（预习篇）第五讲 有理数的加法（加法法则与运算律）【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+四大题型讲练+难度分层练 共32题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接讲义

2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第五讲 有理数的加法（加法法则与运算律）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+四大考点讲练+难度分层练 共32题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 有理数的加法 【学习目标】 1.会进行有理数的加法运算． 2.感受有理数加法法则的合理性，感悟分类及归纳的思想，发展运算能力． 【问题情境】 2025年江苏城市足球联赛常规赛在2025年5月—9月进行．常规赛阶段13支参赛球队采用主客场单循环赛制，共13轮． 常规赛决定名次办法： (一)每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，积分多的球队名次列前； (二)如果两队或两队以上积分相等，依下列顺序排列名次： 1.积分相等队之间相互比赛积分多者，名次列前；　　 2.积分相等队之间相互比赛净胜球多者，名次列前； ……什么是净胜球？如何计算球队的净胜球数? 【新知探究】 净胜球数是指进球数(正数)与失球数(正数)的差． 某支球队主场赢了3球，记作“＋3”，客场输了2球，记作“－2”，则该队两场比赛的净胜球数为+1，可以用加法算式表示为(＋3)＋(－2)＝＋1： 仿照上式填写表中的空格： 比赛的结果还有哪些可能性？ 【讨论交流】 依据上表中的算式，两个有理数相加有哪几种情况？ 1. 两个加数的符号相同．符号不变，绝对值相加. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 2. 两个加数的符号不同．和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于较大的绝对值减去较小的绝对值. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 3. 两个加数中有一个是0．结果等于另一个加数. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 【新知归纳】 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数与0相加，仍得这个数．（小学数学中的加法的实质是绝对值相加．） 【典例分析】 例1 计算： （1）(－15)＋(－3)；　　　　　（2）(－180)＋(＋20)； 因为＝180，＝20， 180＞20，所以和的符号为负． 判断加法的类型，确定用加法法则中的哪一条，确定和的符号和绝对值的计算方法，进行绝对值的加减运算。 【归纳总结】 有理数加法运算的步骤： (1) 断类型：判断加法的类型，确定用加法法则中的哪一条； (2) 定符号：再确定和的符号和绝对值的计算方法： (3) 算绝对值：最后进行绝对值的加减运算. 有理数加法法则口诀：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”， 符号跟着“大”的跑；互为相反“0”正好；数0相加变不了. 【讨论交流】 对于任意一个数，加上一个数后，和比原来的数大还是小？为什么？ 解：一个数加上一个正数，和比原来的数大； 一个数加上一个负数，和比原来的数小； 一个数加上0，和与原来的数一样． 【拓展提升】 “分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题： 已知｜a｜＝7，｜b｜＝3，求a＋b的值. 【课堂小结】 新知学习二 有理数加法运算律 【学习目标】 1. 理解有理数的加法交换律与结合律． 2.能用加法运算律简化计算，发展运算能力． 【知识回顾】 【问题情境】 把 ， ， 中的数换成其他有理数，两个算式的结果仍相等吗？ 【新知归纳】 事实上，小学里学过的加法交换律、结合律，在有理数范围内仍然适用. 有理数加法运算律 交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 字母表示：a＋b＝b＋a 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1. 根据有理数加法运算律，在进行有理数加法运算时，可以交换加数的位置，也可以把其中的几个数先相加. 2. 式子中的字母分别表示任意一个有理数，即可以是整数，又可以是分数；即可以是正数又可以是负数或0，同一个式子中，同一个字母只能表示同一个数.怎样计算简便呢? 这样做的依据是什么? 【典例分析】 例1 计算：(1) (－24)＋(＋65)＋(－16)； 利用运算律，将 加数“凑整”, 可以简化计算. (2) (－2.6)＋(－3.8)＋(－1.7)＋3.8； （3）(－3.75)＋2.85＋ (－ )＋(－)＋3.15＋(－2.5)． 【讨论交流】 我们在哪些情况下考虑使用加法运算律呢？ 1. “凑零法”—互为相反数的两个数相加； 2. “同号结合法”—符号相同的数分别结合在一起相加； 3. “同分母结合法”—分母相同的数结合相加； 4. “凑整法”—相加得到整数的几个数相加. 【探究思考】 根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为0．反过来，如果两个数的和为0，那么这两个数一定互为相反数吗？请举例说明． 举例：－1＋1＝0，－1与1互为相反数；0＋0＝0，0的相反数还是0，等等. 证明如下：设这两个数分别为a、b， 因为a＋b＝0， 所以a＋b＋(－b)＝0＋(－b). 所以a＝－b. 所以a，b互为相反数. 【新知归纳】 一般地，我们有：如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数． “两个数和为0”与“两个数互为相反数”是等价的． 【拓展提升】 1. 已知两数a，b，判断a－b与b－a是否互为相反数，并说明理由． 2. 阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题. ①计算：－＋(－)＋＋(－). ②仿照上面的方法计算：(－)＋(－)＋4042＋(－). 【课堂小结】 知识点一 有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点二 有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 技巧点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 考点一 有理数法运算 【典例精讲】（25-26七年级·全国·暑假作业）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 【变式训练2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 考点二 有理数法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【变式训练2】（25-26七年级上·福建·期中）已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有：_______． 考点三 有理数法在生活中的应用 【典例精讲】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 考点四 有理数法运算律 【典例精讲】计算： (1) ； (2)． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【基础通关能力提升】 1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 2．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 7．计算 (1) (2) (2) (4) 8．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 9．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 3．图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 5．是应用了______律． 6．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 7．如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 8．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A与点B的距离是2，记作，以下类同，，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，则p的值为 ；若以C为原点，则p的值为 ； (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，则p的值为 ，在此基础上，将原点O向右移动a（）个单位，则p的值为 ；（用含a的式子表示） (3)若原点O在点B与C之间，且，则 ； (4)若原点O从点C出发沿着数轴向左运动，当时，求的值． 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 11．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第五讲 有理数的加法（加法法则与运算律）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+四大考点讲练+难度分层练 共32题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 有理数的加法 【学习目标】 1.会进行有理数的加法运算． 2.感受有理数加法法则的合理性，感悟分类及归纳的思想，发展运算能力． 【问题情境】 2025年江苏城市足球联赛常规赛在2025年5月—9月进行．常规赛阶段13支参赛球队采用主客场单循环赛制，共13轮． 常规赛决定名次办法： (一)每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分，积分多的球队名次列前； (二)如果两队或两队以上积分相等，依下列顺序排列名次： 1.积分相等队之间相互比赛积分多者，名次列前；　　 2.积分相等队之间相互比赛净胜球多者，名次列前； ……什么是净胜球？如何计算球队的净胜球数? 【新知探究】 净胜球数是指进球数(正数)与失球数(正数)的差． 某支球队主场赢了3球，记作“＋3”，客场输了2球，记作“－2”，则该队两场比赛的净胜球数为+1，可以用加法算式表示为(＋3)＋(－2)＝＋1： 仿照上式填写表中的空格： 比赛的结果还有哪些可能性？ 【讨论交流】 依据上表中的算式，两个有理数相加有哪几种情况？ 1. 两个加数的符号相同．符号不变，绝对值相加. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 2. 两个加数的符号不同．和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于较大的绝对值减去较小的绝对值. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 3. 两个加数中有一个是0．结果等于另一个加数. 观察和的符号与加数的符号，和的绝对值与加数的绝对值之间有什么关系？ 【新知归纳】 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 一个数与0相加，仍得这个数．（小学数学中的加法的实质是绝对值相加．） 【典例分析】 例1 计算： （1）(－15)＋(－3)；　　　　　（2）(－180)＋(＋20)； 因为＝180，＝20， 180＞20，所以和的符号为负． 判断加法的类型，确定用加法法则中的哪一条，确定和的符号和绝对值的计算方法，进行绝对值的加减运算。 【归纳总结】 有理数加法运算的步骤： (1) 断类型：判断加法的类型，确定用加法法则中的哪一条； (2) 定符号：再确定和的符号和绝对值的计算方法： (3) 算绝对值：最后进行绝对值的加减运算. 有理数加法法则口诀：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”， 符号跟着“大”的跑；互为相反“0”正好；数0相加变不了. 【讨论交流】 对于任意一个数，加上一个数后，和比原来的数大还是小？为什么？ 解：一个数加上一个正数，和比原来的数大； 一个数加上一个负数，和比原来的数小； 一个数加上0，和与原来的数一样． 【拓展提升】 “分类讨论”是我们在解决数学问题的过程中常用到的数学思想，请运用分类讨论的数学思想解答下面的问题： 已知｜a｜＝7，｜b｜＝3，求a＋b的值. 解：　因为｜a｜＝7，｜b｜＝3， 所以a＝±7，b＝±3. 当a＝7，b＝3时，a＋b＝10； 当a＝7，b＝－3时，a＋b＝4； 当a＝－7，b＝3时，a＋b＝－4； 当a＝－7，b＝－3时，a＋b＝－10. 综上所述，a＋b的值为4或－4或10或－10. 【课堂小结】 新知学习二 有理数加法运算律 【学习目标】 1. 理解有理数的加法交换律与结合律． 2.能用加法运算律简化计算，发展运算能力． 【知识回顾】 【问题情境】 把 ， ， 中的数换成其他有理数，两个算式的结果仍相等吗？ 【新知归纳】 事实上，小学里学过的加法交换律、结合律，在有理数范围内仍然适用. 有理数加法运算律 交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变． 字母表示：a＋b＝b＋a 结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变． 字母表示：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 1. 根据有理数加法运算律，在进行有理数加法运算时，可以交换加数的位置，也可以把其中的几个数先相加. 2. 式子中的字母分别表示任意一个有理数，即可以是整数，又可以是分数；即可以是正数又可以是负数或0，同一个式子中，同一个字母只能表示同一个数.怎样计算简便呢? 这样做的依据是什么? 【典例分析】 例1 计算：(1) (－24)＋(＋65)＋(－16)； 解：(1) (－24)＋(＋65)＋(－16) ＝(－24)＋(－16)＋(＋65)利用运算律，将 加数“凑整”, 可以简化计算. ＝[(－24)＋(－16)]＋(＋65) ＝(－40)＋(＋65) ＝＋(65－40) ＝25； (2) (－2.6)＋(－3.8)＋(－1.7)＋3.8； 解：(2) (－2.6)＋(－3.8)＋(－1.7)＋3.8 ＝(－2.6)＋(－1.7)＋(－3.8)＋3.8 ＝[(－2.6)＋(－1.7)]＋[(－3.8)＋3.8] ＝－4.3＋0 ＝－4.3； (3) (－3.75)＋2.85＋ (－ )＋(－)＋3.15＋(－2.5)． 解：(4) (－3.75)＋2.85＋ (－）＋(－＋3.15＋(－2.5) ＝[(－)＋(－)＋(－)＋(－)]＋(2.85＋3.15 ) ＝(－8 )＋6 ＝－2 . 【讨论交流】 我们在哪些情况下考虑使用加法运算律呢？ 1. “凑零法”—互为相反数的两个数相加； 2. “同号结合法”—符号相同的数分别结合在一起相加； 3. “同分母结合法”—分母相同的数结合相加； 4. “凑整法”—相加得到整数的几个数相加. 【探究思考】 根据有理数加法法则，互为相反数的两个数的和为0．反过来，如果两个数的和为0，那么这两个数一定互为相反数吗？请举例说明． 举例：－1＋1＝0，－1与1互为相反数；0＋0＝0，0的相反数还是0，等等. 证明如下：设这两个数分别为a、b， 因为a＋b＝0， 所以a＋b＋(－b)＝0＋(－b). 所以a＝－b. 所以a，b互为相反数. 【新知归纳】 一般地，我们有：如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数． “两个数和为0”与“两个数互为相反数”是等价的． 【拓展提升】 1. 已知两数a，b，判断a－b与b－a是否互为相反数，并说明理由． 解：a－b与b－a是互为相反数，理由如下： 因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a) ＝[(a＋(－a)]＋[(－b)＋b] ＝0＋0 ＝0. 所以a－b与b－a是互为相反数． 2. 阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题. ①计算：－＋(－)＋＋(－). 解：原式＝[(－5)＋(－)]＋[(－9)＋(－)]＋(17＋)＋[－3＋(－)] ＝[(－5)＋(－9)＋(－3)＋17]＋[(－)＋(－)＋＋(－ )] ＝0＋(－) ＝－. 上述这种方法叫作拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便. ②仿照上面的方法计算：(－)＋(－)＋4042＋(－). 【课堂小结】 知识点一 有理数的加法法则 1.加法法则 加数类型 加法法则 典型范例 同号两数相加 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加 异号两数相加，绝对值相等时，和为0 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一数与0相加 一个数同0相加，仍得这个数 2.有理数加法运算的步骤： 第一步：先看两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则； 第二步：根据加法法则确定和的符号(是“+”还是“－”)． 第三步：求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减：同则加，异则减)． 知识点二 有理数的加法运算律 1.加法运算律： （1）加法交换律： （2）加法结合律： 技巧点拨： （1）加法运算律的作用：简化运算，凑整，凑同号； （2）交换加数的位置时，不要忘记符号． 考点一 有理数法运算 【典例精讲】（25-26七年级·全国·暑假作业）下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 【变式训练1】（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）数轴上点A表示，将点A向右移动5个单位长度后表示的数是_____． 【答案】2 【详解】解：∵数轴上点表示， ∴将点向右移动5个单位长度后表示的数是． 【变式训练2】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 考点二 有理数法中的符号问题 【典例精讲】（25-26七年级上·福建福州·期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且b与c互为相反数，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，掌握相反数的定义，化简绝对值，由数轴可知，，，由b与c互为相反数，得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵b与c互为相反数， ∴，故选项A正确； 由数轴图可知，，，，故选项C正确； ∴，， 故选项B错误；选项D正确； 故选：B． 【变式训练1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 【变式训练2】（25-26七年级上·福建·期中）已知数轴上从左往右依次有A、B、C、D、E、F、G七个点，分别表示有理数a、b、c、d、e、f、g，其中点D到点B的距离等于点D到点F的距离．若，则上述七个有理数中一定是负有理数的有：_______． 【答案】 a、b、c、d 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，中点的定义， 根据点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点，结合数轴上的顺序和，推导出点B表示的数b一定为负数，从而点A表示的数a也为负数，进一步推导出点D表示的数d一定为负数，点C表示的数c也一定为负数． 【详解】解：点B、D、F表示的数分别为b、d、f， 点D到点B和点F的距离相等，得出点D是点B和点F的中点， 得， 解得． 由数轴上点的顺序可知，由，且， 知b一定为负数， 所以，a为负数， 由和， 分情况讨论：若b和f均为负数，则； 若b为负数、f为正数，由得，则， 因此d一定为负数． 由，且c在b与d之间，故c一定为负数， 综上，点A、B、C、D表示的数一定为负有理数． 故答案为：a、b、c、d． 考点三 有理数法在生活中的应用 【典例精讲】一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶，某一天早晨从地出发，晚上到达地，约定向北为正向南为负，当天记录如下：（单位：千米） ，，，，，，， (1)问地在地何处，相距多少千米？ (2)若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地南边，相距117千米 (2)这一天共耗油57升 【分析】（1）求出8个记录的代数和，即可得出答案； （2）求出8个记录的绝对值的和，再乘以0.2即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地南边，相距117千米； （2）解：（千米）， （升）， 答：这一天共耗油57升． 【变式训练1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间，同一时刻的莫斯科时间是．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据北京时间比莫斯科时间早5小时解答即可． 【详解】解：小丽的通话时间范围是北京时间； 小红的通话时间范围（莫斯科时间）换算为北京时间是至次日． 两人共同通话时间范围为北京时间， 选项中只有在此范围内， 故这个时刻可以是北京时间． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． (1)地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)地在地的南边，它们相距5千米 (2)这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 考点四 有理数法运算律 【典例精讲】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)35 【分析】（1）先化简绝对值与去括号，再利用加法运算律将互为相反数的项合并，最后计算剩余部分即可得到结果； （2）先化简绝对值与去括号，再利用加法交换律和结合律，将同分母分数与小数分别分组计算，最后求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练1】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 【详解】原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础通关能力提升】 1．比大4的数是(     ) A．1 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题意列出加法算式，再按照有理数加法法则计算结果即可． 【详解】解： 2．已知有理数，，则，，，中最大的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需先根据a、b的符号判断各表达式的正负与a、b的大小关系，再通过作差比较四个数的大小． 【详解】解：∵有理数，， ∴， 作差比较可得：，故； ，故； ，故， 是最大的数． 3．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）已知为有理数，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小，有理数加法，根据题意得到，进而根据有理数的大小比较法则分析得出结论即可． 【详解】解： ， ， ， 故选：D． 4．某冷库初始的温度为，先下调了，之后因生产需要，又上调了，如果把温度下调记为负，上调记为正，下列冷库温度的计算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目规定的正负意义，将初始温度和两次温度变化转化为正确的有理数加法算式，即可选出正确选项. 【详解】解：∵题目规定温度下调记为负，上调记为正，初始温度为， ∴下调记为，上调记为， ∴调整后冷库的温度为：. 5．（25-26七年级上·广东江门·期中）计算：_______． 【答案】1008 【分析】本题考查有理数加法的简便运算，从左边第一个数开始，相邻的两个数为一组，每组的值为，共有组还剩余2015，由此可解，正确分组是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1008． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）将不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记为，比如，那么______． 【答案】 【分析】本题考查新有理数的运算，先根据题目中的定义得到正确的有理数，再进行有理数的加法运算求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 7．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 8．（24-25七年级上·山西吕梁·阶段检测）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 9．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是（    ） A．和 B．和 C．0和3 D．和6 【答案】A 【分析】分所求点在已知点左侧、右侧两种情况计算，避免漏解. 【详解】解：由题意，， 即数轴上与表示的点距离 3 个单位长度的点表示的数是和. 2．根据有理数加法法则，计算过程正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值．先判断两个加数是异号，再判断绝对值大小，根据加法法则解答即可． 【详解】解：∵3与异号，且，，， ∴． 3．图是李叔叔月日至日的微信零钱明细，其中正数表示收款，负数表示付款，月日扫二维码付款给便利店后余额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元，所以李叔叔月日至日扫码付款给超市元之前的钱数即为月日扫二维码付款给便利店后余额，即为元． 【详解】解：李叔叔月日至日扫码付款给超市元后的余额为元， 月日扫二维码付款给便利店后余额为元． 故选：C． 4．（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）下面是小梦做的一道计算题的解题过程，和代表的计算依据分别是（    ） 解： ． A．有理数减法法则、加法结合律 B．加法结合律、加法交换律 C．加法交换律、加法结合律 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，运算律，根据有理数加法法则，运算律即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ∴第一步到第二步交换了加数的位置，使用了加法交换律；第二步到第三步改变了加法的分组方式，使用了加法结合律， ∴和代表的计算依据分别是加法交换律、加法结合律， 故选：． 5．是应用了______律． 【答案】结合 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加减混合运算法则进行求解是解决本题的关键． 应用有理数加减混合运算法则进行判断即可得出答案． 【详解】解：是应用了结合律． 故答案为：结合． 6．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 【答案】收入元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减的应用，将所有收支数据相加，最后根据结果的符号和数值确定最终结果，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：， 故王老师当天微信收支的最终结果是收入元， 故答案为：收入元． 7．如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 8．（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，熟知有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加法运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 9．（25-26七年级上·江苏常州·期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A与点B的距离是2，记作，以下类同，，设点A，B，C所对应数的和是p． (1)若以B为原点，则p的值为 ；若以C为原点，则p的值为 ； (2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且，则p的值为 ，在此基础上，将原点O向右移动a（）个单位，则p的值为 ；（用含a的式子表示） (3)若原点O在点B与C之间，且，则 ； (4)若原点O从点C出发沿着数轴向左运动，当时，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) (4) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，有理数的加减混合运算，整式的加减运算，及一元一次方程的应用，能求出符合的每种情况是解此题的关键，注意要进行分类讨论． （1）根据已知点A到点B的距离为2和点C到点B的距离为3求出即可； （2）首先由已知求出C对应的数，再分别求出每种情况A、B对应的数，求得p，最后减去即； （3）求得点C对应的数是2，点B对应的数是，点A对应的数是，据此求解即可； （4）分为三种情况，原点O在点B与C之间时，当原点O在点A与B之间时，若原点O在点A的左侧，求出A、B、C对应的数，列出算式，即可求出． 【详解】（1）当B为原点时，点A对应的数是，点C对应的数是3，； 当以C为原点时，A、B对应的数分别为，，， 故答案为：1，； （2）， 在此基础上，将原点O向右移动个单位， 则， 故答案为：； （3）解：原点O在点B与C之间，且，点C对应的数是2，点B对应的数是，点A对应的数是，， 故答案为： （4）解：①若原点O在点B与C之间，设，则， 解得：，不合题意舍去； ②若原点O在点A与B之间，设，则， 解得：，此时； ③若原点O在点A的左侧，设，则， 解得：，不合题意舍去； 综上所述：． 10．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）【用数学的眼光观察】 观察下列等式，定义运算： ； ， ． 【用数学的语言表达】 (1)思考上述运算，归纳运算法则： 两数进行运算时：同号两数运算____，异号两数运算____，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍____． (2)计算写出最后化简结果： ①____； ②____； (3)若，则的值为________． 【答案】(1)结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数 (2)①30；② (3)2 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加减运算，观察等式，归纳运算法则是解题的关键． （1）根据已知等式可得运算法则； （2）根据（1）中所得运算法则进行计算即可； （3）先根据结果的正负判断出和的符号，再结合运算规律可得答案． 【详解】（1）解：两数进行运算时：同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；得这个数； （2）解：①； 故答案为：30； ②； 故答案为：； （3）解：∵， ∴与同号，即， ∴， ∵， ∴与异号，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．（25-26七年级上·广东惠州·期中）在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算，小米设计一种新运算“”，即对任意有理数，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，； 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①______________；②____________； ③_____________；④________________； 通过上面的计算可知：“绝佳”运算______________（填“满足”或者“不满足”）交换律． 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （2）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律，请帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足；（2）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴，， ∴； ∵，， ∴， 因为． ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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