精品解析：广东江门市恩平市黄冈实验中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

恩平黄冈实验中学2025—2026学年度第二学期 高二年级第二次月考数学试卷 命题人：付书彪 审题人：李小聪 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率 进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当 时，市场占有率 约为（ ） A. 0.029 B. 0.031 C. 0.033 D. 0.035 3. 将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（ ） A. 70 B. 56 C. 35 D. 20 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 66 B. 16.5 C. 33 D. 24 5. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 6. 已知各项均为整数的数列中，， ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减； B. ； C. 函数在处取极大值； D. 函数在区间内有两个极小值点. 11. “暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，投壶2次游戏结束的概率为 B. 当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含x项的系数为______． 13. 年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 14. 对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“数列”．如果数列为函数的“数列”，，且，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8.设，证明：数列是等差数列； 16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：， . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内有两个极值点，，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 恩平黄冈实验中学2025—2026学年度第二学期 高二年级第二次月考数学试卷 命题人：付书彪 审题人：李小聪 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后代入可得. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 2. 某公司于2025年1月推出了一款产品，现对产品上市后经过的时间（单位：月）和市场占有率 进行统计分析，得到如下表数据： 1 2 3 4 5 0.004 0.007 0.012 0.017 0.020 由表中数据求得经验回归方程为，则当 时，市场占有率 约为（ ） A. 0.029 B. 0.031 C. 0.033 D. 0.035 【答案】C 【解析】 【分析】由给定的数据求出样本点的中心，进而求出，即可作答. 【详解】依题意：， 回归直线过样本点的中心， 所以，解得，即经验回归方程为， 当 时，， 所以当 时，市场占有率 约为0.033. 3. 将8棵相同的小多肉种进4个不同的花盆，要求每个花盆至少种1棵小多肉，则总的种法数为（ ） A. 70 B. 56 C. 35 D. 20 【答案】C 【解析】 【详解】由8棵相同的小多肉，种进4个不同的花盆，每个花盆至少1棵， 相当于把8个相同的元素分成4组，每组至少1个， 需要在8个元素之间的7个空隙中插入3个隔板， 即，所以总的种法数为 . 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 66 B. 16.5 C. 33 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 5. 已知随机变量X服从正态分布，且，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，利用导数分析函数单调区间即可. 【详解】因为，所以，所以， 求导得， 令， 所以的单调递增区间是. 故选：C. 6. 已知各项均为整数的数列中，， ，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，利用等比数列通项公式求值即可. 【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为，则，解得， 所以. 设第9项起依次成的等比数列的公比为，则，即. 所以. 故选：B. 7. 已知随机变量均服从两点分布，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列举法即可求解. 【详解】因为服从两点分布，且． 设，则， 由，解得．于是． 8. 已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由结合通项公式可得，再借助等差数列的性质及前项和逐项分析判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，，由，得， 即，因此，， 对于A，由，得，若，数列单调递增， 则，矛盾，因此，A正确； 对于B，由，得，则，， 而，则，，B正确； 对于C，由，得，而，则与异号， ，而的正负不确定，因此的符号不确定，C错误； 对于D，由，得，D错误. 故选：AB 10. 函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递减； B. ； C. 函数在处取极大值； D. 函数在区间内有两个极小值点. 【答案】BD 【解析】 【分析】先由给定的图象求得函数的单调性，进而逐一判断即可. 【详解】由图知，当时，，当时，， 当时，，当时，， 因此函数在上递增，在上递减，A错误，，B正确； 的极小值点为和，极大值点为，C错误，D正确. 故选：BD. 11. “暮春时节，兰亭雅集再现，文人雅士围坐庭中，以投壶为乐”，某同学进行投壶游戏，每次投壶的命中率为，且投壶结果互不影响，如果出现连续次命中，那么停止投壶，游戏结束，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，投壶2次游戏结束的概率为 B. 当时，投壶3次游戏结束的概率大于投壶4次游戏结束的概率 C. 当时，游戏结束时投壶总次数的数学期望为 D. 设游戏结束时投壶总次数的数学期望为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，直接利用独立事件概率乘法公式，计算两次投壶均命中的概率，验证投壶2次游戏结束的概率.选项B，分别分析投壶3次、4次游戏结束的条件，利用独立事件概率公式计算对应概率，再比较两者大小.选项C，采用递推法，分第一次投壶命中/未命中、第二次投壶命中/未命中的情况，建立关于数学期望的方程，求解得到期望.选项D，考虑首次达到连续次命中后的下一次投壶结果（命中/未命中），建立与的递推方程，整理验证是否成立. 【详解】对于A，投壶2次均命中即游戏结束，概率为，A正确； 对于B，投壶3次游戏结束的事件为“第2，3次命中，第1次不中”，概率为， 投壶4次结束的事件为“第3，4次必须命中， 且第2次必须不中（否则游戏在第3次或第2次就已结束），第1次投壶结果不影响”， 概率为，两者概率相等，B错误； 对于C，当时，即出现连续2次命中，那么停止投壶，游戏结束， 设投壶的总次数的数学期望为，考虑第一次投壶的结果： ①第一次命中， 若第一次命中，第二次也命中（概率为），则投壶总次数为2； 若第一次命中，第二次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； ②第一次未命中（概率为），则游戏重置，投壶的总次数可看作； 则，解得，C正确； 对于D，由题意，设为出现连续次命中，则停止投壶，游戏结束时投壶总次数的数学期望， 在连续次命中，停止投壶的游戏中，考虑首次达到出现连续命中次的时刻， 此时当前投壶的总次数期望为，即出现连续次都投壶命中，那么现在从此状态开始， 游戏还需要进行直至停止（即连续次命中），则考虑下一次投壶的结果： ①若下一次投壶命中（概率为），则出现连续次命中，停止投壶，游戏结束， 即投壶的总次数可看作次； ②若下一次投壶不中（概率为），则游戏重置，还需再进行次投壶， 游戏才能结束，即投壶的总次数可看作次； 综上，故，整理得，，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中含x项的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可. 【详解】的通项公式为， 令，得，所以含x项的系数为. 故答案为：. 13. 年月日某市新冠疫情爆发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸，由于高二年级学生人数较多，要求高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配名志愿者，每名志愿者只能在个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为______.（用数字作答） 【答案】80 【解析】 【详解】根据题意，名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸， 则可分为和两类， 第一类，按分组，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法； 第二类，按，有种分组方法， 再分到三个教学楼且高二教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数， 则2人组去高二，则有种分配方法， 则共有种方法， 则不同的分配方法共有种. 14. 对于函数，若数列满足，则称数列为函数的“数列”．如果数列为函数的“数列”，，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据“N数列”的定义求出与的关系，再据此推出与的关系，最后根据等比数列的通项公式求出. 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， ， 所以， 所以， 即，又， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8.设，证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由等比数列的通项公式，建立关于的关系式，求出数列的通项公式，进而得到数列的通项公式，证明即可. 【详解】由于2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列， 其中第1个数为1，第2n＋2个数为8， 由等比数列的通项公式，可得其第2n＋2项为：， 且，可得：， 所以，可得， 则， 所以数列是以为首项为公差的等差数列. 16. 全国“村BA”篮球赛点燃了全民的运动激情，深受广大球迷的喜爱.每支球队都有一个或几个主力队员，现有一支“村BA”球队，其中甲球员是其主力队员，经统计该球队在某个赛季的所有比赛中，甲球员是否上场时该球队的胜负情况如表. 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 45 未上场 3 合计 42 （1）完成列联表，并判断依据小概率值的独立性检验，能否认为球队的胜负与甲球员是否上场有关； （2）由于队员的不同，甲球员主打的位置会进行调整，根据以往的数据统计，甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）当甲球员上场参加比赛时，求球队赢球的概率； （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下，求甲球员打中锋的概率.（精确到0.01） 附：， . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得出的列联表，求得，结合附表，即可求解； （2）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球，结合全概率公式，即可求解； （ii）根据题意，利用条件概率的计算公式和贝叶斯公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得的列联表： 甲球员是否上场 球队的胜负情况 合计 胜 负 上场 40 5 45 未上场 2 3 5 合计 42 8 50 零假设：球队的胜负与甲球员是否上场无关 此时， 所以，有99%的把握认为球队的胜负与甲球员是否上场有关. 【小问2详解】 解：由甲球员上场时，打前锋、中锋、后卫的概率分别为0.3，0.5，0.2，相应球队赢球的概率分别为0.7，0.8，0.6. （i）设事件：甲球员上场打前锋，事件：甲球员上场打中锋，事件：甲球员上场打后卫，事件：球队赢球， 则, 所以，当甲球员上场参加比赛时，球队赢球的概率： . （ii）当甲球员上场参加比赛时，在球队赢了某场比赛的条件下， 甲球员打中锋的概率为. 17. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）证明：函数只有一个零点； 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数证明恒成立，再探讨在无零点，结合即可得证明. 【小问1详解】 函数，求导得，则，又， 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，，则恒成立， 在上无零点； 当 时，； 当时，令，则， 令，则，即在上单调递增， 则，函数在上单调递增， 因此，则当，恒成立，在上无零点， 所以函数只有一个零点. 18. 已知数列满足． （1）证明：数列为等差数列； （2）设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的图象在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若在定义域内有两个极值点，，求证：. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，分类讨论 的值，由导数求出函数的单调区间. （3）由极值点的性质以及韦达定理得出，构造函数，利用导数证明不等式. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 令，， 当 ，即时，恒成立，即，函数在上单调递减， 当，即时，令，解得， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 【小问3详解】 由函数在定义域上有两个极值点，得且是方程的两个不等实根， 则， ， 设，则，函数在上为减函数， 因此，所以成立. 【点睛】关键点睛：在问题二中，关键在于由极值点的性质结合韦达定理将双变量问题，转化为单变量问题，从而由导数证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $