2025-2026学年人教版八年级数学下册 期末测试卷03

**基本信息** 本卷以核心素养为导向，通过赵爽弦图、人工智能测试统计、拖拉机调运等情境，融合代数、几何、统计知识，设置基础巩固与创新应用梯度，适配八年级期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、多边形内角和、一次函数|第4题赵爽弦图考查勾股定理应用，体现文化传承| |填空题|5/15|一次函数性质、坐标与图形、七巧板|第14题七巧板拼图培养几何直观与空间观念| |解答题|9/75|统计分析、几何证明、函数应用|第20题人工智能测试统计发展数据意识，22题拖拉机调运问题强化模型意识，24题坐标系综合题提升创新思维|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷03 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 3．在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．2 4．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形ABCD的面积是10，AH＝3，则正方形EFGH的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．某班40名同学的校服尺寸如下表：对于表格中的数据，下列说法正确的是（    ） 尺寸/cm 155 160 165 170 175 学生人数/人 2 5 12 12 9 A．众数是165 B．中位数是165 C．众数是170 D．中位数是170 6．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点恰好落在边上的点处，折痕为，下列结论不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 7．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 9．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 12．若实数x，y满足，则的值为 ． 13．如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是________． 14．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是 ． 15．如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．    三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分）计算： (1)； (2) 17．（6分）如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 18．（6分）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 19．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 20．（8分）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 21．（8分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 22．（10分）雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 23．（11分）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 24．（12分）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷03 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 2．若一个多边形的内角和等于，则这个多边形是（    ） A．九边形 B．八边形 C．六边形 D．五边形 【答案】A 【分析】本题利用多边形内角和公式列方程，求解得到多边形的边数，即可选出正确答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：， 解得：， 即这个多边形是九边形． 3．在平面直角坐标系中，点A，均在直线上．若，则k的值可能为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可知，随着的增大而减小，进一步得到，即可求出答案． 【详解】解：∵点A，均在直线上．，， ∴随着的增大而减小， ∴， ∴， ∴k的值可以为2， 故选：D． 4．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形ABCD的面积是10，AH＝3，则正方形EFGH的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据正方形的面积可得AD2＝10，再根据勾股定理求出DH的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形ABCD的面积为10，AH＝3， ∴AD2＝10， ∴在Rt△ADH中，， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴正方形EFGH的面积， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．某班40名同学的校服尺寸如下表：对于表格中的数据，下列说法正确的是（    ） 尺寸/cm 155 160 165 170 175 学生人数/人 2 5 12 12 9 A．众数是165 B．中位数是165 C．众数是170 D．中位数是170 【答案】D 【分析】本题考查众数与中位数的定义，需根据定义分别计算出众数和中位数，再判断选项正误． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数据，表格中165cm和170cm对应的学生人数均为12人，是出现次数最多的， ∴众数为165cm和170cm， 故A、C选项错误． ∵总共有40名同学，中位数为第20和第21个数据的平均数，累计人数：155cm有2人，160cm有5人，累计7人；165cm有12人，累计19人； ∴第20、21个数据均为170cm， ∴中位数=(170+170)/2=170cm，故B选项错误，D选项正确． 故选：D 6．如图，将平行四边形纸片折叠，使顶点恰好落在边上的点处，折痕为，下列结论不一定正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四边形是平行四边形以及折叠的性质可得，四边形是菱形，从而得到选项正确，选项不一定正确． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得，， ， ，故A正确； ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，故C正确； 由折叠的性质得，， ∴四边形是菱形， ，故B正确； 由题意无法得出，故D错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题关键． 7．已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于，两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质． 求出点的坐标，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴， 解得：． 故选：A． 9．如图，在边长均为个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积，关键是灵活应用知识点解题；先求出，然后利用三角形的面积的不同表示方法得到等积式求出边上的高. 【详解】解：设边上的高为，边上的高为， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：D ． 10．如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故①平分，正确； ，， ， ， ， ， ， ， 故②③都正确； 根据前面的证明，得直线是线段的垂直平分线， 故， 故④正确． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值随的增大而增大，列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一次函数中，随增大而增大， ，解得． 故答案为：． 12．若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 13．如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 14．小明利用“赵爽弦图”设计了如图1所示的“七巧板”，并用它拼成如图2所示的“火箭”图案．若图1中大正方形的边长为，则该“火箭”的高度是 ． 【答案】10 【分析】本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，关键是找出七巧板中大直角三角形的直角边长关系，结合勾股定理求出直角边长度，再分析火箭高度的组成部分计算结果． 【详解】解：设七巧板中大直角三角形的短直角边为，长直角边为， 根据图2，正中心正方形的边长， ∴． ∵大正方形的边长为直角三角形的斜边，即， ∴， 即，解得，则． 观察火箭图案可知，火箭的高度； 故选答案：10． 15．如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．    【答案】30 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，作点关于的对称点，作点关于的对称点（先作对称点），连接，根据两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点（先作对称点），连接（连接对称点）．   ， ． （两点之间线段最短）， 四边形的周长的最小值． 为的中点，， ，． 在正方形中，， 在中，， 四边形的周长的最小值为． 故答案为：30 三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除混合运算，掌握二次根式混合运算顺序和法则是解题的关键． （1）运用二次根式的乘除法法则进行计算即可； （2）先运用二次根式的乘除法法则化简，然后再按照二次根式的加减法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（6分）如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 18．（6分）已知，，解答下列各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)19 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及二次根式的化简求值，做题关键是掌握分母有理化． （1）先进行分母有理化，再进行加减即可； （2）利变形为，再代入求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：由（1）知 ，， ． 19．（8分）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数） 【答案】(1)旗杆的高度为12米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案； （2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 答：旗杆的高度为12米； （2）解：如图，过E作于点G， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， 米，， （米）， 由（1）可知，（米）， 在中，由勾股定理得（米）， 米， 米米， 答：小明需要后退约米． 20．（8分）2025年，国务院印发《国务院关于深入实施“人工智能＋”行动的意见》，为人工智能的发展描绘了未来10年的战略蓝图．为了更好地拥抱人工智能，某校八年级信息技术社团在第一次能力测试之后，将人工智能技术应用于社团教学中，两个月后进行了第二次能力测试．从两次能力测试中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，绘制成如图统计图． 根据以上信息，整理、分析数据，得到下表： 平均成绩/分 中位数/分 众数/分 第一次测试 第二次测试 (1)________，________； (2)若规定分及分以上为优秀，该社团共名学生参加了第二次测试，估计在第二次测试中成绩优秀的学生人数； (3)结合两次测试成绩，通过分析统计量，你能得到什么结论？写出一条即可． 【答案】(1)； (2)该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人 (3)第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 【分析】（1）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （2）先计算第二次测试成绩优秀的人在样本中的占比，再乘以社团的学生数即可； （3）对比两次成绩的平均数、中位数和众数，得出结论． 【详解】（1）解：∵第一次能力测试的学生成绩中，分的占比最高，为， ∴第一次成绩的众数为分，即； ∵第二次测试的名学生的成绩中，第名和第名的成绩都是分， ∴第二次成绩的中位数为（分），即； （2）解：第二次测试中分及分以上的人数为（人），占比为， （人）． 答：该社团在第二次测试中成绩优秀的人数约为人． （3）解：第二次测试的平均成绩和中位数都高于第一次，说明将人工智能技术应用于社团教学后，学生的成绩整体有所提升．（答案不唯一，言之有理即可） 21．（8分）如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了菱形的证明、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记定理内容是解题关键． （1）证得，可得四边形是平行四边形，即可进一步求证； （2）由题意得是等边三角形，根据 即可求解. 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，平分， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵平分， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 4， 22．（10分）雪消门外千山绿，花发江边二月晴，雨水节气之后，春管正由南向北陆续展开，为了落实党和国家的“三农”政策，兴隆镇将台A型拖拉机、台B型拖拉机调往曙光和胜利两个村支援春耕，其中台给曙光村 ，台给胜利村，调往曙光和胜利两个村的拖拉机每台的运费（元）如下表： A型拖拉机 每台的运费 B型拖拉机 每台的运费 曙光 胜利 (1)设调往曙光村A型拖拉机x台，台拖拉机调往曙光和胜利两个村的总运费为W （元），求W关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若公司调往曙光和胜利两个村的总运费多于元，求有哪几种调运方案； (3)由于调往两个村的拖拉机数量多，运输公司决定仅对调往曙光村的A型拖拉机每台的运费降低a元，但让利后A型拖拉机每台的运费仍高于调往曙光村的B型拖拉机每台的运费．调往曙光村的B型拖拉机每台的运费以及调往胜利村的A、B型拖拉机每台的运费不变，请直接写出a为何值时（2）中的所有方案付出的总运费相同． 【答案】(1) (2)①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，运往胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台 (3)a的值为时（2）中的所有方案付出的总运费相同 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等的应用，方程和方案问题，熟练掌握一次函数的应用和一元一次不等式的应用是解题的关键， （1）设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，根据题意可列出W关于x的关系式，再结合实际问题可得到x的取值范围； （2）由于总运费多于元，可得，解得，再根据，可得到三种方案； （3）：设调整后曙光村A型运费为元/台，可得调整后的总费用与x的关系式，因为所有方案总运费相同，所以消去x的影响，得到，即可得到a的值，最后验证即可确定答案． 【详解】（1）解：设调往曙光村A型拖拉机x台，则曙光村B型拖拉机为台，胜利村A型拖拉机为台，胜利村B型拖拉机为台，由题可得： ， 整理得到：， ∵调运数量非负且不超过库存， ∴x的取值范围为：，且为整数， ∴． （2）解：∵总运费多于元， ∴， 解得：， ∵， ∴当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， 当时，曙光村A型台，B型台，胜利村A型台，B型台， ∴有三种方案，分别是： ①运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机2台、B型拖拉机台；②运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机1台、B型拖拉机台；③运往曙光A型拖拉机台、B型拖拉机台，胜利A型拖拉机0台、B型拖拉机台． （3）解：设调整后曙光村A型运费为元/台， 总运费变为：， 整理得：， ∵所有方案总运费相同， ∴， 解得：， 经验证，符合题意， ∴时，所有方案总运费相同． 23．（11分）如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵把沿折叠得到， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：∵把沿折叠得到， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， ∴， 设， ∵正方形边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即线段的长． 24．（12分）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点． (1)分别求点的坐标； (2)连接求的面积； (3)动点在直线上，点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上，是否存在以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了平面几何图形与一次函数的结合，图形面积的计算，等腰直角三角形的性质与存在性问题．熟悉求直线与坐标轴、直线与直线的交点坐标的方法，利用坐标计算三角形的面积的方法，根据等腰直角三角形的性质，结合一次函数，全等三角形的知识，解决动点条件下的几何存在性问题的方法，是解题的关键． （1）根据长方形的性质和平行的性质，计算直线与坐标轴，直线与直线的交点坐标． （2）根据直线与坐标轴的交点坐标，利用割补法计算的面积． （3）设，过点作交所在直线于点，交所在直线于点，分①点在上方，②点在下方，两种情况讨论，通过证明，，得到对应线段相等，建立关于的一元一次方程，得到的值，继而得到点的坐标． 【详解】（1）解：在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为， ，，轴， ∵直线与交于点，与轴交于点， ∴当时，，解得， 当时，， ，： （2）解：如图，令与轴的交点为， 令，解得， ， ， ，，； ，，， ， ； （3）解：点是坐标平面第一象限内的点，且在直线上， ∴设， 如图，过点作交所在直线于点，交所在直线于点， ①若点在上方， 是等腰直角三角形，且， ，， ， ， ， 在与中，， ， ， ， ，解得：， ； ②若点在下方，同理可证，， ， ， 即，解得， ， 综上可知，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公司 $