（预习篇）第三讲 数轴（数轴的概念与有理数的大小）【思维导图+知识卡片+教材精讲+知识总结+八大题型讲练+难度分层练 共44题】-2026年苏科版数学小升初（六升七年级）暑假衔接讲义

2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第三讲 数轴（数轴的概念与有理数的大小）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+八大考点讲练+难度分层练 共44题 原卷版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 数轴的概念 【学习目标】 1.会正确画出数轴． 2.能用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上(表示有理数)的点所表示的数． 3.感受数形结合的思想，发展抽象能力和几何直观． 【问题情境】 长安街是北京一条东西向的主干道. 如果把长安街看作一条直线，以天安门为分界点，你能用数表示东单站和西单站吗？ 【新知探究】 如果向东用“＋”表示，则向西用“-”表示，东单地铁站：4，西单地铁站：3.5． 国家大剧院北门对应－750m，你能标出它的大致位置吗？ 750÷500＝1.5 【讨论交流】 通过以上探究，你有什么发现？说说你的想法．数的正负与点的位置有关. 用数能表示直线上的点，也能用直线上的点表示数. 你能举出生活中类似的例子吗？ 如何用一条直线表示所有的有理数？这条直线需要具备哪些条件呢？ 【新知探究】 1. 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点(origin).向左不用画箭头！ 2. 规定直线上从原点向右的方向为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. 3. 取适当长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3,…从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1,－2,－3,… 注意：单位长度与长度单位是两个不同的概念. 【概念引入】 像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 (number axis). 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可. “规定”的含义：规定是指原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小是根据实际需要来确定的，一般水平向右的方向为正方向，单位长度可跟具体情况而定. 注意：有理数都可以用数轴上的点表示. 【辩一辩】判断下图中的数轴是否正确，如不正确，请指出错误． 【典例分析】 例1 分别写出数轴上点A，B，C表示的数： 解：点A表示的数是－3.5，点B表示的数是0，点C表示的数是2.5. 例2 在数轴上画出表示下列各数的点：－3.5，2，－ ，3.5，－． 解：如图 【归纳总结】 用数轴上的点表示有理数的一般步骤是什么？ 【新知巩固】 1. 分别写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数： 解：点A表示的数是－5，点B表示的数是0.5，点C表示的数是－1.5，点D表示的数是－2，点E表示的数是4． 2. 在数轴上画出表示下列各数的点：－4.5，－1/2 ， －1，－4，． 解：如图． 【拓展延伸】 1. 七年级小贝在一张纸上画了一条数轴，妹妹不知它有什么用，就在上面画了一只小猫和一只小狗，于是数轴上标的数字有的看不到了，请根据数轴回答下列问题： （1）被小猫遮住的是正数还是负数？ 被小猫遮住的是负数． （2）被小狗遮住的整数有几个？ 被小狗遮住的整数是12，13，14，15，16，17，18，共7个. （3）此时小猫和小狗之间（即A，B之间）的整数有几个？ 小猫和小狗之间（即A，B之间）的整数有－16，－15，－14，…，－1，0，1，2，…，10，11，共28个. 2. 小明从家出发(记为原点O)向东走3m，他在数轴上＋3位置记为点A，他又东走了5m，记为点B，点B表示什么数？接着他又向西走了10m到点C，点C表示什么数？请你在数轴上标出点A、点B的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？ 解：如图， 点B表示的数是8，点C表示的数是－2，小明向东走2米回到家中. 【课堂小结】 新知学习二 有理数的大小 【学习目标】 1. 会利用数轴比较有理数的大小，感受数形结合的思想． 2. 知道有理数的大小关系具有“三歧性”与“传递性”． 【问题情境】 如图，这是某天2点到14点的实时天气预报，你能把这段时间的温度按从低到高的顺序排列吗？ 有没有更直观比较大小的方法呢？ －4℃＜－3℃＜－2℃＜2℃＜6℃ 【新知探究】 1. 在数轴上画出表示－4，－3，－2，2，6的点，观察比较这些点的位置关系与对应温度的高低关系．你有什么发现？ －4℃＜－3℃＜－2℃＜2℃＜6℃ 温度从低到高，数轴上的点的位置从左到右． 【新知归纳】 可以根据数轴上点的位置，比较它们表示的数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大． 在数轴上表示负数的点在原点左边，表示正数的点在原点右边． 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 【典例分析】 例3 比较－3.5和－0.5的大小. 解：如图，在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A，B. 因为点B在点A的右边，所以－0.5＞－3.5. 注意：沿负方向离原点越远的点对应的数越小. 【新知巩固】 1．数轴上的点A和点B分别表示－与－，哪个点与原点的距离较近？－与－哪一个数较大？ 解：如图，在数轴上分别画出表示－和－的点A，B. 因为点A在点B的右边，所以－＞－. 【讨论交流】 对于有理数a，b，它们之间可能有怎样的大小关系？请借助数轴说明． 对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a＞b，a＝b，a＜b 有理数的“三歧性”. 【典例分析】 例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： －，0，3，－4，1.5，－5. 解：如图，在数轴上画出表示各数的点： 根据各点在数轴上的位置，得 －5＜－4＜－＜0＜1.5＜3． 【新知巩固】 1. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”将这些数按从小到大的顺序连接起来： －4.5，1.5，0，4 ，－0.5，－4，3． 解：如图，在数轴上画出表示各数的点： 根据各点在数轴上的位置，得 －4.5＜－4＜－0.5＜0＜1.5＜3＜4． 2. 如图，点A、B、C分别表示数a、b、c，比较a、－b、c的大小． 解：如图，根据各点在数轴上的位置，得 c＜a＜－b． 【典例分析】 根据数轴上点的位置关系，可以发现有理数的大小关系仍具有传递性. 对于有理数a，b，c， 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c； 如果a＜b，且b＜c，那么a＜c． 【思维提升】 例5 对于有理数a，b，如果a＜－4，b＜a，那么b和－4哪个数较大？请说明理由. 解：－4较大．因为b＜a，a＜－4， 所以根据有理数大小的传递性，得b＜－4，所以－4比b大. 【巩固练习】 对于有理数a，b，c，如果a＜b，b＜−1，c＞−1 ，比较a和c 的大小．并说明理由． 解：a＜c ． 因为a＜b，b＜−1， 所以根据有理数大小的传递性，得a＜−1． 因为c＞−1，所以−1＜c， 所以根据有理数大小的传递性，得a＜c． 【课堂小结】 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 考点一 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）小明、小兵、小英三人的家和学校在同一条东西走向的大街上．星期日班主任到这三位学生家进行家访，班主任从学校出发先向东走0.5km到小明家，然后又向东走1.5km到小兵家，再向西走5km到小英家，最后回到学校． (1)以学校为原点画出数轴，并在数轴上分别表示出小明、小兵、小英三人的家的位置． (2)小明家距小英家多远？ 考点二 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【变式训练1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 考点三 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练1】如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【变式训练2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（             ）；负数集合：（               ）； 整数集合：（              ）；分数集合：（              ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 考点四 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 考点五 数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 考点六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【变式训练1】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【变式训练2】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 考点七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【变式训练1】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【变式训练1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【变式训练2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【基础通关能力提升】 1．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 3．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 6．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 7．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 9．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 10．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 4．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 5．如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 7．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，． （2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 9．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版新教材数学小升初（六升七年级）衔接金牌培优讲义 第三讲 数轴（数轴的概念与有理数的大小）「暑假预习培优讲义」 【苏科版数学新教材•七年级上册（第2章 有理数）】 （思维导图+教材精讲+知识总结+八大考点讲练+难度分层练 共44题 解析版） 同学，你好！该份讲义主要以暑期预习苏科版新教材七年级上册内容为主，讲义包含思维导图指引，教材内容精讲，知识点总结技巧点拨，高频考点优选题讲练，难度分层练20题等四大部分！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合知识卡片内容学习（卡片结合苏科版七年级上册新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知学习一 数轴的概念 【学习目标】 1.会正确画出数轴． 2.能用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上(表示有理数)的点所表示的数． 3.感受数形结合的思想，发展抽象能力和几何直观． 【问题情境】 长安街是北京一条东西向的主干道. 如果把长安街看作一条直线，以天安门为分界点，你能用数表示东单站和西单站吗？ 【新知探究】 如果向东用“＋”表示，则向西用“-”表示，东单地铁站：4，西单地铁站：3.5． 国家大剧院北门对应－750m，你能标出它的大致位置吗？ 750÷500＝1.5 【讨论交流】 通过以上探究，你有什么发现？说说你的想法．数的正负与点的位置有关. 用数能表示直线上的点，也能用直线上的点表示数. 你能举出生活中类似的例子吗？ 如何用一条直线表示所有的有理数？这条直线需要具备哪些条件呢？ 【新知探究】 1. 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点(origin).向左不用画箭头！ 2. 规定直线上从原点向右的方向为正方向(画箭头表示)，向左为负方向. 3. 取适当长度为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示为1,2,3,…从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1,－2,－3,… 注意：单位长度与长度单位是两个不同的概念. 【概念引入】 像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 (number axis). 数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可. “规定”的含义：规定是指原点的位置、正方向的选取、单位长度的大小是根据实际需要来确定的，一般水平向右的方向为正方向，单位长度可跟具体情况而定. 注意：有理数都可以用数轴上的点表示. 【辩一辩】判断下图中的数轴是否正确，如不正确，请指出错误． 【典例分析】 例1 分别写出数轴上点A，B，C表示的数： 解：点A表示的数是－3.5，点B表示的数是0，点C表示的数是2.5. 例2 在数轴上画出表示下列各数的点：－3.5，2，－ ，3.5，－． 解：如图 【归纳总结】 用数轴上的点表示有理数的一般步骤是什么？ 【新知巩固】 1. 分别写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数： 解：点A表示的数是－5，点B表示的数是0.5，点C表示的数是－1.5，点D表示的数是－2，点E表示的数是4． 2. 在数轴上画出表示下列各数的点：－4.5，－1/2 ， －1，－4，． 解：如图． 【拓展延伸】 1. 七年级小贝在一张纸上画了一条数轴，妹妹不知它有什么用，就在上面画了一只小猫和一只小狗，于是数轴上标的数字有的看不到了，请根据数轴回答下列问题： （1）被小猫遮住的是正数还是负数？ 被小猫遮住的是负数． （2）被小狗遮住的整数有几个？ 被小狗遮住的整数是12，13，14，15，16，17，18，共7个. （3）此时小猫和小狗之间（即A，B之间）的整数有几个？ 小猫和小狗之间（即A，B之间）的整数有－16，－15，－14，…，－1，0，1，2，…，10，11，共28个. 2. 小明从家出发(记为原点O)向东走3m，他在数轴上＋3位置记为点A，他又东走了5m，记为点B，点B表示什么数？接着他又向西走了10m到点C，点C表示什么数？请你在数轴上标出点A、点B的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？ 解：如图， 点B表示的数是8，点C表示的数是－2，小明向东走2米回到家中. 【课堂小结】 新知学习二 有理数的大小 【学习目标】 1. 会利用数轴比较有理数的大小，感受数形结合的思想． 2. 知道有理数的大小关系具有“三歧性”与“传递性”． 【问题情境】 如图，这是某天2点到14点的实时天气预报，你能把这段时间的温度按从低到高的顺序排列吗？ 有没有更直观比较大小的方法呢？ －4℃＜－3℃＜－2℃＜2℃＜6℃ 【新知探究】 1. 在数轴上画出表示－4，－3，－2，2，6的点，观察比较这些点的位置关系与对应温度的高低关系．你有什么发现？ －4℃＜－3℃＜－2℃＜2℃＜6℃ 温度从低到高，数轴上的点的位置从左到右． 【新知归纳】 可以根据数轴上点的位置，比较它们表示的数的大小：在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大． 在数轴上表示负数的点在原点左边，表示正数的点在原点右边． 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数． 【典例分析】 例3 比较－3.5和－0.5的大小. 解：如图，在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A，B. 因为点B在点A的右边，所以－0.5＞－3.5. 注意：沿负方向离原点越远的点对应的数越小. 【新知巩固】 1．数轴上的点A和点B分别表示－与－，哪个点与原点的距离较近？－与－哪一个数较大？ 解：如图，在数轴上分别画出表示－和－的点A，B. 因为点A在点B的右边，所以－＞－. 【讨论交流】 对于有理数a，b，它们之间可能有怎样的大小关系？请借助数轴说明． 对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立：a＞b，a＝b，a＜b 有理数的“三歧性”. 【典例分析】 例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来： －，0，3，－4，1.5，－5. 解：如图，在数轴上画出表示各数的点： 根据各点在数轴上的位置，得 －5＜－4＜－＜0＜1.5＜3． 【新知巩固】 1. 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”将这些数按从小到大的顺序连接起来： －4.5，1.5，0，4 ，－0.5，－4，3． 解：如图，在数轴上画出表示各数的点： 根据各点在数轴上的位置，得 －4.5＜－4＜－0.5＜0＜1.5＜3＜4． 2. 如图，点A、B、C分别表示数a、b、c，比较a、－b、c的大小． 解：如图，根据各点在数轴上的位置，得 c＜a＜－b． 【典例分析】 根据数轴上点的位置关系，可以发现有理数的大小关系仍具有传递性. 对于有理数a，b，c， 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c； 如果a＜b，且b＜c，那么a＜c． 【思维提升】 例5 对于有理数a，b，如果a＜－4，b＜a，那么b和－4哪个数较大？请说明理由. 解：－4较大．因为b＜a，a＜－4， 所以根据有理数大小的传递性，得b＜－4，所以－4比b大. 【巩固练习】 对于有理数a，b，c，如果a＜b，b＜−1，c＞−1 ，比较a和c 的大小．并说明理由． 解：a＜c ． 因为a＜b，b＜−1， 所以根据有理数大小的传递性，得a＜−1． 因为c＞−1，所以−1＜c， 所以根据有理数大小的传递性，得a＜c． 【课堂小结】 知识点一 绝对值 1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|. 3.绝对值的代数意义： （1）一个正数的绝对值是它本身； （2）一个负数的绝对值是它的相反数； （3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： 4.绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． 的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。 5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即 6.利用绝对值比较两个有理数的大小： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 技巧点拨 一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。 绝对值的几何意义非常重要，解决问题时要灵活应用。 知识点二 相反数 1. 相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 2. 相反数的表示方法：的相反数为。 技巧点拨 （1）相反数定义中的“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同，即两个数的绝对值相同，符号不同。 （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，这是一种特殊情况，0没有符号问题； （3）相反数是两个数的一种关系，必须成对出现，单独一个数不能说是相反数； （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 3.相反数的性质： （1）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等. （2）和的关系：互为相反数的两数和为0. 4.多重符号的化简问题： 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定： 若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1 ； 若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1 . 技巧点拨 （1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋2＝2，＋（－2）＝－2. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数。 因此，－（－3）＝3. 考点一 数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·四川宜宾·期中）下列数轴画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据数轴的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：A选项：数轴负半轴数的顺序错误，故A选项画法错误； B选项：数轴的单位长度不统一，故B选项画法错误； C选项：数轴的原点、正方向、单位长度表示正确，故C选项画法正确； D选项：数轴的正方向错误，故D选项画法错误． 【变式训练1】（24-25七年级上·江苏淮安·期中）完成下列问题 (1)补全数轴； (2)将下列5个数：，，0，2，，在这个数轴上表示出来，并用“”号把这些数连接起来． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【思路引导】（1）根据数轴三要素画图即可； （2）将5个数在数轴上表示出来，然后根据数轴左边的数小于右边的数用“”号把这些数连接起来． 【规范解答】（1）解：如图所示，数轴即为所求； （2）解：如图所示， ∴． 【变式训练2】（2025七年级上·全国·专题练习）小明、小兵、小英三人的家和学校在同一条东西走向的大街上．星期日班主任到这三位学生家进行家访，班主任从学校出发先向东走0.5km到小明家，然后又向东走1.5km到小兵家，再向西走5km到小英家，最后回到学校． (1)以学校为原点画出数轴，并在数轴上分别表示出小明、小兵、小英三人的家的位置． (2)小明家距小英家多远？ 【答案】(1)见解析 (2)3.5km． 【思路引导】（1）规定向东为正，则向西为负，根据绝对值和方向确定三位同学家的位置； （2）求出小明、小英家所表示的数，再求出两家的距离. 【规范解答】（1）解：规定向东为正，则向西为负．由题意可知，学校为原点，表示的数为0，小明家表示的数为0.5，小兵家表示的数为2，小英家所表示的数为，数轴如图所示． （2）解：． 故小明家距小英家3.5km． 【考点剖析】本题考查了数轴表示数的意义，熟练掌握由符号和绝对值确定点在数轴上的位置，由两点所表示的数求两点之间的距离是解题关键. 考点二 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】在数轴上，点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧的点表示的数是____． 【答案】 【思路引导】根据数轴上点表示的数以及两点之间的距离求解即可． 【规范解答】解：∵点表示的数为1，数轴上与点的距离为3，且在点的左侧， ∴． 【变式训练1】（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：并将每个数用“”连接起来： 4，，，，0． 【答案】，． 【规范解答】略． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建龙岩·阶段检测）用数轴上的点表示下列各数，并用“”把这五个数连起来． ． 【答案】；图见解析 【思路引导】先根据有理数的乘方运算法则，相反数定义进行解答，然后把各数在数轴上表示出来，最后比较有理数的大小即可． 【规范解答】解：，， 把各数在数轴上表示为： 用“”号连接各数为：． 考点三 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】在数轴上位于左侧的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据数轴的性质，数轴上位于某个数左侧的数小于这个数，因此本题只需找出小于的数即可. 【规范解答】解：∵ ，，， ∴ 在左侧，符合要求. 【变式训练1】如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路引导】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 【规范解答】解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 【变式训练2】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）有一列数：，，， (1)把它们填入所属集合内∶ 正数集合：（              … ）；负数集合：（               …）； 整数集合：（               …）；分数集合：（              … ）； (2)在数轴上把它们表示出来，并用“”将它们连接起来． 【答案】(1)答案见解析 (2)数轴见解析， 【思路引导】本题考查了有理数的分类，在数轴上表示有理数并比较大小． （1）根据正数包括正分数和正整数、负数包括负分数和负整数、整数包括正整数和0以及负整数、分数包括正分数和负分数作答即可； （2）将各有理数在数轴上表示出来，并根据数轴比较大小即可． 【规范解答】（1）解：正数集合：； 负数集合：｛，…｝； 整数集合：｛，…｝； 分数集合：． （2）解：在数轴上表示各数： 用“”将它们连接起来：． 考点四 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，数轴上点P所表示的数为x，则下列说法正确的是（     ） A．在x和0之间有3个负数 B．与3相比，x离0更近一些 C．在x和之间有5个整数 D．x比大 【答案】C 【规范解答】解：A、在x和0之间有无数个负数，原说法不正确，该选项不符合题意； B、与3相比，x离0更远一些，原说法不正确，该选项不符合题意； C、在x和之间有5个整数，原说法正确，该选项符合题意； D、x比小，原说法不正确，该选项不符合题意． 【变式训练1】（25-26七年级下·北京·期中）如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【规范解答】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 【变式训练2】（25-26七年级上·福建泉州·期末）在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分别当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可． 【规范解答】解：因为， 所以， 所以， 又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0， 所以点是的中点， 所以点表示的数是， 如图，当点在点右侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 如图，当点在点左侧时， 则，即， 所以，则， 所以点表示的数是， 所以； 因为， 所以最长为； 故选：C． 考点五 数轴上点的平移（动点问题） 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期中）在数轴上，点表示，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴上的点移动，掌握“右加左减”的规则是解题关键． 根据数轴上点的移动规则，向右移动几个单位长度加几，向左移动几个单位长度减几，逐步计算即可． 【规范解答】解：∵点表示，向右移动个单位长度， ∴移动后位置为：， ∵再向左移动个单位长度， ∴点表示的数为：． 故选：． 【变式训练1】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【思路引导】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【规范解答】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 【变式训练2】（25-26七年级上·陕西榆林·期中）如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位长度，再向左移动5个单位长度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是． (1)点从表示3的点出发，先向左移动5个单位长度，再向右移动4个单位长度，则终点表示的数是______； (2)点从表示2.5的点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在点的位置时，求，两点之间的距离； (3)点从表示的点出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度⋯⋯依次操作2026次后，求点表示的数． 【答案】(1)2 (2)，两点之间的距离是6.5个单位长度 (3)点表示的数为1008 【思路引导】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据平移规则，列式计算即可； （2）求出点的运动时间，进而求出点表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据题意，得到每2次移动，整体向右移动1个单位长度，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：； （2）点运动了个单位长度， 运动时间为（秒）． 这段时间点运动了个单位长度． 因为点从原点出发， 所以点运动到3所在点的位置， 所以，两点之间的距离是个单位长度； （3） ． 所以点表示的数为1008． 考点六 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如图，数轴的单位长度为1，点表示的数是． (1)在数轴上用0标出原点； (2)写出点B表示的数； (3)在数轴上找一点，使它与点的距离为个单位长度，那么点表示什么数？ 【答案】(1)见解析 (2)点表示3 (3)点表示的数为或． 【思路引导】本题考查了数轴．熟练掌握数轴上的点表示数，是解题的关键． （1）根据点A表示的数为来确定原点； （2）根据点B在原点右侧3个单位长度处回答； （3）分点C在点B左侧和右侧两种情况解答． 【规范解答】（1）解：如图，∵点A表示的数是， ∴原点在点A右侧4个单位长度处， 用0表示出原点． ； （2）解：∵点B在原点右侧3个单位长度处， ∴点B表示的数为3． （3）解：∵，点B表示的数为3， ∴当点C在点B左侧时，点C表示的数为， 当点C在点B右侧时，点C表示的数为， 故点表示的数为或． 【变式训练1】（25-26七年级上·新疆·期末）如图，数轴上的点、、刚好对应着直尺上的刻度2、刻度8和刻度10．该数轴的原点为，向右为正方向．若点所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【思路引导】本题考查数轴的有关知识以及相反数的性质，关键是先求出、两点在直尺上的距离，再结合“互为相反数的两点到原点距离相等”确定原点对应的刻度． 【规范解答】解：∵直尺上点对应刻度2，点对应刻度， ∴、在直尺上的距离为， ∵点、表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为； 故答案为：6． 【变式训练2】（25-26七年级上·江西九江·期末）如图，分别是数轴上四个点，其中有一点是原点，且，两点分别在线段上，点对应的数为，点对应的数为，且． (1)该数轴的原点是点____________； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)点 (2) 【思路引导】本题考查了实数与数轴，准确识图，判断出，两个数之间的距离小于3是解题的关键． （1）根据已知条件结合数轴判断出，两个数之间的距离小于3，依据，即可判断原点的位置． （2）由，结合，即可解得，再由代入计算即可． 【规范解答】（1）解：， 两个数之间的距离小于3， ， 原点不在两个数之间，也不在两个数的左边， 即该数轴的原点是点； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ． 考点七 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【思路引导】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【规范解答】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【规范解答】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 【变式训练2】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，圆的周长为4个单位长度，在圆的四等分点处依次标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴-2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的哪个数字重合（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【思路引导】此题综合考查了数轴、循环的有关知识，关键是把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来． 圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则根据规律即可解答． 【规范解答】解：圆在旋转的过程中，圆上的四个数，每旋转一周即循环一次， 则与圆周上的0重合的数是，，…，即， 同理与3重合的数是：， 与2重合的数是， 与1重合的数是，其中n是正整数． 而， ∴数轴上的数将与圆周上的数字2重合． 故选：C． 考点八 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为1）上，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，…若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【思路引导】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【规范解答】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024． 故选：C． 【变式训练1】（25-26六年级上·山东泰安·期末）边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【规范解答】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【变式训练2】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【思路引导】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【规范解答】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【基础通关能力提升】 1．如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【规范解答】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）关于规范的数轴，下列说法正确的是（    ） A．无原点 B．无正方向 C．有原点、正方向、单位长度一致 D．正负标反 【答案】C 【思路引导】数轴的三要素为原点、正方向、统一的单位长度，只有同时满足三要素才是规范的数轴，据此判断各选项即可． 【规范解答】解：A．缺少原点，不符合要求，故A错误； B．缺少正方向，不符合要求，故B错误； C．具备原点、正方向，且单位长度一致，符合数轴定义，故C正确； D．正负方向标错，不符合要求，故D错误． 3．如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 【规范解答】数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 4．如图，数轴上点A，B，O表示的数分别是，动点P，Q同时从点A，B出发，分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】设P，Q运动秒，写出P，Q点表示的数，计算，比较即可选出答案． 【规范解答】解：设P，Q运动秒， 则点表示的数为：， 点表示的数为：， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【思路引导】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点 表示的数，即可作答． 【规范解答】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 6．（25-26七年级下·山东滨州·期中）在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【思路引导】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【规范解答】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 7．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【思路引导】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【规范解答】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 8．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）完成以下问题 (1)画出数轴，并在数轴上表示下列各数： (2)用 “” 号把这些数连接起来． 【答案】(1)数轴表示如图： (2) 【规范解答】（1）略 （2）解：由数轴可得，． 9．（25-26七年级上·广东东莞·期中）在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【规范解答】略 10．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【思路引导】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【规范解答】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路引导】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【规范解答】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 2．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）如图，点，位于数轴上原点的两侧，是的中点，点是的三等分点，若点表示的数为，则点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算，设点表示的数是，根据点是的中点，可知点表示的数是，根据点是的三等分点，即可得到点表示的数是，解方程即可求出的值． 【规范解答】解：设点表示的数是， 则， 是的中点， ， 点表示的数是， ， 点是的三等分点， ， ， 点表示的数为， ， 解得：， ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【思路引导】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【规范解答】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 4．（25-26七年级上·江西宜春·期中）数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5，点C到点B距离为2（点C不在原点上），则点C表示的数为__________． 【答案】或或 【思路引导】利用两点间的距离公式可以知道点表示的数为或，再由点C到点B距离为2（点C不在原点上），可得答案． 【规范解答】解：数轴上点A表示的数为，点B到点A的距离为5， 点表示的数为或， 点C到点B距离为2（点C不在原点上）， 点C表示的数为（舍去）或或或． 综上，点C表示的数为或或． 5．如图所示，半径为1个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，线段是圆片的直径，将圆片沿数轴滚动，点B第二次到达数轴上点C的位置，点C表示的数是_________．（取） 【答案】或 【思路引导】根据圆的周长公式计算出圆的周长，分析点B接触数轴的规律，确定点B第二次到达数轴时圆滚动的距离，再根据滚动方向得出点C表示的数． 【规范解答】解：∵圆的半径为1， ∴圆的周长为， 由题意得，线段是圆片的直径，且初始时点A与原点重合， ∵点B在点A的正上方， ∴圆片向右滚动半周时，点B第一次到达数轴， 此时滚动的距离为， 当圆片再向右滚动一周时，点B第二次到达数轴，即为点C， 此时滚动的总距离为， 同理当圆片的滚动方向向左时，点C表示的数为， 综上所述，点C表示的数是或． 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上有、、三点． (1)点表示的数是____； (2)点与点到点的距离相等且两点不重合，则点表示的数是____； (3)请在数轴上描出，用点表示，将点、、三个点表示的数用“”连接． 【答案】(1) (2) (3)数轴见解析， 【思路引导】本题主要考查的是数轴的认识以及实数与数轴上点的对应关系，解题的关键是找出各点在数轴上的位置； （1）直接观察数轴即可解决； （2）分析题意可知点与点是关于点的对称点，由此可以求解； （3）先在数轴上标记点，，然后根据数轴上点的大小关系即可求解． 【规范解答】（1）解：由数轴可知，点表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， ∴点到点的距离为， ∵点与点到点的距离相等且两点不重合， ∴点到点的距离为， ∴点表示的数是， 故答案为：； （3）解：将点表示在数轴上，如下： ∴点、、三个点表示的数用“”连接为． 7．（24-25六年级下·黑龙江·阶段检测）（1）在图中标出下列各数，，，． （2）若点A在处，点B与点A相距2个单位长度（一个大格是一个单位长度），请你写出B点可能表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）点B表示的数是或1． 【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离、有理数的加减． （1）在数轴上表示各数即可； （2）分点B在点A的左侧和右侧求解即可． 【规范解答】解：（1）如图， （2）∵数轴上点A表示的数是，数轴上另一点B与点A相距2个单位长度， ∴当点B在点A的左侧时，点B表示的数是， 当点B在点A的右侧时，点B表示的数是， 综上：点B表示的数是或1． 8．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）“数轴”是数学中一个非常基础和重要的工具，有人称它是一把“尺子”，不仅能比较数的大小，还能表示方向，有人称它是一幅“地图”，能准确标明每一个实数的位置，有人说它是一座“桥梁”，把抽象的数与具体的形有机的联系起来．完成下列问题： (1)填空：规定了_______、_______和_______的直线叫作数轴； (2)画图：数x在数轴上对应点A的位置如图所示，在数轴上画出数和分别对应的点B和C； (3)计算：如图，数轴上标出了若干点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D所对应的数分别是a、b、c、d，且满足，求B点所表示的数，并在数轴上标出原点O． 【答案】(1)原点、正方向、单位长度 (2)见解析 (3)B点表示的数为4，见解析 【思路引导】此题考查了数轴上的点表示数和数轴的定义等知识，准确理解数轴的定义是关键． （1）根据数轴的定义进行解答即可； （2）根据点在数轴上的位置进行解答即可； （3）设，则，根据列方程并解方程即可得B点表示的数，再根据点B的位置找到原点的位置即可． 【规范解答】（1）解：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴， 故答案为：原点、正方向、单位长度 （2）如图即为所求， （3）解：设，则 ∵， ∴ 解得 所以B点表示的数为4. 如图，在数轴上标出原点O． 9．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【规范解答】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 10．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． (1)当点P返回到点B时，求t的值； (2)当时，求点P表示的数； (3)当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】(1) (2)0 (3)t的值为3或 【思路引导】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull