第01讲 正数和负数、有理数 讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

第 01 讲 正数和负数、有理数 为方便同学使用本套习题，1-11页为知识点讲解和习题，12页以后为详细解析和答案方便学生自学和教师家长讲解使用。 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。 2. 会判断一个数是正数是负数 3. 理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。 4. 能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。 知识点 1：正数、负数的定义（重点） 1. 正数 像 2%,4,3.5 这样大于 0 的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2. 负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 3. “0” 的特性 0 既不是正数,也不是负数.0 是正数与负数的分界 【例 1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 3.2 ， 1 2 1 5 ，+2.009， 1 0 8 ， 49 ，81． 2 ， 3 ， 6 25 【变式】任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 知识点 2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点）方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0 既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数． 1. 日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2. 具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 【例 2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进 50kg 苹果与卖出-50kg 苹果 B 高出海平面 786m 与低于海平面 230m C 向东走-9m 和向西走 10m D 飞机上升 100m 与飞机前进 100m 【变式】如果某水库警戒水位 150 米记作 0 米，那么 151 米记作 ，148 米记作 ． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 知识点 3：对“0”的认识 1. 表示没有 例如,0 个苹果,意思是没有苹果 2. 表示数时起到占位的作用 如 10605 中的两个 0,分别占的是十位和千位 3. 表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4. 表示某些数量的分界 0 既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 【例 3】下列对“0”的说法正确的个数是( ) ①0 是正数和负数的分界点；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如 0℃；④0 是正数；⑤0 是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 【变式】判断题 （l）0 是自然数，也是偶数（ ）。 （2）0 可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3）温度 0℃就是没有温度（ ）。 方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是 0℃，0 是正、负数的分界点等． 知识点 4：有理数的相关概念（重点） 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3 等 2. 分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3. 有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5) 非负数:正数和 0. (6) 非正数:负数和 0. (7) 非负整数(也叫自然数):正整数和 0. (8) 非正整数:负整数和 0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 4 5 2 【例 4】下列各数：－ ，1，8.6，－7，0， 5 6 ，－4 ，＋101，－0.05，－9 中，( ) 3 A．只有 1，－7，＋101，－9 是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有 1，8.6，＋101，0 D．只有－ 4 ，－4 5 4，－0.05 是负分数 5 方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数． 【变式】下列说法中正确的是（ ） A．0 不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．若a是有理数，则a 一定是负数 知识点 5：有理数的分类（重点、难点） 1. 有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2） 零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3） 如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都 可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 2. 集合 把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集 【例 5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7， 1 33，－10%， 3 ，2，0，3.14，－67，3，0.618，－1， 0.3080080008… 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}． 2 4 101 7 【变式 1】把以下各数填入相应的集合里： 3.14 ， 4.3， 72 ， 0 ， 1 ， 6 ， 7.3 ， 12 ， 0.4 ， 5 ， 22 ， 26 ． 3 6 7 (1) 正数集合：{ …}； (2) 负数集合：{ …}； (3) 正整数集合：{ …}； (4)负整数集合：{ …}； (5)非负数集合：{ …}． 【变式 2】把下列的数填入相应的集合中：7， 0.618 ， 3 1 ， 1 ，0， 30% ， 1006 ， 22 2 7 正分数集合：（ ）； 非负整数集合：（ ）； 负分数集合：（ ）． 【变式 3】把下列各数分别填入相应的集合里． 1，－0.20， 3 1 ，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004． 5 非正数集合：{ …}； 非负数集合：{ }； 非正整数集合：{ …}； 非负整数集合：{ }； 非正有理数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ }． 方法总结：在填数时要注意以下两种方法： (1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于 这个集合的数，避免出现漏数的现象． 易错点 01 对“0”的含义理解不准确 小学阶段开始学习数的时候,0 表示没有,学习了负数后,0 除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界 易错点 02 对负数表示的意义理解不清 具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示 易错点 03 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位 易错点 04 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数 正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数. 易错点 05 不能正确理解有理数的分类而出错 有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略 0 而引起 考点一：正数、负数的实际应用 考查题型一：用正数、负数记录成绩 例 1.某班级抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的 分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这 10 名同学中， 【变式 1-1】某班级抽查了10 名同学的期末成绩，以80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）： 8 、﹣ 3 、12 、﹣ 7 、﹣10 、﹣ 3 、﹣ 8 、1、5 、10 ．这10 名同学中， (1) 最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 【变式 1-2】某班级抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数， 记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这 10 名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10 名同学的平均成绩是多少？ 【变式 1-3】下表是某班 5 名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 +2 0 6 2 (1)把表格补充完整； (2)若不低于平均分的成绩是合格，求 5 名同学的合格率? 考查题型二：用正数、负数表示误差范围 例 2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30± 0.02 表示这个零件直径的标准尺寸是 30mm，实际合格产品的直径最小可以是 29.98mm，最大可以是（ ） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【变式 2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（ ） A．25.30kg B．24.80kg C．25.51kg D．24.70kg 【变式 2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“ 500 30mL ”字样，其中500 表示标准容量是500m L，30 表示最多不超过30mL ，那么30 表示 ． 【变式 2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？ 方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即 500 是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少． 考点二：与正数、负数相关的表格信息题 例 3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 3.4% 0.9% 5.3% 2.8% 7.3% 7.0% 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ 【变式 3-1】（2023 秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以 20km 为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程(km) 3 4 2 0 7 35 23 （1） 该汽车行驶路程最多的一天是 ，这一天的实际行驶路程是 km ． （2） 若该新能源汽车每行驶100km 耗电量为 15 度，每度电约为 0.5 元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 【变式 3-2】今年的“十•一”黄金周是 7 天的长假，徐州市吕梁风景区在 7 天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若 9 月 30 日的游客人数为 0.1 万人，问： （1）10 月 4 日的旅客人数为 万人； （2） 七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人？ （3） 如果每万人带来的经济收入为 50 万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 【变式 3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知 9 月 30 日的营业额为 26 万元： 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日 10 月 6 日 10 月 7 日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1） 家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2） 家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到 0.01 万元） 考点三：正数、负数的规律探究题 例 4. 观察下列数列，填上空缺的数． （1）1，-1，2，-2，3， ， ， ； （2）1，-2，3，-4，5， ， ， ． 14．桌子上放有 6 枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的 4 枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上． 【变式 4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数． （1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ； （2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ； （3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， . 【变式 4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的 3 个数分别是 ， ， ； 1 （2）有一列数： 2 ， 2 ， 3 ， 4 5 10 17 ，…．那么接下来的第 7 个数是 ． 【变式 4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的 3 个数，你能说出第 10 个数、第 105 个数、第 2015个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6， ， ， ，…； (2) 一列数：－1， 1，－3， 2 1，－5， 4 1， ， ， ，…. 6 方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征． 一、单选题 1．（23-24 七年级上·广东汕头·期末）在2 ， 3.5 ，0， 2 ， 0.7 中分数有（ ）个． 3 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24 七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重 49 公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩 216 公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩 213 公斤拿到银牌，泰国选手素 乍龙以总成绩 199 公斤获得铜牌．若将 216 公斤记为1，则 199 公斤可记为（ ） A. 1 B. 17 C. 16 D. 17 3．（23-24 七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为 50 个，个数为 54 个记为4 个，则个数为 46 个应记为（ ） A. 8 个 B． 4 个 C．4 个 D． 46 个二、填空题 4. 大米包装袋上10 0.1kg 的标识表示此袋大米重量的范围是 ． 5．（23-24 七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是 500 克，质检员把每袋超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为 501 克，则记作 ． 6．（23-24 七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为0m ，若0.08m 表示水面高于标准水位0.08m ， 则水面低于标准水位1.2m ，可记为 m．三、解答题 7. 如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从3 ，9，0， 10% 填入图中相应的位置． 2 ，3.14， 7 ，1300 这些数中，选择适当的数 第 28 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 把下列各数按要求分类填在相应的大括号内： 11，- 3 ， 9 ，0， 12 ， 6.2 ， ， 4% ． 5 (1)整数集合：｛ ｝ (2)分数集合：｛ ｝ (3) 非负整数集合：｛ ｝ (4) 负有理数集合：｛ ｝ 9．（2023 秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了 12 名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为 60 米．以 60 米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 5 3 2 0 5 8 4 1 （1） 第 2 棒火炬手的实际里程为 66 米，第 6 棒火炬手的实际里程为 米； （2） 若第 4 棒火炬手的实际里程为 61 米，求第 10 棒火炬手的实际里程． 10．（23-24 七年级上·河南鹤壁·期中）出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：5 ，3 ，3 ，1 ，2 ，2 ，4 ，5 ，6 ，8 （单位：千米） (1) 小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2) 若汽车耗油量为0.6 升/千米，发车前油箱有32.2 升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 11. 出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： 8 ， 6 ， 5 ， 10 ， 5 ， 3 ， 2 ， 6 ， 2 ， 5 (1) 小李下午出发地记为 0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2) 如果汽车耗油量为0.4 升/千米，油价每升5.80 元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 12. 某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一组数中正整数的个数相等． 2 7，－8 3 1 ，0，－100，＋3 3 ，－9.21，－0.01,36，－ 2，－10%，＋200，－24. 5 (1) 问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2) 若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的 3 倍与李强座位号的 5 倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 13. 将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1) 在A处的数是正数还是负数？ (2) 负数排在 A、B、C、D中的什么位置？ (3) 第 2021 个数是正数还是负数？排在对应于 A、B、C、D中的什么位置？ 第 01 讲 正数和负数、有理数(5 个知识点+3 个考点+5 个易错分析） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1. 借助生活中的实例体会引入负数的必要性，并能用正、负数表示生活中具有相反意义的量。 2. 会判断一个数是正数是负数 3. 理解有理数的意义，并能对有理数进行分类。 4. 能用正、负数解决有关实际问题，增强应用意识。 知识点 1：正数、负数的定义（重点） 1. 正数 像 2%,4,3.5 这样大于 0 的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 2. 负数 像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 3. “0” 的特性 0 既不是正数,也不是负数.0 是正数与负数的分界 【例 1】下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 3.2 ， 1 2 1 5 ，+2.009， 1 0 8 ， 49 ，81． 2 ， 3 ， 6 25 【答案】正数有：3.2， 2 ，+2.009， 49 ，81；负数有： 1 ， 1 5 ， 1 0 8 3 25 2 6 【分析】根据正数，负数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，正数有：3.2， 2 ，+2.009， 49 ，81；负数有： 1 ， 1 5 ， 1 0 8 ． 3 25 2 6 【点睛】本题考查了正数、负数．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【变式】任意写出 个正数和 个负数，并分别把它们填入相应的集合里． 方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0 既不是正数也不是负数，后面会学到＋(－3)不是正数，－(－2)不是负数． 【答案】5 个正数：1、2、3、4、5；5 个负数：-1、-2、-3、-4、-5； 知识点 2：用正数和负数表示具有相反意义的量（重点） 1. 日常生活中,表示相反意义的量的常用词语: 收入 盈利 上升 零上 增加 向东(南) … 支出 亏损 下降 零下 减少 向西(北) … 2. 具有相反意义的量的规定 为了区别具有相反意义的量,用正数和负数分别表示具有相反意义的量,若规定其中的一种量为正(可任意选择),则它的相反意义的量为负.习惯上把“前进、上升、收人、零上”等规定为正,把“后退、下降、支出、零下”等规定为负. 【例 2】.下列各对量中，表示具有相反意义的量的是（ ） A 购进 50kg 苹果与卖出-50kg 苹果 B 高出海平面 786m 与低于海平面 230m C 向东走-9m 和向西走 10m D 飞机上升 100m 与飞机前进 100m 【答案】B 【易错总结】向东走-9 米实际意义是向西走 9 米。“-”本身就是意义相反的意思 【变式】如果某水库警戒水位 150 米记作 0 米，那么 151 米记作 ，148 米记作 ． 方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－” 【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：如果某水库警戒水位 150 米记作 0 米，那么 151 米记作1米，148 米记作2 米． 故答案为： 1米； 2 米． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 2 米 1米 【答案】 的多少．另外，通常把“零上、上升、前进、收入、运进、增产”等规定为正，与它们意义相反的量表示为负． 知识点 3：对“0”的认识 1. 表示没有 例如,0 个苹果,意思是没有苹果 2. 表示数时起到占位的作用 如 10605 中的两个 0,分别占的是十位和千位 3. 表示某种量的基准 例如,0℃不是表示没有温度,而是表示在标准大气压下,水开始结冰的温度 4. 表示某些数量的分界 0 既不是正数,也不是负数,是正数和负数的分界.例如在摄氏温度计上，“0”是零上温度与零下温度的分界 5. 表示起点 例如,在米尺上,刻度的起点为“0” 【例 3】下列对“0”的说法正确的个数是( ) ①0 是正数和负数的分界点；②0 只表示“什么也没有”；③0 可以表示特定的意义，如 0℃；④0 是正数；⑤0 是自然数． A．3 B．4 C．5 D．0 【详解】：0 除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0 既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确．故选 A. 【变式】判断题 （l）0 是自然数，也是偶数（ ）。 （2）0 可以看成是正数，也可以看成是负数（ ）。 （3） 温度 0℃就是没有温度（ ）。 【答案】√ × × 方法总结：“0”的意义不要单纯地认为表示“没有”的含义，其实“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是 0℃，0 是正、负数的分界点等． 知识点 4：有理数的相关概念（重点） 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3 等 2. 分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3. 有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4. 几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5) 非负数:正数和 0. (6) 非正数:负数和 0. (7) 非负整数(也叫自然数):正整数和 0. (8) 非正整数:负整数和 0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 4 5 2 【例 4】下列各数：－ ，1，8.6，－7，0， 5 6 ，－4 ，＋101，－0.05，－9 中，( ) 3 A．只有 1，－7，＋101，－9 是整数 B．其中有三个数是正整数 C．非负数有 1，8.6，＋101，0 D．只有－ 4 ，－4 5 4，－0.05 是负分数 5 【解析】根据有理数的有关概念，整数包括：1，－7，0，＋101，－9，故选项 A 错误；正整数只有两个，即 1 和 ＋101，故选项 B 错误；非负数包括有 1，8.6，＋101，0，选项 D 正确．故选 D.方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数． 5，故选项 C 错误；负分数包括－ 6 4，－42 5 3 ，－0.05，故 【变式】下列说法中正确的是（ ） A．0 不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．若a是有理数，则a 一定是负数 【答案】B 【详解】解：A、0 是有理数，错误； B、有理数不是整数就是分数，正确； C、在有理数中没有最小的数，错误； D、a是有理数，则a 不一定是负数，如 a=0 时，-a=0，故错误； 知识点 5：有理数的分类（重点、难点） 1. 有理数的分类： 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2） 零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3） 如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都 可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 2. 集合 把满足一定条件的所有数放在一起,就组成了一个集合,简称数集 【例 5】把下列各数填入相应的集合内．－10，8，－7， 1 33，－10%， 3 ，2，0，3.14，－67，3，0.618，－1， 0.3080080008… 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}． 2 4 101 7 【分析】要将各数填入相应的集合里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．在填入相应的集合时，要注意每个有理数，身兼不同的身份，所以解答时不要顾此失彼． 【详解】正数集合{8，33 3 ，2，3.14 3， ， ，0.618，0.3080080008… …}； 4 101 7 1 负数集合{－10，－7 2 ，－10%，－67，－1 …}； 整数集合{－10，8，2，0，－67，－1 …}； 分数集合{－7 1，33，－10%， 3 ，3.14，3 0.618，0.3080080008… …}． ， 2 4 101 7 【变式 1】把以下各数填入相应的集合里： 3.14 ， 4.3， 72 ， 0 ， 1 ， 6 ， 7.3 ， 12 ， 0.4 ， 5 ， 22 ， 26 ． 3 6 7 (1) 正数集合：{ …}； (2) 负数集合：{ …}； (3) 正整数集合：{ …}； (4)负整数集合：{ …}； (5)非负数集合：{ …}． 【答案】(1) 4.3， 72 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 3 7 (2) 3.14 ， 6 ， 7.3 ， 12 ， 5 6 (3) 72 ， 26 (4) 6 ， 12 (5) 4.3， 72 ， 0 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 3 7 【分析】（1）根据正数的定义：像3 、1.5 、584 等大于0 的数叫做正数即可解答； （2）根据负数的定义：像3 、1.5 、 1 、584 等在正数前面加“ - ”号的数叫做负数即可解答； 2 （3） 根据正整数的定义：除了0 以外的自然数叫做正整数即可解答； （4） 根据负整数的定义：在自然数前面加上负号所得的数叫做负整数即可解答； （5）根据非负整数的定义： 正整数和零统称非负整数即可解答． 【详解】（1）解：正数集合：{ 4.3， 72 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 …}； 3 7 故答案为： 4.3， 72 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 ； 3 7 （2）解：负数集合：{ 3.14 ， 6 ， 7.3 ， 12 ， 5 …}； 6 故答案为： 3.14 ， 6 ， 7.3 ， 12 ， 5 ； 6 （3）解：正整数集合：{ 72 ， 26 …}；故答案为： 72 ， 26 ； （4）解：负整数集合：{ 6 ， 12 …}； 故答案为： 6 ， 12 ； （5）解：非负数集合：{ 4.3， 72 ， 0 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 …}． 3 7 故答案为： 4.3， 72 ， 0 ， 1 ， 0.4 ， 22 ， 26 ． 3 7 【点睛】本题考查了正数的定义，负数的定义，正整数的定义，负整数的定义，非负整数的定义，熟记对应定义是 解题的关键． 【变式 2】把下列的数填入相应的集合中：7， 0.618 ， 3 1 ， 1 ，0， 30% ， 1006 ， 22 2 7 正分数集合：（ ）； 非负整数集合：（ ）； 负分数集合：（ ）． 【答案】0.618 ， 30% ， 22 ；7，0， 1006 ； 3 1 7 2 【详解】解：正分数集合：（ 0.618 ， 30% ， 22 ）； 7 非负整数集合：（7，0， 1006 ）； 负分数集合：（ 3 1 ）． 2 【变式 3】把下列各数分别填入相应的集合里． 1，－0.20， 3 1 ，325，－789，0，－23.13，0.618，－2004． 5 非正数集合：{ …}； 非负数集合：{ }； 非正整数集合：{ …}； 非负整数集合：{ }； 非正有理数集合：{ …}； 非负有理数集合：{ }． 【详解】解：非正数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}； 非负数集合：{1， 3 1 ，325，0， 0.618，…}； 5 非正整数集合：{－0.20， 3 1 ，－789，0，－23.13，0.618，－2004…}； 5 非负整数集合：{1，－0.20， 3 1 ，325， 0，－23.13，0.618，…}； 5 非正有理数集合：{-0.20，-789，0，-23.13，-2004 …}； 非负有理数集合：{1， 3 1 ，325，0， 0.618，…}． 5 方法总结：在填数时要注意以下两种方法： (1)逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一集合；(2)逐个填写相应集合，从给出的数中找出属于这个集合的数，避免出现漏数的现象． 易错点 01 对“0”的含义理解不准确 小学阶段开始学习数的时候,0 表示没有,学习了负数后,0 除了表示“没有”外,还是正数与负数的分界 易错点 02 对负数表示的意义理解不清 具有相反意义的两个量,若一个量规定为正,用正数表示,则另个量就为负，用负数表示 易错点 03 用正数、负数表示具有相反意义的量时忽略了量的单位 易错点 04 误认为凡带有正号的数就是正数，凡带有负号的数就是负数 正数前面的“+”号有时可以省略,省略“+”号后仍是正数;但是带有“+”号或省略“+”号的数不一定是正数,带有“-”号的数不一定是负数. 易错点 05 不能正确理解有理数的分类而出错 有理数的两种分类不能混淆,要特别注意避免因忽略 0 而引起 考点一：正数、负数的实际应用 考查题型一：用正数、负数记录成绩 例 1.某班级抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的 分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这 10 名同学中， (1) 最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10 名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92 分 (2) 70 分 (3) 80.5 分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2） 根据正负数的意义，可得答案； （3） 根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是80 12 92 分； （2）最低分是80 10 70 分； （3）10 名同学的平均成绩是80 8 3 12 7 10 3 8 1 5 10 10 80.5 分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 【变式 1-1】某班级抽查了10 名同学的期末成绩，以80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下（单位：分）： 8 、﹣ 3 、12 、﹣ 7 、﹣10 、﹣ 3 、﹣ 8 、1、5 、10 ．这10 名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ 【答案】(1) 92 分 (2) 70 分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2）根据正负数的意义，可得答案； 【详解】（1）最高分是80 12 92 分； （2）最低分是80 10 70 分； 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 【变式 1-2】某班级抽查了 10 名同学的期末成绩，以 80 分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数， 记录的结果如下（单位：分）：+8、﹣3、+12、﹣7、﹣10、﹣3、﹣8、+1、5、+10．这 10 名同学中， (1)最高分是多少？ (2)最低分是多少？ (3)10 名同学的平均成绩是多少？ 【答案】(1)92 分 (2) 70 分 (3) 80.5 分 【分析】（1）根据正负数的意义，可得答案； （2） 根据正负数的意义，可得答案； （3） 根据平均数的意义，可得答案． 【详解】（1）最高分是80 12 92 分； （2）最低分是80 10 70 分； （3）10 名同学的平均成绩是80 8 3 12 7 10 3 8 1 5 10 10 80.5 分． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用正负数的意义超出的分数记为正数，不足的分数记为负数是解题关键． 【变式 1-3】下表是某班 5 名同学某次数学测试成绩，根据信息回答问题： 姓名 王芳 刘兵 张沂 李聪 江文 成绩 89 84 与全班平均分之差 +2 0 6 2 (1) 把表格补充完整； (2) 若不低于平均分的成绩是合格，求 5 名同学的合格率? 【答案】(1)86，78，82， +5 (2) 60% 【分析】根据有理数加减法在实际问题中的应用，可知高于基准为正，低于基准为负，有张沂可知，平均分为84 分，由此即可求出其他同学的成绩，由合格人数除以总人数乘以百分比即可求出答案． 【详解】（1）解：由表格中张沂的信息可得出，平均分为 84 分， ∴刘兵成绩：84 2 86（分），李聪成绩：84 6 78（分），江文成绩：84 2 82（分），王芳成绩：89 84 5 ，故答案是：86，78，82， +5 ； （2）解：平均分为84 分，合格有刘兵，张沂，王芳， ∴合格率是： (3 5) 100% 60% ， 故答案是： 60% ． 【点睛】本题主要考查有理数的加减法的应用，以及合格率的计算，解题的关键的找出“基准”，且“高于基准为正，低于基准为负”． 考查题型二：用正数、负数表示误差范围 例 2.如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30± 0.02 表示这个零件直径的标准尺寸是 30mm，实际合格产品的直径最小可以是 29.98mm，最大可以是（ ） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 【答案】B 【详解】解：由零件标注Φ 30 0.03 可知，零件的直径范围最大 30+0.03mm，最小 30-0.02mm， 0.02 ∴最大可以是 30+0.03=30.03（mm）． . 【变式 2-1】一种面粉的质量标识为“25±0.25kg”，则下列面粉中合格的是（ ） A．25.30kg B．24.80kg C．25.51kg D．24.70kg 【解答】解：一种面粉的质量标识为“25±0.25kg” 则面粉的质量范围在 25﹣0.25＝24.75kg到 25+0.25＝25.25kg之间的都合格． 各选项只有选项 B，24.80kg在这个范围之内． 故选：B． 【变式 2-2】“牛牛”饮料公司的一种饮料包装上有“ 500 30mL ”字样，其中500 表示标准容量是500m L，30 表示最多不超过30mL ，那么30 表示 ． 【答案】最少不少于30mL 【详解】解： 500 表示标准容量是500m L， 30 表示最多不超过30mL ，那么30 表示最少不少于30mL 【变式 2-3】某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质 检局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？ 【分析】＋30mL 表示比标准容量多 30mL，－30mL 表示比标准容量少 30mL.则合格范围是指容量在 470～530(mL)之间． 【详解】“500±30(mL)”是 500mL 为标准容量，470～530(mL)是合格范围，503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，抽查产品的容量是合格的． 方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即 500 是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少． 考点二：与正数、负数相关的表格信息题 例 3.某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下： 美国 德国 英国 中国 日本 意大利 3.4% 0.9% 5.3% 2.8% 7.3% 7.0% 这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？哪些国家的服务出口额减少了？哪国增长率最高？哪国增长率最低？ 【答案】中国、意大利的服务出口额增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额减少了，意大利的增长率最高，日本的增长率最低． 【详解】解：服务出口额增长的国家：中国，意大利； 国家的服务出口额减少的国家：美国、德国、英国、日本；增长率最高的是意大利； 增长率最低的是日本． 【变式 3-1】（2023 秋•台州期末）近年来，国家越来越重视新能源汽车的发展，为积极响应国家推广节能减排的 政策，王老师家买了一辆新能源汽车．王老师连续一星期记录了每天行驶的路程（每天以 20km 为基准，超出记为正，不足记为负），如表： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 路程(km) 3 4 2 0 7 35 23 （1） 该汽车行驶路程最多的一天是 ，这一天的实际行驶路程是 km ． （2） 若该新能源汽车每行驶100km 耗电量为 15 度，每度电约为 0.5 元，求王老师这一星期开新能源汽车的电费． 【分析】（1）根据题意及正数与负数的含义进行分析求解即可； （2）先求出这七天高于（或低于）的标准所行驶的路程，再加上七天按标准行驶的路程，即可求解． 【解答】解：（1）七天中，行驶路程最多的一天是星期六，这一天的实际行驶路程是： 20 35 55km ， 故答案为：星期六，55； （2）15 0.5 (20 7 3 4 2 0 7 35 23) 100 15 元， 答：小明家这一星期的汽车的电费为 15 元． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 【变式 3-2】今年的“十•一”黄金周是 7 天的长假，徐州市吕梁风景区在 7 天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 人数变化单位：万人 +1.1 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.4 ﹣0.2 +0.4 ﹣0.5 若 9 月 30 日的游客人数为 0.1 万人，问： （1）10 月 4 日的旅客人数为 万人； （2） 七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人？ （3） 如果每万人带来的经济收入为 50 万元，则黄金周七天的旅游总收入为多少万元？ 【解答】解：（1）根据题意列得：0.1+（+1.1﹣0.6+0.2﹣0.4）＝0.4；故答案是：0.4； （2）10 月 1 日有游客：0.1+1.1＝1.2 （万）， 10 月 2 日有游客：1.2﹣0.6＝0.6（万）， 10 月 3 日有游客：0.6+0.2＝0.8（万）， 10 月 4 日有游客：0.8﹣0.4＝0.4 （万）， 10 月 5 日有游客：0.4﹣0.2＝0.2 （万）， 10 月 6 日有游客：0.2+0.4＝0.6 （万）， 10 月 7 日有游客：0.6﹣0.5＝0.1 （万）； 7 天中旅客最多的是 1 日为 1.2 万人，最少的是 7 日为 0.1 万人， 则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 1.2﹣0.1＝1.1（万人）；故答案为：1.1； （3）黄金周七天游客：1.2+0.6+0.8+0.4+0.2+0.6+0.1＝3.9（万人）， 3.9×50＝195（万元）， 答：黄金周七天的旅游总收入约为 195 万元． 【变式 3-3】“十一”黄金周期间，某超市家电部大力促销，收银情况如下表，下表为当天与前一天的营业额的涨跌情况（上涨为正，下跌为负，单位：万元）．已知 9 月 30 日的营业额为 26 万元： 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日 10 月 6 日 10 月 7 日 +4 +3 +2 0 ﹣1 ﹣3 ﹣5 （1） 家电部黄金周内哪天收入最高，为多少万元？哪天收入最低，为多少万元？ （2） 家电部黄金周内平均每天的营业额是多少万元？（精确到 0.01 万元） 【解答】解：（1）∵9 月 30 日的营业额为 26 万元， ∴10 月 1 日的营业额为 26+4＝30 万元， 10 月 2 日营业额为 30+3＝33 万元， 10 月 3 日营业额为 33+2＝35 万元， 10 月 4 日营业额为 35+0＝35 万元， 10 月 5 日营业额为 35﹣1＝34 万元， 10 月 6 日营业额为 34﹣3＝31 万元， 10 月 7 日营业额为 31﹣5＝26 万元， ∴10 月 7 日最低，营业额为 26 万元；10 月 3 日、4 日为最高，营业额为 35 万元； （2）（30+33+35+35+34+31+26）÷7＝32.00（万元）， ∴家电部黄金周内平均每天的营业额是 32.00 万元． 考点三：正数、负数的规律探究题 例 4. 观察下列数列，填上空缺的数． （1）1， ，2， ，3， ， ， ； （2）1， ，3， ，5， ， ， ． 【答案】（1）-3，4，-4；（2）-6，7，-8． 【解析】（1）从举出的数可以看出，两数之间互为相反数即可； （2）数字是 1、2、3、4、5、6、7、8，偶数前面是负号，奇数前面是正号． 14. 桌子上放有 6 枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的 4 枚，至少翻转 次能使所有硬币都反面朝上． 【答案】3 【详解】解：用“ ”表示正面朝上，用“ ”表示正面朝下， 开始时 ， 第一次 ， 第二次 ， 第三次 ， 至少翻转 3 次能使所有硬币都反面朝上， 【变式 4-1】．观察下面各数列，研究它们各自的变化规律，并接着填出后面的两个数． （1）1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ； （2）2，-4，6，-8，10，-12，14，-16， ， ； （3）1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0，-1，0，1，0， ， . 【答案】 1, -1; 18, -20; -1, 0. 【详解】(1) 在该数列中，1 与-1 交替出现，故后面的两个数分别为 1，-1. (2) 该数列可以看作是先将正整数中的偶数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加负号而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为：18，-20. (3) 该数列可以看作是以 1，0，-1，0 为一个基本单元并不断重复而得到的. 根据这一规律，后面的两个数分别为： -1，0. 【变式 4-2】（1）有一列数：1，-2，-3，4，-5，-6，7，-8，…．那么接下来的 3 个数分别是 ， ， ； 1 （2）有一列数： 2 ， 2 ， 3 ， 4 5 10 17 ，…．那么接下来的第 7 个数是 ． 【答案】 -9, 10, -11; 7 50 【详解】(1) 这一列数可以看作是先将正整数从小到大逐个排列起来再从第二个数开始每隔一个数在原数前面添加 负号而得到的. 根据这一规律，接下来的 3 个数分别为：-9，10，-11. (2) 对这一列数的分子与分母的规律分别进行讨论. ①这一列数的分子可以看作是将正整数从小到大逐个排列起来而得到的. ②观察这列数的分母可以看出， 2 11 1 ， 5 2 2 1，10 3 3 1 ，17 4 4 1，…因此，这列数的分母可以看作是该分数的分子与其自身之积再加上 1 而得到的. 根据上述规律，第 7 个数的分子应为 7，第 7 个数的分母应为7 7 1 50 ，即第 7 个数应为 7 . 50 【变式 4-3】观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的 3 个数，你能说出第 10 个数、第 105 个数、第 2015 个数吗？ (1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6， ， ， ，…； (2) 一列数：－1， 1，－3， 2 1，－5， 4 1， ， ， ，…. 6 【分析】(1)第n个数，当n为奇数时，此数为 n；当 n为偶数时，此数为－n；(2)第 n个数，当n为奇数时，此数 1 为－n；当 n为偶数时，此数为 . n 【详解】(1)7，－8，9；第 10 个数为－10，第 105 个数是 105，第 2015 个数是 2015； (2)－7， 1，－9；第 10 个数为 1 ，第 105 个数是－105，第 2015 个数是－2015. 8 10 方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征． 一、单选题 1．（23-24 七年级上·广东汕头·期末）在2 ， 3.5 ，0， 2 ， 0.7 中分数有（ ）个． 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数，根据分数的定义进行判断即可． 【详解】解：在2 ， 3.5 ，0， 2 ， 0.7 中，分数有3.5 ， 2 ， 0.7 ，共 3 个， 3 3 故选：C． 2．（23-24 七年级上·河南许昌·期中）在十月份结束的杭州亚运会女子举重 49 公斤级比赛中，朝鲜选手李盛金创造该组赛会记录和世界记录，以总成绩 216 公斤夺冠，中国选手蒋惠花以总成绩 213 公斤拿到银牌，泰国选手素 乍龙以总成绩 199 公斤获得铜牌．若将 216 公斤记为1，则 199 公斤可记为（ ） A. 1 B. 17 C. 16 D. 17 【答案】C 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，理解基准的确定是解本题的关键，先确定基准为215 公斤是解本题的关键． 【详解】解：将 216 公斤记为1，则 215 公斤记为 0，那么，199 公斤可记为199 215 16 ， 故选 C 3．（23-24 七年级上·广东广州·期中）初中一年级女生仰卧起坐满分标准为 50 个，个数为 54 个记为4 个，则 个数为 46 个应记为（ ） A. 8 个 B． 4 个 C．4 个 D． 46 个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，理解题意是解题关键．根据正负数的意义即可得． 【详解】解：初中一年级女生仰卧起坐满分标准为 50 个，则个数为 46 个应记为4 个， 故选：B． 二、填空题 4．大米包装袋上10 0.1kg 的标识表示此袋大米重量的范围是 ． 【答案】9.9 ~ 10.1kg 【分析】本题考查正负数的知识，解题的关键是掌握正数和负数在题目中的实际意义，根据大米包装袋上的质量标识，求出大米质量范围，即可． 【详解】∵大米包装袋上的质量标识为10 0.1kg ， ∴大米的重量范围为： 9.9 ~ 10.1kg ．故答案为： 9.9 ~ 10.1kg ． 5．（23-24 七年级上·广东肇庆·期末）某厂家生产一种袋装食品的标准重量是 500 克，质检员把每袋超出的部分记作正数，不足的部分记作负数，质检员随机测得袋食品质量为 501 克，则记作 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正负数的意义，根据“超出的部分记作正数，不足的部分记作负数”即可作答． 6．（23-24 七年级下·福建福州·期中）某蓄水池的标准水位记为0m ，若0.08m 表示水面高于标准水位0.08m ，则水面低于标准水位1.2m ，可记为 m．【详解】解：由题意可知： 501 500 1 ，应记作+1．故答案为： 1． 【答案】1.2 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：若0.08m 表示水面高于标准水位0.08m ，则水面低于标准水位1.2m ，可记为1.2m ．故答案为： 1.2 ． 三、解答题 7．如图，两个圈分别表示正数集和整数集，请你从3 ，9，0， 10% 填入图中相应的位置． 2 ，3.14， 7 ，1300 这些数中，选择适当的数 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类．正数集合与整数集合的交集是正整数集合．注意数字 0，它不属于正数和负数，是整数．根据正数及整数的概念进行区分判断，两个集合里都含有的数就是符合条件的数． 【详解】解： 3 ，9，0， 10%， 3.14 ， 2 ，1300 中， 7 属于正数的有：9，3.14， 2 ，1300； 7 属于整数的有： 3 ，9，0，1300． 所以既是正数也是整数的是 9，1300． 填入数字如下图所示： 8．把下列各数按要求分类填在相应的大括号内： 11，- 3 ， 9 ，0， 12 ， 6.2 ， ， 4% ． 5 (1)整数集合：｛ ｝ (2)分数集合：｛ ｝ (3) 非负整数集合：｛ ｝ (4) 负有理数集合：｛ ｝ 【答案】(1) 11， 9 ，0， 12 (2)- 3 ， 6.2 ， 4% 5 (3)0， 12 (4) 11，- 3 ， 9 ， 6.2 ， 4% 5 【分析】本题主要考查了有理数的分类： （1） 根据整数的定义求解即可； （2） 根据分数的定义求解即可； （3） 根据非负整数是大于等于 0 的整数进行求解即可； （4） 根据负有理数是小于 0 的整数和分数进行求解即可． 【详解】（1）解：整数集合：｛ 11， 9 ，0， 12 ｝，故答案为： 11， 9 ，0， 12 ； （2）解：分数集合：｛- 3 ， 6.2 ， 4% ｝， 5 故答案为：- 3 ， 6.2 ， 4% ； 5 （3）解：非负整数集合：｛0， 12 ｝，故答案为：0， 12 ； （4）解：负有理数集合：｛ 11，- 3 ， 9 ， 6.2 ， 4% ｝， 5 故答案为： 11，- 3 ， 9 ， 6.2 ， 4% ． 5 9．（2023 秋•荔湾区期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了 12 名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为 60 米．以 60 米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值． 棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 里程波动值 2 6 5 3 2 0 5 8 4 1 （1） 第 2 棒火炬手的实际里程为 66 米，第 6 棒火炬手的实际里程为 米； （2） 若第 4 棒火炬手的实际里程为 61 米，求第 10 棒火炬手的实际里程． 【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【解答】解：（1） 60 6 66 （米) ， 60 2 58 （米) ， 即第 2 棒火炬手的实际里程为 66 米，第 6 棒火炬手的实际里程为 58 米， 故答案为：66；58； （2）第 4 棒火炬手的实际里程为 61 米， 第 4 棒火炬手的里程波动值为 1， 则60 0 (2 6 5 1 3 2 0 5 8 4 1) 60 3 63 （米) ， 即第 10 棒火炬手的实际里程为 63 米． 【点评】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 10．（23-24 七年级上·河南鹤壁·期中）出租车司机小张某天在季华路（近似的看成一条直线）上行驶，如果规定向东为“正”，向西为“负”，他这天上午的行程可以表示为：5 ，3 ，3 ，1 ，2 ，2 ，4 ，5 ，6 ，8 （单位：千米） (1) 小张将最后一名乘客送达目的地后需要返回出发地换班，请问小张该如何行驶才能回到出发地？ (2) 若汽车耗油量为0.6 升/千米，发车前油箱有32.2 升汽油，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天上午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)小张向西行驶 1 千米才能回到出发地 (2)小张今天上午不需要加油，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的加法，正数和负数，熟练掌握有理数的加法是解答本题的关键． （1） 根据题意，将小张所有行程按照向东为“正”，向西为“负”，依次相加，得到结果，判断小张最后地点距离出发地的距离，以此分析小张该如何行驶才能回到出发地． （2） 根据题意，计算出小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地一共行驶的距离，然后计算行驶了这些距离耗的油量，最终得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 5 3 3 1 2 2 4 5 6 8 1 （千米）， 小张将最后一名乘客送达的目的距离出发地正东方向1千米，故小张向西行驶 1 千米才能回到出发地． 答：小张向西行驶 1 千米才能回到出发地． （2）不用加油，理由如下： 小张将最后一名乘客送达目的地一共行驶了： 5 3 3 1 2 2 4 5 6 8 39 （千米），再返回出发地一共行驶了： 39 1 40 （千米）， 汽车耗油： 40 0.6 24 32.2 ． 答：小张今天上午不需要加油． 11．出租车司机小李国庆长假期间的某天下午的营运全是在南北走向的城区市心路上进行的，如果规定向南行驶为 正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： 8 ， 6 ， 5 ， 10 ， 5 ， 3 ， 2 ， 6 ， 2 ， 5 (1) 小李下午出发地记为 0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李距下午出发地有多远？ (2) 如果汽车耗油量为0.4 升/千米，油价每升5.80 元，那么从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为多少元？ 【答案】(1)小李距下午出发地有 6 千米； (2)从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为134.56 元； 【分析】（1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.4 ，再根据总价=单价×数量即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： 8 6 5 10 5 3 2 6 2 5 6 （千米）， ∴小李距下午出发地有 6 千米； （2）解： 8 6 5 10 5 3 2 6 2 5 6 0.4 5.80 58 0.4 5.80 23.2 5.80 134.56 （元） ∴从这天下午汽车出发到返回出发点共需花费油价为134.56 元； 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 12．某校在阶梯教室举行英语沙龙活动，张红的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，李强的座位号与下列一 组数中正整数的个数相等． 2 7，－8 3 1 ，0，－100，＋3 3 ，－9.21，－0.01,36，－ 2，－10%，＋200，－24. 5 (1) 问张红、李强坐的各是第几号位置？ (2) 若这次参加英语沙龙的人数是张红座位号的 3 倍与李强座位号的 5 倍的和，问这次参加英语沙龙的学生有多少人？ 【详解】解：(1)张红的座位号是 7，李强的座位号是 3； (2)3×7＋5×3＝36(人)，即这次参加英语沙龙的学生有 36 人． 13．将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1) 在A处的数是正数还是负数？ (2) 负数排在 A、B、C、D中的什么位置？ (3) 第 2021 个数是正数还是负数？排在对应于 A、B、C、D中的什么位置？ 【详解】(1)在A处的数是正数； (2) B和D的位置是负数； (3) 第 2021 个数是负数，因为 2021÷4＝505…1，所以第 2021 个数排在对应于B的位置． $