（预习篇）第四讲 绝对值与相反数（暑假培优讲义）【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+九大题型讲练+难度分层练 共47题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接 讲义

null2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第四讲 绝对值与相反数「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+九大考点讲练+难度分层练 共47题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 绝对值 【学习目标】 1.能借助数轴说出数的绝对值的意义． 2.会求已知数的绝对值． 3.会进行简单的绝对值运算． 【问题情境】 小明家在学校正西方3km处，小丽家在学校正东方2km处． 他们以相同的速度跑去学校，所花的时间，与什么有关？与什么无关？ 与路程有关，与方向无关．你能用数轴上的点分别表示学校、小明家、小丽家的位置吗？ 【新知探究】 以学校位置为原点O，以正东方向为正方向，1个单位长度表示1km，画出数轴．点A，B分别表示小明家、小丽家的位置． 点A，点B与原点的距离分别是多少？ 【概念引入】 一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(absolute value)．数a的绝对值记为|a|，读作“a的绝对值”. 正数、零、负数的绝对值的结果分别是什么数？ 任意一个数的绝对值都是非负数. 【讨论交流】 如图，你能说出数轴上点A、B、C、D、E表示的数的绝对值吗？ 数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值越大； 反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，则这个数的绝对值越小． 绝对值只与距离有关，与正负无关． 因为点A与原点的距离是5，所以点A表示的数－5的绝对值是5． 因为点B与原点的距离是，所以点B表示的数－的绝对值是． 因为点C与原点的距离是1，所以点C表示的数1的绝对值是1． 因为点D与原点的距离是，所以点D表示的数5/2的绝对值是． 因为点E与原点的距离是5，所以点E表示的数5的绝对值是5． 【基础巩固】 读出下列各式，并说出它们表示的意义． ① |－3|＝3；② |0|＝0；③ |1.5|＝1.5． 解：①读作负3的绝对值等于3，在数轴上表示－3的点与原点的距离等于3； ②读作0的绝对值等于0，在数轴上表示0的点与原点的距离等于0； ③读作1.5的绝对值等于1.5，在数轴上表示1.5的点与原点的距离等于1.5． 【典例分析】 例1 求4，－3.5的绝对值． 解：如图，在数轴上分别画出表示4，－3.5的点A，B． 因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4，即|4|＝4； 因为点B与原点的距离是3.5，所以－3.5的绝对值是3.5，即|－3.5|＝3.5． 例2 已知一个数的绝对值是，求这个数． 解：如图，数轴上与原点的距离是的点有两个，它们是点A和点B，分别表示、－． 所以绝对值是的数有两个，它们是或－． 变式 1.有理数m，若|m|＝|－|，则m＝或− 2.若|a|＝|b|，那么a与b有怎样的关系？ a＝b或a＝－b 【尝试交流】 由于任意一个有理数的绝对值都是非负数，所以两个有理数的绝对值可以进行小学里学过的各种运算. 计算：(1) |3|＋|－2|；(2) |3|－|－2|； (3) |3|×|－2|； (4) |3|÷|－2|. 解： (1) |3|＋|－2|＝3＋2＝5；先化简绝对值，再按小学里学过的各种运算方法进行计算. (2) |3|－|－2|＝3－2＝1； (3) |3|×|－2|＝3×2＝6； (4) |3|÷|－2|＝3÷2＝. 【课堂小结】 新知学习二 相反数 【学习目标】 1. 能借助数轴说出数的相反数的意义． 2. 会求已知数的相反数． 3. 依据相反数的意义化简数的符号． 【问题情境】 手机移动支付给生活带来便捷. 右图是某用户微信的账单情况： 只有符号不同！ 【新知探究】 如图，观察数轴上点A，B的位置及它们到原点的距离，你有什么发现？ 继续观察4与－4，－2.5与2.5，与−，你有什么发现？ 你还能举出有这样特征的几对数吗？ 【概念引入】 只有符号不同的两个数称为互为相反数(opposite number)．特别地，0的相反数是0． 注意：①因为一个数是由符号和绝对值两部分组成，所以“只有符号不同”，即“符号不同，绝对值相同”； ②“相反数”是两个数之间的一种关系，单独的一个数不能称为相反数． 例如，5与－5互为相反数，也可以说5是－5的相反数，－5是5的相反数． 【典例分析】 例1 写出3，－4.5，的相反数，并在数轴上画出这些数以及它们的相反数对应的点． 解：3，－4.5，的相反数分别是－3，4.5，－．各数在数轴上对应的点如图所示． 在数轴上，表示互为相反数的两个点在位置上有什么特点？ 求一个有理数的相反数，符号改变、绝对值不变. 【新知归纳】 相反数的几何意义： 在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数． 因为互为相反数的两个数只相差一个负号，所以这两个数在数轴上的对应点到原点的距离相等．由此，我们得到：互为相反数的两个数绝对值相等． 也可以表示为：|－a|＝|a| ． 【典例分析】 例2 化简：(1)－(＋2.7)； (2)－(－3)． 解：(1)－(＋2.7)表示＋2.7的相反数， 因为＋2.7的相反数是－2.7， 所以－(＋2.7)＝－2.7； (2)－(－3)表示－3的相反数， 因为－3的相反数是3， 所以－(－3)＝3. 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．对于任意的数a都有－(－a)＝a，也就是说，一个数的相反数的相反数就是这个数本身. 【讨论交流】 “带‘－’号的数都是负数 ，带‘＋’号的数都是正数”，这种说法正确吗？请你举例说明． 【思维提升】 根据下图，用“＜”号按从小到大的顺序连接a，－a，b，－b． 解：如图， a＜－b＜b＜－a． 【归纳总结】 若a与b互为相反数，则a＋b＝0(或a＝－b)； 若a＋b＝0(或a＝－b)，则a与b互为相反数. 【课堂小结】 新知学习三 根据绝对值比较数的大小 【学习目标】 1.会用绝对值比较两个负数的大小． 2.知道|a|的含义，发展抽象能力和几何直观． 【知识回顾】 1. 数轴上,表示一个数的点到原点的距离,叫作这个数的绝对值.如|－2|＝2． 2. 只有符号不同的两个数称为互为相反数.例如，2的相反数是-2． 3. 在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大． 4. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 【尝试交流】 根据绝对值和相反数的意义填空，你有什么发现？ （1）|2.3|＝2.3，||＝，|6|＝6；正数的绝对值是它本身 （2）|－5|＝5，－5的相反数是5；|－10.5|＝10.5，－10.5的相反数是10.5； |－|＝，－的相反数是；负数的绝对值是它的相反数 （3） |0|＝0，0的相反数是0. 0的绝对值是0 【新知归纳】如果用字母a表示一个数，你知道的绝对值等于什么吗？ 由绝对值和相反数的意义可知： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 ． (1)当a＞0时，|a|＝a； (2)当a＜0时，|a|＝-a； (3)当a＝0时，|a|＝0. 【典例分析】 例1 求下列各数的绝对值： ＋6，－3，－2.7，0． 解：|＋6|＝6，|－3|＝3，|－2.7|＝2.7，|0|＝0． 判断:判断这个数是正数还是负数或0； 选择：根据这个数的性质选用相应的法则； 确定绝对值：根据选定的法则确定这个数的绝对值． 【讨论交流】 在两个正数中，绝对值较大的那个数一定大吗？两个负数呢？ 数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，绝对值越大越靠右，而在数轴上右边的数比左边的数大. 数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，绝对值越大越靠左，而在数轴上左边的数比右边的数小. 【新知归纳】 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 符号语言： (1) 当a＞0，b＞0时，若|a|＞|b|，则a＞b； (2) 当a＜0，b＜0时，若|a|＞|b|，则a＜b． 【典例分析】 例2 比较下列各组数的大小： (1) －9.5与－1.75； (2)－ 与－； 解：(1) 因为|－9.5|＝9.5，|－1.75|＝1.75，且9.5＞1.75，所以－9.5＜－1.75；(两个负数，绝对值大的负数小) (2) 因为|－|＝＝，|－|＝＝，且 ＜， 所以－＞－；(两个负数，绝对值大的负数小) (3) －(－3.75)与－(－3.68)； (4)－(－6)与－|－6|． 解：(3) 因为－(－3.75)＝3.75，－(－3.68)＝3.68，且3.75＞3.68 ， 所以－(－3.75)＞－(－3.68)；(两个正数，绝对值大的正数大) (4) 因为－(－6)＝6，－|－6|＝－6， 6＞－6， 所以－(－6)＞－|－6| (正数大于负数) 【归纳总结】 数的大小比较： 在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大；  正数都＞0，负数都＜0，正数＞负数； 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数小； 【探究交流】 当a＜2时，|a|也一定小于2吗？ 解：不一定． 当－2＜a＜2时，|a|＜2；当a＝－2时，|a|＝2； 当a＜－2时，|a|＞2． 【思维提升】 1. 已知a＜b，b＜0，比较a的绝对值、b的绝对值的大小，并写出两组满足该条件的数. 解：如图： 因为a＜b，b＜0，所以a，b都在原点的左侧，且a到原点的距离大于 b到原点的距离，即a在b的左侧．所以|a|＞|b|． 如a＝－5，b＝－2；a＝－4，b＝－1． 【课堂小结】 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 考点一 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）给出下列结论： ①若，则；②绝对值越大，数轴上点离原点越远； ③若，则；④任意有理数绝对值都是非负数． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【思路引导】根据绝对值的定义与性质，逐个判断四个结论的正误，统计正确结论的个数即可得到答案. 【规范解答】对于结论①，∵当时，，满足，但不小于， ∴ 结论①错误； 对于结论②，绝对值的几何意义是数轴上该数对应点到原点的距离，绝对值越大代表距离越大，即点离原点越远， ∴ 结论②正确； 对于结论③，举反例：取，，满足，但， ∴ 结论③错误； 对于结论④，根据绝对值的性质，任意有理数的绝对值都大于或等于，即都是非负数， ∴ 结论④正确． 综上，正确的结论共个． 【变式训练1】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：根据数轴可得，且 ∴． 【变式训练2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【思路引导】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【规范解答】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 考点二 求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路引导】先明确非负整数的定义是和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合要求的数的个数． 【规范解答】解：非负整数包含和正整数， 先化简各数：，，， 属于非负整数的数为，，，，共个 ． 【变式训练1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）_____________． 【答案】/ 【思路引导】先判断的正负性，再根据绝对值的性质化简即可得到结果. 【规范解答】解：∵， ∴. 【变式训练2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】(1)2， (2)数轴见解析， 【思路引导】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． 【规范解答】（1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 考点三 绝对值非负性 【典例精讲】①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 【答案】 ②④ 【思路引导】根据有理数的分类，绝对值的性质，数轴的意义，相反数的性质，逐个判断四个说法的正误，即可得到结果． 【规范解答】解：①整数分为正整数、0、负整数，0既不是正数也不是负数，因此一个整数还可能是0，故①错误； ②根据绝对值的非负性，可得，因此一定不是负数，故②正确； ③不是有理数，但也可以表示在数轴上，则数轴上的点不仅可以表示有理数，故③错误； ④正数的相反数是负数（小于它本身），负数的相反数是正数（大于它本身），0的相反数是0（等于它本身），则正数和0的相反数不大于它本身，所以一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数，故④正确． 则正确的说法有②④． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______ 【答案】124 【思路引导】该题考查了非负数的性质，代数式求值，利用非负数的性质，绝对值和平方数均为非负数，它们的和为零则每个部分均为零，从而求出x和y的值，再代入求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 解得：， 则． 故答案为：124． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或； (4)． 【思路引导】本题主要考查绝对值和数轴及两点间的距离公式，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键． （）根据绝对值的定义结合由数轴得出的符号即可得； （）根据数轴上两点间的距离公式即可得； （）设点表示的数为，则，，根据题意得，然后求出的值即可； （）根据移动的方向和距离，列出算式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，，且由数轴可知，， ∴，； （2）解：， ∴，两点相距个单位长度； （3）解：设点表示的数为， ∴，， ∵点到点的距离是点到点的距离的， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或； （4）解： ， 所以操作次后，点表示的数为． 考点四 绝对值的其他应用 【典例精讲】有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】最接近标准重量的排球，其重量与标准重量差的绝对值最小，通过计算各差值的绝对值并比较大小，即可得到答案． 【规范解答】解：∵，，，，且， ∴标号为1的排球最接近标准重量． 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）检测某款零件的质量，将超出标准长度的毫米数记为正数，不足标准长度的毫米数记为负数，现抽查4个零件的长度记录如表所示，则其中最接近标准长度的零件编号是（   ） 零件编号 1号 2号 3号 4号 长度 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】A 【思路引导】本题考查绝对值的实际应用，关键是理解“最接近标准长度”意味着该零件与标准长度的偏差的绝对值最小，通过计算每个零件长度偏差的绝对值并比较大小，即可确定最接近标准的零件． 【规范解答】解：∵，，，， 又∵， ∴1号零件的长度偏差绝对值最小，即最接近标准长度； 故选：A． 【变式训练2】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【思路引导】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 考点五 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，涉及相反数与绝对值的化简，先化简两个数，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数越小的规则进行比较即可． 【规范解答】解：先化简两个数，． 计算两个数的绝对值，． 因为，可得， 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得，即． 【变式训练1】下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（     ） A．荆门℃ B．荆州℃ C．襄阳2℃ D．宜昌4℃ 【答案】A 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 利用有理数大小比较的方法比较四个气温即可得到答案． 【规范解答】解：∵ 四个城市的最低平均气温分别为： ，，，，且，，， ∴， ∴ ， ∴ 最低平均气温最低的是荆门， 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【规范解答】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 考点六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）工厂生产了一批食品，每袋标准质量定为克，从中抽出袋检测，其质量与标准质量的差值（单位：克）分别为，，，，其中最接近标准质量的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：由，，，， ∵， ∴选项符合题意． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 【答案】A 【思路引导】本题考查负数比较大小的知识点，根据“绝对值大的负数反而小”的规则比较四个地区最低气温的大小即可得出答案．熟练掌握负数比较大小的方法是解题关键，注意负数比较时不要混淆绝对值与数的大小关系． 【规范解答】解：∵ 四个地区的最低气温分别为、、、， 又∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，，， 且， ∴ ， ∴ 最低气温最高的地区是石家庄． 故选：A． 【变式训练2】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】(1)编号为4的样品的大小最符合要求 (2)见解析 【思路引导】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 【规范解答】（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 考点七 相反数的定义 【典例精讲】如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（     ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 【答案】D 【规范解答】解：由数轴可知：点与点表示的数分别为、，所以它们是互为相反数． 【变式训练1】点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是相反数与数轴的相关知识，理解相反数的几何意义（互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，符号相反）是解题的关键．先根据数轴确定点表示的数的范围，再利用相反数的定义，得到点表示的数的范围，进而选出符合条件的选项． 【规范解答】解：由图得，点在之间，若点，表示的数互为相反数，则点应在之间，符合的选项为． 故选：． 【变式训练2】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 【答案】(1)互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ (2)最接近规格的是⑦号试管．理由见解析 【思路引导】本题主要考查绝对值以及相反数的定义，熟练掌握绝对值和相反数是解题的关键． （1）根据相反数的定义即可得到答案； （2）根据绝对值的定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：互为相反数的有②与③，①与⑥，⑤与⑧ （2）解：最接近规格的是⑦号试管． 理由：，，，，． 因为，所以最接近规格的是⑦号试管． 考点八 相反数的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·上海·阶段检测）当______时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【答案】/ 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，相反数的性质；根据相反数的性质：互为相反数的两个数和为零，列方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：依题意，得， 去括号得， 合并同类项得， 移项得， 系数化为1得． 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·吉林·期末）已知，若a与b互为相反数，求m的值． 【答案】 【思路引导】本题考查相反数的定义、解一元一次方程，利用互为相反数的定义可得关于a的方程，解方程即可求解． 【规范解答】解：∵a与b互为相反数， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【规范解答】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 考点九 化简多重符号 【典例精讲】下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【规范解答】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数： 分数： 负数： 【答案】见解析 【规范解答】解∶，， 整数：，0，，； 分数：，，，，； 负数：，，， 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【答案】在数轴上表示见解析，． 【思路引导】本题主要考查了有理数大小比较，绝对值，化简多重符号，利用绝对值的意义，相反数的意义化简后，然后在数轴上表示各数，最后利用数轴上右边的总比左边的大，用“”连接起来即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：，，， 在数轴上对应的点表示如下： 用“”连接各数如下： ． 【基础通关能力提升】 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【规范解答】解：∵ ，，， ∴ ， 因此四个数中最小的数是． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）在中用数字6替换其中的一个非0数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】将问题转化为在中用数字6替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大，据此解答即可． 【规范解答】解：， 在中用数字6替换其中的一个非0数字后，使所得的数最小，可以看作是在中用数字6替换其中的一个非0数字后，使所得的数最大， ∵，且3在十分位上，是小数点后最高的数位， ∴被替换的数字是3． 4．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 【答案】（答案不唯一） 【规范解答】解：设所求温度为， 根据题意可得， 则在该取值范围内任取一个数即可，例如取． 5．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【思路引导】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【规范解答】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 【答案】P 【思路引导】本题主要考查了相反数和绝对值的概念．先根据N，Q表示的有理数互为相反数，确定原点的位置，再确定图中表示绝对值最小的数是点P． 【规范解答】解：∵N，Q表示的有理数互为相反数， ∴原点在的中点处， 此时距离原点最近的点为P， 即图中表示绝对值最小的数是点P． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                …}； 负有理数集：{                …}； 正整数集：{                  …}； 负整数集：{                  …}； 自然数集：{                  …}． 【答案】 正有理数集：； 负有理数集：； 正整数集：； 负整数集：； 自然数集：. 【思路引导】本题考查有理数的分类，解题关键是先化简含多重符号和绝对值的数，再根据各类数的定义分类，掌握有理数的分类标准即可正确求解． 【规范解答】解：先化简题目中需要化简的数，得 ， 正有理数集：{，} 负有理数集：{ ，} 正整数集：{ ，} 负整数集：{，} 自然数集：{ ，} 8．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 【答案】数轴见解析，． 【规范解答】解：∵，， 在数轴上表示如图： ∴用“”连接为：． 9．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 【答案】(1)数轴见详解； (2)图见详解，向右平移4个单位长度得到的数是3． 【规范解答】（1）解：， 数轴如图： （2） 解：点的位置如图： 将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数是． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【思路引导】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【规范解答】（1）略 （2）略 【思维拓展拔尖训练】 1．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】设，得，从而可得a、b、c、d 的值，然后比较大小即可解答． 【规范解答】解：根据题意，可设， 则， ∴，，，, ∵, ∴， ∴，即． 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查负数的大小比较，核心知识点为：两个负数比较大小，绝对值大的反而小，通过计算各选项中两个数的绝对值，再根据规则判断即可． 【规范解答】解：A.∵，，且， ∴，故选项A正确，不符合题意； B.∵，，， ∴，故选项B正确，不符合题意； C.∵，，，， ∴，故选项C正确，不符合题意； D.∵，，， ∴，与选项中矛盾，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】先根据绝对值的性质求出负数a的取值范围，再结合数轴上数的大小与位置的关系，判断a和的位置关系． 【规范解答】解：∵， 又∵，且a是负数， ∴， ∴表示数a的点在表示的点的右侧，故B正确． 4．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【思路引导】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【规范解答】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 5．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 【答案】或 【思路引导】根据已知条件：点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数，就可求出点 A 的坐标，再根据点A、C的距离为10，分两种情况讨论：点C在点A的左边时；点C在点A的右边时，分别求出点C表示的数． 【规范解答】解：∵点A在点B的左边相距2018个单位且它们表示的数互为相反数， ∴点A表示的数为：， 当点C在点A 的左边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； 当点C在点A的右边时，且点A、C相距10个单位 ∴点C表示的数为：； ∴点C表示的数为：或． 6．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 【答案】 【思路引导】的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和，可得当x在1和9之间的5时距离的和最小，据此求解即可． 【规范解答】解：的几何意义为表示数的点到表示数的点的距离之和， ∴根据绝对值的几何意义可得，当x在1和9之间的5时距离的和最小， 那么当时，， ∴式子的最小值是． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 【答案】，见解析 【规范解答】解：, 如图 ． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大解答即可； （3）根据有理数的分类解答即可． 【规范解答】（1）解：，，数轴表示如下： ； （2）解：根据有理数大小比较的原则，得到： ； （3）解：根据题意，填充如下： 9．（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），；（2）见解析；（3） 【思路引导】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成6份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从小到大排列即可． 【规范解答】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】(1)， (2)或 (3)见解析； 【思路引导】（1）根据数轴的定义求解即可； （2）根据数轴的定义求解即可； （3）首先化简绝对值和多重符号，然后在数轴上表示各数，再进行大小比较即可． 【规范解答】（1）解：点、点所表示的数分别为， （2）解：∵点C与点B的距离为3个单位长度，点B表示的数为， ∴点C表示的数为或， （3）解： ，， 如图， ∴ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第四讲 绝对值与相反数「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+九大考点讲练+难度分层练 共47题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 绝对值 【学习目标】 1.能借助数轴说出数的绝对值的意义． 2.会求已知数的绝对值． 3.会进行简单的绝对值运算． 【问题情境】 小明家在学校正西方3km处，小丽家在学校正东方2km处． 他们以相同的速度跑去学校，所花的时间，与什么有关？与什么无关？ 与路程有关，与方向无关．你能用数轴上的点分别表示学校、小明家、小丽家的位置吗？ 【新知探究】 以学校位置为原点O，以正东方向为正方向，1个单位长度表示1km，画出数轴．点A，B分别表示小明家、小丽家的位置． 点A，点B与原点的距离分别是多少？ 【概念引入】 一般地，数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值(absolute value)．数a的绝对值记为|a|，读作“a的绝对值”. 正数、零、负数的绝对值的结果分别是什么数？ 任意一个数的绝对值都是非负数. 【讨论交流】 如图，你能说出数轴上点A、B、C、D、E表示的数的绝对值吗？ 数轴上表示一个数的点离原点越远，则这个数的绝对值越大； 反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，则这个数的绝对值越小． 绝对值只与距离有关，与正负无关． 因为点A与原点的距离是5，所以点A表示的数－5的绝对值是5． 因为点B与原点的距离是，所以点B表示的数－的绝对值是． 因为点C与原点的距离是1，所以点C表示的数1的绝对值是1． 因为点D与原点的距离是，所以点D表示的数5/2的绝对值是． 因为点E与原点的距离是5，所以点E表示的数5的绝对值是5． 【基础巩固】 读出下列各式，并说出它们表示的意义． ① |－3|＝3；② |0|＝0；③ |1.5|＝1.5． 解：①读作负3的绝对值等于3，在数轴上表示－3的点与原点的距离等于3； ②读作0的绝对值等于0，在数轴上表示0的点与原点的距离等于0； ③读作1.5的绝对值等于1.5，在数轴上表示1.5的点与原点的距离等于1.5． 【典例分析】 例1 求4，－3.5的绝对值． 解：如图，在数轴上分别画出表示4，－3.5的点A，B． 因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4，即|4|＝4； 因为点B与原点的距离是3.5，所以－3.5的绝对值是3.5，即|－3.5|＝3.5． 例2 已知一个数的绝对值是，求这个数． 解：如图，数轴上与原点的距离是的点有两个，它们是点A和点B，分别表示、－． 所以绝对值是的数有两个，它们是或－． 变式 1.有理数m，若|m|＝|－|，则m＝或− 2.若|a|＝|b|，那么a与b有怎样的关系？ a＝b或a＝－b 【尝试交流】 由于任意一个有理数的绝对值都是非负数，所以两个有理数的绝对值可以进行小学里学过的各种运算. 计算：(1) |3|＋|－2|；(2) |3|－|－2|； (3) |3|×|－2|； (4) |3|÷|－2|. 解： (1) |3|＋|－2|＝3＋2＝5；先化简绝对值，再按小学里学过的各种运算方法进行计算. (2) |3|－|－2|＝3－2＝1； (3) |3|×|－2|＝3×2＝6； (4) |3|÷|－2|＝3÷2＝. 【课堂小结】 新知学习二 相反数 【学习目标】 1. 能借助数轴说出数的相反数的意义． 2. 会求已知数的相反数． 3. 依据相反数的意义化简数的符号． 【问题情境】 手机移动支付给生活带来便捷. 右图是某用户微信的账单情况： 只有符号不同！ 【新知探究】 如图，观察数轴上点A，B的位置及它们到原点的距离，你有什么发现？ 继续观察4与－4，－2.5与2.5，与−，你有什么发现？ 你还能举出有这样特征的几对数吗？ 【概念引入】 只有符号不同的两个数称为互为相反数(opposite number)．特别地，0的相反数是0． 注意：①因为一个数是由符号和绝对值两部分组成，所以“只有符号不同”，即“符号不同，绝对值相同”； ②“相反数”是两个数之间的一种关系，单独的一个数不能称为相反数． 例如，5与－5互为相反数，也可以说5是－5的相反数，－5是5的相反数． 【典例分析】 例1 写出3，－4.5，的相反数，并在数轴上画出这些数以及它们的相反数对应的点． 解：3，－4.5，的相反数分别是－3，4.5，－．各数在数轴上对应的点如图所示． 在数轴上，表示互为相反数的两个点在位置上有什么特点？ 求一个有理数的相反数，符号改变、绝对值不变. 【新知归纳】 相反数的几何意义： 在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数． 因为互为相反数的两个数只相差一个负号，所以这两个数在数轴上的对应点到原点的距离相等．由此，我们得到：互为相反数的两个数绝对值相等． 也可以表示为：|－a|＝|a| ． 【典例分析】 例2 化简：(1)－(＋2.7)； (2)－(－3)． 解：(1)－(＋2.7)表示＋2.7的相反数， 因为＋2.7的相反数是－2.7， 所以－(＋2.7)＝－2.7； (2)－(－3)表示－3的相反数， 因为－3的相反数是3， 所以－(－3)＝3. 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．对于任意的数a都有－(－a)＝a，也就是说，一个数的相反数的相反数就是这个数本身. 【讨论交流】 “带‘－’号的数都是负数 ，带‘＋’号的数都是正数”，这种说法正确吗？请你举例说明． 【思维提升】 根据下图，用“＜”号按从小到大的顺序连接a，－a，b，－b． 解：如图， a＜－b＜b＜－a． 【归纳总结】 若a与b互为相反数，则a＋b＝0(或a＝－b)； 若a＋b＝0(或a＝－b)，则a与b互为相反数. 【课堂小结】 新知学习三 根据绝对值比较数的大小 【学习目标】 1.会用绝对值比较两个负数的大小． 2.知道|a|的含义，发展抽象能力和几何直观． 【知识回顾】 1. 数轴上,表示一个数的点到原点的距离,叫作这个数的绝对值.如|－2|＝2． 2. 只有符号不同的两个数称为互为相反数.例如，2的相反数是-2． 3. 在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大． 4. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 【尝试交流】 根据绝对值和相反数的意义填空，你有什么发现？ （1）|2.3|＝2.3，||＝，|6|＝6；正数的绝对值是它本身 （2）|－5|＝5，－5的相反数是5；|－10.5|＝10.5，－10.5的相反数是10.5； |－|＝，－的相反数是；负数的绝对值是它的相反数 （3） |0|＝0，0的相反数是0. 0的绝对值是0 【新知归纳】如果用字母a表示一个数，你知道的绝对值等于什么吗？ 由绝对值和相反数的意义可知： 正数的绝对值是它本身； 负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0 ． (1)当a＞0时，|a|＝a； (2)当a＜0时，|a|＝-a； (3)当a＝0时，|a|＝0. 【典例分析】 例1 求下列各数的绝对值： ＋6，－3，－2.7，0． 解：|＋6|＝6，|－3|＝3，|－2.7|＝2.7，|0|＝0． 判断:判断这个数是正数还是负数或0； 选择：根据这个数的性质选用相应的法则； 确定绝对值：根据选定的法则确定这个数的绝对值． 【讨论交流】 在两个正数中，绝对值较大的那个数一定大吗？两个负数呢？ 数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，绝对值越大越靠右，而在数轴上右边的数比左边的数大. 数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，绝对值越大越靠左，而在数轴上左边的数比右边的数小. 【新知归纳】 两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数小. 符号语言： (1) 当a＞0，b＞0时，若|a|＞|b|，则a＞b； (2) 当a＜0，b＜0时，若|a|＞|b|，则a＜b． 【典例分析】 例2 比较下列各组数的大小： (1) －9.5与－1.75； (2)－ 与－； 解：(1) 因为|－9.5|＝9.5，|－1.75|＝1.75，且9.5＞1.75，所以－9.5＜－1.75；(两个负数，绝对值大的负数小) (2) 因为|－|＝＝，|－|＝＝，且 ＜， 所以－＞－；(两个负数，绝对值大的负数小) (3) －(－3.75)与－(－3.68)； (4)－(－6)与－|－6|． 解：(3) 因为－(－3.75)＝3.75，－(－3.68)＝3.68，且3.75＞3.68 ， 所以－(－3.75)＞－(－3.68)；(两个正数，绝对值大的正数大) (4) 因为－(－6)＝6，－|－6|＝－6， 6＞－6， 所以－(－6)＞－|－6| (正数大于负数) 【归纳总结】 数的大小比较： 在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大；  正数都＞0，负数都＜0，正数＞负数； 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数小； 【探究交流】 当a＜2时，|a|也一定小于2吗？ 解：不一定． 当－2＜a＜2时，|a|＜2；当a＝－2时，|a|＝2； 当a＜－2时，|a|＞2． 【思维提升】 1. 已知a＜b，b＜0，比较a的绝对值、b的绝对值的大小，并写出两组满足该条件的数. 解：如图： 因为a＜b，b＜0，所以a，b都在原点的左侧，且a到原点的距离大于 b到原点的距离，即a在b的左侧．所以|a|＞|b|． 如a＝－5，b＝－2；a＝－4，b＝－1． 【课堂小结】 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 考点一 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）给出下列结论： ①若，则；②绝对值越大，数轴上点离原点越远； ③若，则；④任意有理数绝对值都是非负数． 其中正确结论的个数为（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【变式训练1】（25-26七年级·全国·暑假作业）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，按照从小到大的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 考点二 求一个数的绝对值 【典例精讲】（24-25七年级上·黑龙江鹤岗·期中）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练1】（25-26七年级下·河南驻马店·期中）_____________． 【变式训练2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． (1)_____，_____． (2)在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 考点三 绝对值非负性 【典例精讲】①一个整数不是正数就是负数； ②一定不是负数；③数轴上的点只能表示有理数；④一个数的相反数不大于它本身，这个数是非负数．上述说法正确的是_________（填写序号）． 【变式训练1】（25-26七年级上·宁夏银川·期末）2025年是中华人民共和国成立76周年（也是中华全国总工会成立100周年），已知若，为有理数，则______ 【变式训练2】（25-26七年级上·河北沧州·期中）如图，数轴上的点，分别表示有理数，，且，．    (1)求，的值； (2)，两点相距多少个单位长度？ (3)若点在数轴上，且点到点的距离是点到点的距离的，求点表示的数； (4)点从点出发，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，第次向左移动个单位长度，第次向右移动个单位长度，，依次操作次后，求点表示的数． 考点四 绝对值的其他应用 【典例精讲】有四个标号为1，2，3，4的排球，它们的重量与标准重量的差分别是，0.03，0.04，，最接近标准重量的排球标号是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）检测某款零件的质量，将超出标准长度的毫米数记为正数，不足标准长度的毫米数记为负数，现抽查4个零件的长度记录如表所示，则其中最接近标准长度的零件编号是（   ） 零件编号 1号 2号 3号 4号 长度 A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【变式训练2】已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 考点五 有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）比较大小：________．(填“”“”或“”) 【变式训练1】下列选项记录了我省四个城市某年某月份的最低平均气温，其中最低平均气温最低的是（     ） A．荆门℃ B．荆州℃ C．襄阳2℃ D．宜昌4℃ 【变式训练2】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 考点六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级下·黑龙江大庆·开学考试）工厂生产了一批食品，每袋标准质量定为克，从中抽出袋检测，其质量与标准质量的差值（单位：克）分别为，，，，其中最接近标准质量的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·河北保定·期末）某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 【变式训练2】已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 (1)指出哪件样品的直径大小最符合要求． (2)如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 考点七 相反数的定义 【典例精讲】如图，数轴上有、、、四个点，其中表示互为相反数的点是（     ） A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点 【变式训练1】点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25七年级上·山西临汾·阶段检测）试管是化学实验室中用于少量试剂的反应容器，某工厂在生产某种规格的试管时，规定：超过规格的记为“+”，不足规格的记为“”，在一次抽检中，小悦从该规格试管的包装箱中任取了8根试管，对其进行了测量，测量数据如下表： 试管序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 超过或不足长度/mm (1)表中8个数，哪些数互为相反数（填序号即可）？ (2)在这8根试管中，从长度的角度看，最接近规格的是哪一根试管？并说明理由． 考点八 相反数的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·上海·阶段检测）当______时，代数式的值与代数式的值互为相反数． 【变式训练1】（25-26七年级上·吉林·期末）已知，若a与b互为相反数，求m的值． 【变式训练2】（25-26七年级上·湖北荆门·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点九 化简多重符号 【典例精讲】下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A． 与 B．与 C．与 D．与 【变式训练1】（24-25七年级上·湖南·期中）把下列各数分别填在相应的横线上： 整数： 分数： 负数： 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数在图中的数轴上表示出来，并用“”连接各数． ，，，，． 【基础通关能力提升】 1．的绝对值是（     ） A．2026 B． C． D． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）在中用数字6替换其中的一个非0数字后，使所得的数最小，则被替换的数字是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．在物理学中，规定在标准大气压下冰水混合物的温度为，绝对零度约为．写出一个比绝对零度高且比冰水混合物温度低的温度值（单位：）是________． 5．如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 6．如图，四个有理数分别在数轴上用点M、N、P、Q表示，若N，Q表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数是点________． 7．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号内； ，，0，，，，，，，． 正有理数集：{                }； 负有理数集：{                }； 正整数集：{                  }； 负整数集：{                  }； 自然数集：{                  }． 8．（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来． ，，，，， 9．（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）画出数轴，并解答下列问题： (1)画出数轴，在数轴上表示下列各数：； (2)在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 10．（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【思维拓展拔尖训练】 1．若a、b、c、d四个数满足，则a、b、c、d四个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南开封·阶段检测）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）如果a是负数，且，那么数轴上表示数a，的点的位置关系是（   ） A．a在左侧 B．a在右侧 C．a与重合 D．无法确定 4．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 5．数轴上有 A、B、C 三个点，点A在点B的左边相距2018个单位，且它们表示的数互为相反数，点A、C相距10个单位，则点 C 表示的数为______． 6．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地可以规定，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，那么式子的最小值是__________． 7．（25-26七年级上·福建漳州·期中）在数轴上画出表示下列各数的点，并用“”把它们连接起来． ，，，，0． 8．（25-26七年级上·四川宜宾·期中）把有理数：，，0，，，按下列要求作答： (1)在数轴上表示出来； (2)用“＜”把上面的数连接起来； (3)把上面的数填入对应的集合内． 9．（25-26七年级上·重庆·期末）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数．点表示的数是___________，点表示的数是___________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将四个点所表示的数按从小到大的顺序排列，用“”连接． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上每个刻度为个单位长度． (1)请指出点、点所表示的数分别为______、______． (2)在数轴上有一点，它与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null