精品解析：广东清远市博爱学校2025-2026学年第二学期高二第二次教学质量监测数学试题

清远市博爱学校2025-2026学年第二学期 高二年级第二次教学质量监测 数学试题 命题人：王章才 审题人：许保民 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．各卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的班级、姓名和考号填写在答题卡上． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，监考老师将答题卷收回，试卷学生自己保留． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 13 B. 16 C. 23 D. 26 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 4. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 以下求导正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，函数恰有两个不同的零点，则的最大值和最小值的差是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为 11. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 1 2 P A. B. 的值最大 C. 随着p的增大而增大 D. 当时， 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的分布列如下表所示，若，则_________． 13. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点（1，2）处的切线方程是___________. 14. 已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为______． 四、解答题：（本题共5小题，记77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． （1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 17. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表： 性别 足球 合计 喜欢 不喜欢 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ （2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围. 19. 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为. （1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； （2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清远市博爱学校2025-2026学年第二学期 高二年级第二次教学质量监测 数学试题 命题人：王章才 审题人：许保民 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟； 2．各卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的班级、姓名和考号填写在答题卡上． 3．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，监考老师将答题卷收回，试卷学生自己保留． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. （ ） A. 13 B. 16 C. 23 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合数的运算求解. 【详解】, 故选：C. 2. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布密度曲线关于对称， . 故选： . 3. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，代入 ，求出答案. 【详解】，令 得，解得. 故选：B 4. 某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的均值公式、方差公式、均值性质以及概率公式计算可得答案. 【详解】因为，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：D 5. 以下求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等函数的求导公式逐项求解作答. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 故选：A 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据通项公式可求出结果. 【详解】通项公式为， 令，得 ， 所以展开式中的系数为. 故选：A 7. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可构造函数，再求导判断单调性，即可求解. 【详解】， 设，则， 当 时，则 单调递增， 当 时，则单调递减， ，即， 故选：B 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 8. 已知函数，函数恰有两个不同的零点，则的最大值和最小值的差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出的图象，数形结合可得的取值范围，将用表示，构造函数，利用导函数讨论单调性求解. 【详解】作出的图象如下， 由图象可知，当，即时，函数有2个交点， 即函数恰有两个不同的零点， 因为，所以，可得， 则， 构造函数，， 令解得，，令解得，， 所以在单调递减，单调递增， 所以， 所以函数的最大值和最小值之差为， 所以的最大值和最小值的差是， 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法可得. 【详解】A选项：当时，得，即 ，故A正确； B选项：当 时，得， 即，故B错误； C选项：当时，得， 故，即C正确； D选项：， 故D错误； 故选：AC 10. 袋子里有大小和形状完全相同的5个小球，其中红球2个，蓝球3个，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出蓝球”为事件，“第二次摸出红球”为事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 摸球两次，恰有一个是红球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式、条件概率公式、互斥事件的加法公式计算可得答案, 【详解】依题意可得，故A正确； ，故B不正确； 所以，故C正确； 第一次摸出蓝球，第二次摸出红球的概率为， 第一次摸出红球，第二次摸出蓝球的概率为， 所以摸球两次，恰有一个是红球为事件，故D不正确. 故选：AC 11. 设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（ ） 0 1 2 P A. B. 的值最大 C. 随着p的增大而增大 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据的范围可判断选项A正确； 给取特殊值验证选项B错误； 求出，根据二次函数的单调性进行判断选项C； 根据方差公式求出，从而判断选项D. 【详解】，所以A正确； 令，则，，所以B错误； 由题意得， 因为，所以随着p的增大而减小，所以C错误； 当时，， ，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知随机变量的分布列如下表所示，若，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用分布列的性质结合期望公式可得出关于、 的方程组，解出这两个量的值，结合表格可求得的值. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 因此，. 故答案为：. 13. 已知为奇函数，当时，，则曲线在点（1，2）处的切线方程是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据是奇函数，求出时的解析式，再求出，，由导数的几何意义可知，即切线的斜率，进而利用在某切点 的切线方程公式进行求解 【详解】当时，，所以，又因为为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以曲线在点（1，2）处的切线方程是，即 故答案为： 14. 已知多项选择题的四个选项A，B，C，D中至少有两个选项正确，规定：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．若某题的正确答案是，小明完全不知道四个选项的正误，则在小明得分的情况下，拿到2分的概率为______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据条件概率求解方法，分别求出小明得分的样本点个数与小明得2分的样本点个数即可. 【详解】设事件 小明得分；事件 小明得2分， 则小题得分指小明从中选一个，两个或三个填写，有种不同的方法； 事件有种不同的方法； 故， 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，记77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数． （1）这个五位数为奇数，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） （2）要求3和4相邻，则不同的五位数有多少个？（结果用数值表示） 【答案】（1）72 （2）48 【解析】 【分析】（1）先从1，3，5中选一个填入个位，其他数字全排即可求解； （2）先排好3和4：可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，然后其他数字全排即可求解. 【小问1详解】 从1，3，5中选一个填入个位，有种， 剩余四个位置全排列，有种， 故共有个． 【小问2详解】 3和4相邻，可以在第1，2位或第2，3位或第3，4位或第4，5位这4个位置中选1个，然后3和4内部全排列，有种， 其他位置进行全排列，有种， 故共有个． 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）判断的零点个数，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负，结合函数定义域，即可判断单调性； （2）利用分离参变量与数形结合，即可得到零点个数的判断. 【小问1详解】 由，求导得：， 当时，，当或时，， 所以在,上单调递减，在上单调递增; 【小问2详解】 由得，，根据（1）的单调性结合极小值点， 可作出函数图象， 所以当，即 时，可判断的零点个数为2； 当或，即 或时，可判断的零点个数为1； 当，即时，可判断的零点个数为0， 综上可得：当 时，的零点个数为2； 当时的零点个数为0；当 或时，的零点个数为1. 17. 某校“足球社团”为了解学生对足球的喜欢是否与性别有关，现采用问卷调查，得到如下列联表： 性别 足球 合计 喜欢 不喜欢 男生 30 20 50 女生 10 20 30 合计 40 40 80 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生性别与喜欢足球有关联？ （2）现从喜欢足球的学生中按性别比例进行分层抽样，抽取8人组成志愿服务队.再从志愿服务队中抽取3人进行宣传报导活动，记抽到3人中的男生人数为，求随机变量的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析； 【解析】 【分析】（1）根据题意，由的公式代入计算，即可求解； （2）根据题意，由超几何的概率计算公式，代入计算，即可得到分布列，从而得到期望. 【小问1详解】 零假设为：喜欢足球与性别之间无关联. 根据列联表，由得， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜欢足球与性别之间有关联. 【小问2详解】 在分层抽样中，喜欢足球的男生有6人，女生有2人，则的可能取值为 且， 则的分布列为 1 2 3 则 18. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切点既在切线上又在曲线上，建立方程组即可求得a，b的值，进而求得的解析式； （2）构造函数，根据的单调性，证明函数即可； （3）由于，分离出参数k，构造，则原问题转化为，求出函数的最小值即可得k的取值范围． 【小问1详解】 由题可得， ∵曲线在处的切线方程为， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 证明：令， 则，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵对任意的恒成立， ∴对任意的恒成立， 令，， 则， 由（2）可知当时，恒成立， 令 ，可得 ；令，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为． 19. 现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分. 前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局. 在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜. 在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方. 经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为. （1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； （2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第个回合拥有发球权的概率为. 假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小. 【答案】（1） （2），甲队开球的概率大于乙队开球的概率． 【解析】 【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解； （2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解． 【小问1详解】 在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况， 对应的概率分别为，，， 所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率； 【小问2详解】 根据全概率公式得， 即， 易知，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以， 而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率． 【点睛】方法点睛： 甲队在第i个回合拥有发球权的概率为，由全概率公式得，问题转化为数列的递推公式，通过构造等比数列，求出通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $