的中位线， ， 故选：． 根据三角形中位线定理解答即可． 本题考查三角形的中位线定理，理解并熟练运用中位线定理是解题关键． 9.如图，是正方形和正六边形的公共边，若图中的，，是正边形的某部分，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：正方形的每个内角为：， 正六边形的每个内角为：， 则， 这个正边形的每个外角是：， 所以若图中的，，是正边形的某部分，则． 故选：． 先根据正方形和正六边形的性质及多边形的内角和公式求出的度数，再根据正多边形的每一个内角与外角互补，求出每个外角的度数，结合多边形的外角和为，即可求解． 本题主要考查了正多边形的性质、多边形的内角和公式、外角和定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10.如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，，， ， 四边形内角和定理， ， 两直线平行，内错角相等； 故选：． 先求解，再利用平行线的性质可得答案． 本题考查的是四边形的内角和定理，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 11.如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由条件可知两个小正方形的边长为和，  大正方形的边长为，  余下部分的面积为：    故选：． 求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 本题考查二次根式的实际应用，理解题意是关键． 12.如图，在▱中，，延长至点，延长至点，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， ． 故选：． 由在▱中，，可求得的度数，继而求得的度数，然后由三角形的外角的性质，求得答案． 此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对角相等，邻角互补． 13.两个矩形纸片，按如图的三种位置放置，测量数据如图所示，已知矩形纸片，的长相等，下列判断错误的是(    ) A. 矩形的长与宽的差为 B. 矩形的长与宽的差为 C. 矩形的周长为 D. 矩形的周长为 【答案】D  【解析】解：设矩形纸片的长为，宽为，矩形的宽为，则矩形的长为， 由图得，，， 解得，，， ， ， ， ， 故选：． 设矩形纸片的长为，宽为，矩形的宽为，由图得，，，分别计算，即可求解． 此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出等式解答． 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。 14.在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，，，，点是折线上一动点点除外，连接，点关于的对称点为点，若点落在矩形的边上，则点的坐标为        ． 【答案】或或  【解析】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠性质可得：，， 当点在上，在上时，过作于点，则， 设，其中，则，， 四边形是矩形， ，，， 四边形，是平行四边形， ， 四边形，是矩形， ，， 由勾股定理可得，， ， ， ， 由勾股定理可得，， ，解得：， ； 当、在上时，如图，过作于点， 同理可得：四边形，是矩形， ，，， 由勾股定理可得，， ， ， 点关于的对称点为点， ，， 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在上，在上时，如图， 设，则， 点关于的对称点为点， ，， ， ， 由勾股定理得：，， ， ，解得：， ； 综上，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 根据轴对称的性质得到，分当点在上，在上时，当、在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质即可求出点的坐标． 此题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，关键是分当点在上，在上时，当、在上时，当在上，在上时，结合勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质解答． 15.计算：      ． 【答案】  【解析】解：根据二次根式的乘除运算法则可得： ， 故答案为：． 根据二次根式的乘除运算求解即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 16.命题“四个角都是直角的四边形是正方形”是      填“真命题”或“假命题”． 【答案】假命题  【解析】解：四个角都是直角的四边形是矩形，不一定是正方形，故原命题是假命题． 故答案为：假命题． 根据矩形和正方形的判定解答即可． 此题主要考查了正方形的判定以及矩形的判定、命题与定理，正确掌握正方形的判定方法是解题关键． 17.在中，，，则        ． 【答案】  【解析】解：， ， ． 故答案为：． 在直角三角形中，由勾股定理可得，根据，可求出，将其代入即可求解． 本题考查勾股定理，正确进行计算是解题关键． 18.如图，在正五边形中，以为边作等边，则        ． 【答案】  【解析】解：根据五边形内角和为可得： ，， ． 故答案为：． 根据五边形内角和为，得到，结合是等边三角形，计算即可得解． 本题考查了多边形的内角和外角性质，熟练掌握该知识点是关键． 19.如图，在矩形中，，，点是上一个动点点与点，不重合，过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为      ． 【答案】  【解析】证明：如图，连接． ，，， ， 于点，，， 四边形是矩形； ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， 解得． 故答案为：． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 20.如图，点，，在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则阴影部分面积之和是______． 【答案】  【解析】解：设直线与轴交于点，轴于点，如图所示． 当时，， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为， 点的坐标为，， ， ． 同理，可求出另两个三角形的面积均为阴影部分组成的小三角形， 阴影部分面积之和． 故答案为：． 设直线与轴交于点，轴于点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点，的坐标，进而可得出，的长，利用三角形的面积计算公式可求出的面积，同理可得出另外两个小三角形的面积均为，再将三个小三角形的面积相加即可求出结论． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式，求出每个小三角形的面积是解题的关键． 三、计算题：本大题共3小题，共24分。 21.运动生理学研究表明：青少年在中长跑训练中，在一定程度下运动心率次分钟与运动时间分钟近似满足一次函数关系已知运动心率不超过次分钟． 某学生在匀速跑步时测得数据如下： 运动时间分钟 运动心率次分钟 求与之间的函数关系式； 若该学生心率不低于次分钟且不超过次分钟为有效训练区间，求此次训练中有效训练的时长； 该学生运动分钟后停止训练，心率立即开始匀速下降，且下降过程也满足一次函数，经过分钟心率为次分钟若要完全恢复至静息心率次分钟，则从停止运动到完全恢复共需______分钟． 【答案】  分钟    【解析】解：设与的函数关系式为， 由题意可得：， 解得， 由题意得运动心率不超过，即， 解得，结合实际得， 因此与之间的函数关系式为； 由题意得有效训练满足， 代入得， 解得， 所以有效训练时长为分钟， 答：此次训练中有效训练的时长为分钟； 运动分钟停止训练时，代入得初始心率为 次分钟， 设停止训练后经过分钟的心率为， 可得与满足一次函数关系， 由题意可得：， 解得， 即， 令，得， 解得， 故答案为：． 利用待定系数法，代入表格已知点求解一次函数解析式，再结合运动心率不超过的条件确定自变量的取值范围； 根据有效训练的心率范围列出不等式，求解得到的区间，计算区间长度得到有效训练时长； 先求出停止运动时的初始心率，再用待定系数法求出下降过程的函数解析式，代入静息心率计算得到所需时间． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 22.计算： ； ． 【答案】    【解析】 ； ． 先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可； 先算乘除法，再算减法即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 23.在进行二次根式运算时，我们有时会碰上这样的式子，其实我们可以将其进一步化简： 方法一． 方法二． 参照方法一，化简：； 参照方法二(ⅱ)，化简：； 化简． 【答案】     【解析】解：原式 ； 原式 ； 原式 ． 参照方法一即可求解； 参照方法二即可求解； 把原式裂项化为，然后通过二次根式加减运算即可求解． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 24.本小题分 如图，已知直线经过点，，直线：与轴交于点，与交于点． 求直线的解析式，并判断点是否在直线上； 直接写出点的坐标为______； 求的面积． 【答案】；点在直线上  ；  【解析】解：设直线的表达式为，由条件可得： ， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点在直线上； 联立， 解得：， 点的坐标为； 故答案为：； 把代入得：， 点的坐标为， ， ． 设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； 联立，解方程，求出点坐标即可； 先求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 25.本小题分 分别在以下网格中画出图形． 在图中，以格点为顶点，画一个面积为的正方形； 在图中，以格点为顶点，画出一个腰长为，面积为的等腰三角形． 【答案】解：如图所示，正方形即为所求； 如图所示，三角形即为所求．   【解析】根据正方形的定义结合网格作出图形即可； 根据等腰三角形的性质、勾股定理结合网格作出图形即可． 本题考查了作图应用设计作图，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟记各性质定理是解题的关键． 26.本小题分 已知一个多边形的内角和比外角和的倍还多． 求这个多边形的边数； 若这个多边形是正多边形，则该正多边形一个内角的度数是多少？ 【答案】    【解析】设这个多边形的边数是， 由题意得， 解得， 答：这个多边形的边数是； 正九边形的每一个内角为， 答：该正多边形一个内角的度数是． 根据多边形的内角和定理、外角和定理列出，即可求出多边形的边数； 根据正多边形的每个内角都相等以及正多边形的内角和定理即可求出该正多边形一个内角的度数． 本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的性质以及多边形的内角和定理、外角和定理是解题的关键． 27.本小题分 如图，在菱形中，过点作于点，作于点． 求证：． 若，求的度数． 【答案】四边形是菱形，   ，   ，   ；       【解析】证明：四边形是菱形，  ，  菱形的面积，  ；  解：四边形是菱形，  ，  ，  ，  ，  同理可得，  ． 根据菱形的性质得到，再由即可证明结论；  先由菱形的性质得到，则可求出的度数，进而可求出的度数，同理可得的度数，据此可得答案． 本题主要考查了菱形的性质，三角形内角和定理，熟知菱形的性质是解题的关键． 28.本小题分 如图，阴影部分是某学校八班的班级菜园，经测量，，，，． 求证：是直角三角形； 该班计划将班级菜园全部种植西红柿，已知购买每平方米土地上栽种的西红柿苗需要元，求购买西红柿苗总共需要的费用． 【答案】，，， ， 是直角三角形  购买西红柿苗总共需要元  【解析】证明：，，， ， 是直角三角形． 解：过作交于， ，， 为中点，， ， ， 是直角三角形， ， ，则元， 答：购买西红柿苗总共需要元． 利用勾股定理逆定理证明即可； 过作交于，利用勾股定理求出，再根据，求出面积，进而得到总费用． 本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 29.本小题分 定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的“友好二次根式”． 若与是关于的友好二次根式，求； 若与是关于的友好二次根式，求． 【答案】    【解析】解：根据题意得， 所以； 根据题意得， ， ， ， ． 根据新定义得到，然后解方程即可； 根据新定义得到，然后解方程即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键． 30.本小题分 如图，为矩形的对角线，过的中点作的垂线，分别交，于，，连接，． 求证：四边形是菱形． 若，的面积为，求的周长． 【答案】四边形是矩形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形为菱形    【解析】证明：四边形是矩形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形为菱形； 解：由可得，四边形是菱形，且， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 的面积为， ， 即， 把代入得，， 即， 负值舍去， ． 根据矩形的性质得出，求出，可得≌，可得四边形是平行四边形．可得平行四边形为菱形； 由，得，，由的面积为，得，得，即，得负值舍去，即． 本题主要考查了矩形的性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 31.本小题分 如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点． 求证：四边形是菱形； 若，菱形的面积为，求的长． 【答案】在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点   ，   点是的中点，   ，   ≌，      在中，点是的中点，   ，      ，   四边形是平行四边形．   ，   四边形是菱形． ．   【解析】证明：在中，，是的中点，是的中点，过点作交延长线于点  ，  点是的中点，  ，  ≌，    在中，点是的中点，  ，    ，  四边形是平行四边形．  ，  四边形是菱形；  解：连接，    四边形是菱形，    ，    ，  四边形是平行四边形，    菱形的面积是，  ，  解得  根据勾股定理，得． 先根据“角角边”证明≌，可得，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半得，然后说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；  连接，根据菱形的性质说明四边形是平行四边形，可得，再根据菱形的面积是求出，然后根据勾股定理得出答案． 本题考查菱形的判定与性质，正确进行计算是解题关键． 32.本小题分 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动的时间为秒． 当为何值时，四边形是平行四边形； 当为何值时，以，，，为顶点的梯形面积等于？ 是否存在点，使？若存在，请直接写出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】当或秒时，四边形是平行四边形  当或秒时，以，，，为顶点的梯形面积等 秒或秒  【解析】 四边形是平行四边形， ， 当从运动到时， ， ， ， 解得， 当从运动到时， ， ， ， 解得， 当或秒时，四边形是平行四边形； 若点、分别沿、运动时， ， 即， 解得， 若点返回时，， 则， 解得， 故当或秒时，以，，，为顶点的梯形面积等； 存在，第问中，点返回时，也存在的值，满足点停止时，即时，也满足条件 当时， 作于，则， ， 由得， 解得秒； 当时， 作于，则， 则，， ， ， 解得：秒； 当秒或秒时，． 由题意已知，，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，因为、点的速度 已知，、的长度已知，要求时间，用时间路程速度，即可求出时间； 要使以、、、为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点、分别沿、运动或点返回时，再利用梯形面积公式，即，因为、点的速度已知，、、的长度已知，用可分别表示、的长，即可求得时间； 假使存在点，当时；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间． 本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，关键是掌握相关知识． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $