（预习篇）第十讲 有理数的混合运算（简单与复杂运算）【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+四大题型讲练+难度分层练 共36题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接精编讲义

nullnull2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第十讲 有理数的混合运算（简单与复杂运算）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+四大考点讲练+难度分层练 共36题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 简单的有理数混合运算 【学习目标】 1.知道有理数混合运算的运算顺序． 2.能正确进行简单的有理数混合运算，发展运算能力． 【问题引入】 当正方形的边长增加1倍，面积是多少？如何列式计算 (2×3)²＝62＝36． 有两张边长为3的正方形纸片，它们的面积之和是多少？如何列式计算？ 解法1：3²＋32²＝9＋9＝18． 解法2：2×3²＝2×9＝18． 【讨论交流】 在小学学习中，怎样进行数的混合运算？增加了乘方运算后，对于含有乘方运算的有理数混合运算，应如何计算？ 这个式子中含有几种运算？先算什么，后算什么？ 【新知归纳】 先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 注意：1.有理数运算分三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，运算顺序是先算高级运算，再算低级运算.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 2.如果有括号，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行. 【典例分析】 例1 计算：9＋5×(－3)－(－2)²÷4 解：原式＝9＋5×(－3)－4÷4(先算乘方) ＝9－15－1(后算乘除) ＝－7．(再算加减) 例2 计算：(－5)³×[2－(－6)]－300÷5． 解：原式＝(－5)³×8－300÷5(先算括号里的) ＝(－125)×8－300÷5(后算乘方) ＝－1 000－60(再算乘除) ＝－1 060．(最后算减法) 【拓展提升】 1. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式(5－3＋2)×6（答案不唯一） 2. 在计算“2×(□1)−2^2”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【课堂小结】 有理数的混合运算的实质是有理数的加法与乘法运算. 新知学习二 较复杂的有理数混合运算 【学习目标】 1.知道有理数混合运算的运算顺序． 2.能正确进行较复杂的有理数混合运算，发展运算能力． 【知识回顾】 1. 有理数混合运算的顺序是什么？ 先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 2. 有理数的运算律有哪些？ 加法交换律：a＋b＝b＋a，加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， 乘法交换律：a×b＝b×a，乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)， 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c． 【典例分析】 例3 计算：(－)×3÷3×(－)． 解：原式＝(－)×3××(－) ＝＋( ×3×× ) ＝． 同级运算 按照从左到右的顺序依次相乘． 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算． 方法总结： 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 【探究活动】 两个人一组，开展活动： 一个人在数轴上任选两个有理数对应的点，并用这两个有理数组成算式，另一个人在数轴上标出运算结果对应的点．例如，甲选择－2，3对应的点A，B，组成算式(－2)÷3，(－2)×3，(－2)³等，乙在数轴上标出运算结果对应的点C，D，E等（如图）． 例如，甲选择4 和－1，组成的算式4＋(－1)＝3，4－(－1)＝5，4×(－1)＝－4，4÷(－1)＝－4，(－1)4＝1等，乙在数轴上标出运算结果对应的点． 【思维提升】 观察下面几个算式，比较它们有什么不同？ 都可以利用运算律简便运算吗？ 【课堂小结】 知识点一 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 技巧点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点二 合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 考点一 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【答案】7 【规范解答】解：由题意得， ∴输出的值是7． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【答案】29 【思路引导】根据运算程序列式计算，直至结果大于15即可． 【规范解答】解：若开始输入的值是， 则，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，返回继续运算， ，输出结果． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【规范解答】解：， 故选：B． 【变式训练3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 考点二 算“24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【规范解答】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（i）抽取数字以及数字，最小值是．（ii）抽取数字以及数字，最大值是45， 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，进行列式计算，即可作答． （2）（i）根据2张卡片上的数字的差最小，则拿出最大的数为，拿出最小的数为，把最小的数减去最大的数，即可作答． （ii）根据2张卡片上的数字的积最大，则抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，所以抽取数字以及数字，运算，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，； （2）解：（i）拿出最大的数为，拿出最小的数为， 则， 即抽取最大的数为以及最小的数为，并把最小的数减去最大的数，此时得出差最小； （ii）抽取相同符号的两个数，且它们的绝对值最大，此时2张卡片上的数字的积最大， 即抽取数字以及数字，， ∴这2张卡片上的数字的积最大值是45， 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示这五个数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【答案】(1)见解析， (2)（答案不唯一）． 【思路引导】本题考查了有理数的相关概念及运算，解题的关键是掌握绝对值、相反数、乘方的定义以及有理数的大小比较和四则运算规则． （1）先分别化简这五个数，再在数轴上表示出来，最后根据数轴上数的位置关系比较大小； （2）根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算规则，结合前四个数的特点构造出结果为“24”的算式． 【规范解答】（1）解：，，， 在数轴上表示这五个数，如下图所示： 在数轴上表示这五个数后，按从小到大的顺序排列为： （2）解：前四个数为， （答案不唯一）． 【变式训练3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【思路引导】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【规范解答】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 考点三 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)1 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【规范解答】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【变式训练1】2（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【思路引导】（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算除法，最后计算减法即可； （3）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再利用乘法结合律计算即可； （5）先计算乘方并把除法变为乘法，再计算乘法即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： =． （4）解： =． （5）解： ． 【变式训练3】计算题 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)35 (4)576 (5)2 (6) 【思路引导】本题主要考查了有理数相关运算． （1）按照有理数除法和乘法法则，从左到右依次计算即可； （2）先按照“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法，再按照有理数乘法法则，从左到右依次计算即可； （3）先按照“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，将除法转化为乘法，再运用乘法分配律进行简便运算； （4）先计算括号里的有理数减法运算，再按照有理数除法法则计算即可； （5）先计算有理数乘方运算并化简绝对值，再根据有理数乘法和除法运算法则进行计算，最后计算有理数的加法； （6）先计算小括号里的有理数减法以及有理数的乘方运算，再计算中括号里的乘法及减法运算并化简括号外的绝对值，最后根据有理数除法法则进行计算． 【规范解答】（1）解：原式=； （2）解：原式=； （3）解：原式= ； （4）解：原式=； （5）解：原式=； （6）解：原式= ． 考点四 计算器—有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了计算器的使用，有理数的混合运算，熟练掌握计算器的使用和有理数的运算法则是解题的关键． 根据计算器的按键顺序，列出算式，再运算即可得答案． 【规范解答】解：由题意可得，， 故答案为：． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用计算器计算的按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了用计算器计算有理数，有理数的计算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确计算器的按键顺序． 根据计算器的按键顺序，可得答案． 【规范解答】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：． 故选：D． 【变式训练2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【答案】详见解析 【思路引导】本题主要考查了利用计算器进行数有理数的乘方运算，根据计算器的按键顺序计算即可得解，熟练掌握计算器求幂的时候指数的使用方法是解决此题的关键． 【规范解答】 ． 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数字变化规律，根据题意分别计算出第1，2，3，4，5，6步显示结果，从而得出数字的循环规律，再求解可得答案 【规范解答】解：由题意知第1步结果为， 第2步结果为， 第3步结果为， 第4步结果为， 第5步结果为， 第6步计算结果为10， 运算的结果以100、0.01、0.1、0.01、100、10六个数为周期循环， ， 第2019步之后显示的结果为0.1，即． 故选：C． 【基础通关能力提升】 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】B 【思路引导】根据有理数的乘方计算即可． 【规范解答】解：． 2．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【规范解答】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 3．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【思路引导】根据有理数乘方和乘法的运算法则，分别计算每个选项中两个式子的值，再比较是否相等即可． 【规范解答】解： ，， ，该选项符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； ，， ，该选项不符合要求； 综上，答案选A． 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数混合运算，首先负数的奇次幂是负数，其次符号不同的两个数相加，符号取绝对值较大的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差． 【规范解答】解： 5．计算：___________． 【答案】1 【规范解答】解： ． 6．计算：________． 【答案】 【思路引导】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【规范解答】解： ． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）计算：． 【答案】 【规范解答】解： ． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先计算乘方，再计算乘除； （2）先计算乘方，再计算乘法． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： 10．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【答案】(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为： ； (2) 【思路引导】（1）小明在第一步中先计算了，因此出现错误；根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，进行计算即可． 【规范解答】（1）略 （2）解： ． 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【思路引导】根据流程图，列式计算即可． 【规范解答】解：． 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解． 【规范解答】解：根据新运算规则， 可得 ． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先数出每根绳子上的结数，然后将从左向右的每一位数字分别乘，，，，再将计算结果相加． 【规范解答】解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、， 则孩子出生的天数为． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算_________． 【答案】 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，按照先算乘方，再算乘法，最后算加法的顺序计算即可． 【规范解答】 ． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【规范解答】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 【答案】3 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键． 根据新运算定义，先计算括号内的，再计算． 【规范解答】解：根据题意得： ， ∴． 故答案为：3． 7．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 8．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 【答案】(1) (2)； 【思路引导】（1）根据题干所提供的思路，设，再把这个等式两边同时乘以得到，把这两个等式两边分别相减得到得，然后再把两边同时除以可得结果； （2）根据规律可得第个数是；仿照（1）中的解题思路设，把等式两边同式乘以得到则，把两个等式两边同时相加可得，然后再把两边同时除以即可得到结果． 【规范解答】（1）解：设， 则． 由，得， ， 即； （2）解：第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， 第个数是， ， 根据规律可得第个数是； 设， 则． 由，得， ， 即这列数中前个数的和是． 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： 【答案】2 【思路引导】可以设，将等式的两边同时乘2，则使S这个式子里面的每个2的次数增加了一个，再将两个式子相减，将式子化简得出算式的值是2． 【规范解答】解：设 , 等号的两边同时乘2得： , 得： ， 即， ∴． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 【答案】(1)，； (2)②③； (3)； (4)． 【思路引导】（1）根据新定义直接计算即可求解； （2）理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式，即可求解； （3）根据法则计算即可求解； （4）根据法则结合有理数的混合运算进行计算即可求解． 【规范解答】（1）解：， ； （2）解：①任何非零数的2次商都等于1，故①正确； ②对于任何正整数，当为奇数时，，当为偶数时，，故②不正确； ③， ∴故③不正确； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，故④正确； （3）解：， ； （4）解： ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第十讲 有理数的混合运算（简单与复杂运算）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+四大考点讲练+难度分层练 共36题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 简单的有理数混合运算 【学习目标】 1.知道有理数混合运算的运算顺序． 2.能正确进行简单的有理数混合运算，发展运算能力． 【问题引入】 当正方形的边长增加1倍，面积是多少？如何列式计算 (2×3)²＝62＝36． 有两张边长为3的正方形纸片，它们的面积之和是多少？如何列式计算？ 解法1：3²＋32²＝9＋9＝18． 解法2：2×3²＝2×9＝18． 【讨论交流】 在小学学习中，怎样进行数的混合运算？增加了乘方运算后，对于含有乘方运算的有理数混合运算，应如何计算？ 这个式子中含有几种运算？先算什么，后算什么？ 【新知归纳】 先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 注意：1.有理数运算分三级运算，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，运算顺序是先算高级运算，再算低级运算.同级运算，按照从左到右的顺序进行； 2.如果有括号，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行. 【典例分析】 例1 计算：9＋5×(－3)－(－2)²÷4 解：原式＝9＋5×(－3)－4÷4(先算乘方) ＝9－15－1(后算乘除) ＝－7．(再算加减) 例2 计算：(－5)³×[2－(－6)]－300÷5． 解：原式＝(－5)³×8－300÷5(先算括号里的) ＝(－125)×8－300÷5(后算乘方) ＝－1 000－60(再算乘除) ＝－1 060．(最后算减法) 【拓展提升】 1. 小明和同学们玩扑克牌游戏．游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于24．小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式(5－3＋2)×6（答案不唯一） 2. 在计算“2×(□1)−2^2”中的“□”填入运算符号． (1)填入“×”并计算； (2)要使结果最小，“□”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值． 【课堂小结】 有理数的混合运算的实质是有理数的加法与乘法运算. 新知学习二 较复杂的有理数混合运算 【学习目标】 1.知道有理数混合运算的运算顺序． 2.能正确进行较复杂的有理数混合运算，发展运算能力． 【知识回顾】 1. 有理数混合运算的顺序是什么？ 先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 2. 有理数的运算律有哪些？ 加法交换律：a＋b＝b＋a，加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， 乘法交换律：a×b＝b×a，乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)， 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c． 【典例分析】 例3 计算：(－)×3÷3×(－)． 解：原式＝(－)×3××(－) ＝＋( ×3×× ) ＝． 同级运算 按照从左到右的顺序依次相乘． 进行有理数的乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．将除法转化为乘法后，可利用乘法的运算律简化运算． 方法总结： 有理数的混合运算，除了运用运算法则外，还要灵活运用运算律，从而简化计算. 【探究活动】 两个人一组，开展活动： 一个人在数轴上任选两个有理数对应的点，并用这两个有理数组成算式，另一个人在数轴上标出运算结果对应的点．例如，甲选择－2，3对应的点A，B，组成算式(－2)÷3，(－2)×3，(－2)³等，乙在数轴上标出运算结果对应的点C，D，E等（如图）． 例如，甲选择4 和－1，组成的算式4＋(－1)＝3，4－(－1)＝5，4×(－1)＝－4，4÷(－1)＝－4，(－1)4＝1等，乙在数轴上标出运算结果对应的点． 【思维提升】 观察下面几个算式，比较它们有什么不同？ 都可以利用运算律简便运算吗？ 【课堂小结】 知识点一 有理数的混合运算 有理数的混合运算顺序：（混合运算三原则） (1)先乘方，再乘除，最后加减； (2)同级运算，从左到右进行； (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 技巧点拨： （1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算； （2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里． （3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率． 知识点二 合理运用运算律简化运算 1.加法运算律： 加法交换律： 加法结合律： 2.乘法交换律： 乘法交换律： 乘法结合律： 乘法分配律： 3.灵活选用适当的运算律，可以简化计算，减少错误。运用乘法分配率时要根据自己的基础情况选用。 考点一 程序流程图与有理数计算 【典例精讲】（24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若输入的值是，则输出的值是___________． 【变式训练1】（25-26七年级上·陕西汉中·期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，则最终输出的结果是______． 【变式训练2】（25-26七年级上·四川成都·期中）在计算机上可以设置运算程序，输入一组数据，计算机就会呈现运算结果，就好像一个“数值转换机”．上面是一组“数值转换机”，若输出的数为15．则输入的数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 考点二 算“24”点 【典例精讲】（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【变式训练1】（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）小徽有5张卡片，分别写有数字，，4，7，2，请你按要求抽出卡片，完成下列各题． (1)若从中抽出4张卡片，运用加、减、乘、除、乘方等运算符号和括号，使得4张卡片上的数字的运算结果为24，请写出其中一种算式； (2)（i）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ （ii）若从中抽出2张卡片，且2张卡片上的数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【变式训练2】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知五个数分别为：，，，，． (1)在数轴上表示这五个数，并按从小到大的顺序用“<”把这些数连接起来； (2)将前四个数通过有理数的加、减、乘、除、乘方运算（每个数只能算一次），得到运算结果“24”，请写出算式． 【变式训练3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 考点三 含乘方的有理数混合运算 【典例精讲】计算： (1) ． (2)． (2) ． (4)． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏·阶段检测）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式训练】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5)． 【变式训练3】计算题 (1) ； (2)； (2) ； (4)； (5) ； (6)． 考点四 计算器—有理数 【典例精讲】（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下： 则显示器显示的结果为______． 【变式训练1】（25-26七年级上·全国·课后作业）用计算器计算的按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算器是一种方便实用的计算工具，借助计算器可以进行复杂的数字计算．利用科学计算器可以进行有理数混合运算．如图是一种科学计算器的面板． 小明用计算器求某个式子的值时，按键顺序为： 请你根据小明的按键顺序列出算式，并进行计算． 【变式训练3】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，某计算器中三个按键，以下是这三个按键的功能： ：将荧幕显示的数变成它的算术平方根； ：将荧幕显示的数变成它的倒数； ：将荧幕显示的数变成它的平方． 小明输入一个数据后，按照如图步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键． 若一开始输入的数据为10，则第2019步后，显示的结果是（    ） A． B．10 C． D． 【基础通关能力提升】 1．计算的结果等于（   ） A． B． C．6 D．9 2．“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·重庆·期中）下列各组数中，其值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 5．计算：___________． 6．计算：________． 7．（25-26七年级下·山东济南·期中）计算：． 8．（24-25七年级上·云南昆明·阶段检测）计算： (1)； (2)． 9．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1) (2)． 10．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下： 解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步 解答下列问题： (1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程； (2)计算：． 【思维拓展拔尖训练】 1．（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 2．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：，如：，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）计算_________． 5．（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如果规定☆为一种运算符号，且，则的值为______． 7．（25-26七年级上·湖北荆州·期末）计算： (1)； (2)． 8．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）为了计算的值，我们采用如下的方法： 设， 则． 由，得． 请你根据上述材料，解答下列问题： (1)求的值； (2)已知一组按规律排列的数：，…． ①它的第个数是_______； ②求这列数中前个数的和． 9．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： 10．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段检测）规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作读作“2的3次商”，记作，读作“的4次商”，一般地，把n个记作读作“a的n次商”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______，______； (2)关于除方，下列说法错误的是______； ①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n，；③；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：； (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式． ______；______； (4)求． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $